1 下列说法中，正确的是 （）

A.弦是直径
B.圆上任意两点间的线段叫作圆弧
C.直径是弦
D.过圆心的线段是直径

1. C

【分析】
本题考查圆的相关基本概念辨析，解题时需先明确弦、直径、圆弧的定义，再逐一比对每个选项的描述是否符合概念，即可判断正误。首先回忆核心概念：弦是连接圆上两点的线段，直径是经过圆心且两端点都在圆上的特殊弦，圆弧是圆上两点间的曲线部分。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；
2. 直径：经过圆心的弦叫做直径，直径是特殊的弦，弦不一定是直径；
3. 圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，属于曲线，不是线段。
逐一分析选项：
A选项：只有经过圆心的弦才是直径，普通弦不经过圆心，不属于直径，故A错误；
B选项：圆上任意两点间的线段是弦，圆弧是两点间的曲线部分，故B错误；
C选项：直径的两个端点都在圆上，符合弦的定义，是经过圆心的特殊弦，故C正确；
D选项：过圆心的线段若两端点不在圆上，就不属于直径，直径要求两端点必须在圆上，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
弦的定义；直径的定义；弧的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对圆的基础概念的掌握程度，学习时要注意区分易混概念，明确不同概念的限制条件，避免因概念记忆模糊出错。
【难度系数】
0.7

2 如图，点A，B，C在$\odot O$上，$AC// OB$，$∠ BAO=25°$，则$∠ BOC$的度数为 （）

A.$25°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$80°$

2. B

【分析】
解题思路如下：首先，OA、OB都是⊙O的半径，可得△OAB是等腰三角形，结合已知∠BAO=25°可求出∠ABO的度数；再根据AC//OB的平行线性质，得到内错角∠CAB=∠ABO，求出圆周角∠CAB的度数；最后利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵ OA、OB均为⊙O的半径，
∴ OA=OB，△OAB为等腰三角形，
∴ ∠ABO=∠BAO=25°。
∵ AC//OB，
∴ 根据两直线平行，内错角相等，得∠CAB=∠ABO=25°。
又
∵ ∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠CAB是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴ ∠BOC=2∠CAB=2×25°=50°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，平行线的性质，圆周角定理
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质与三角形、平行线的相关知识，解题的关键是找准同弧对应的圆心角和圆周角的关系，整体解题逻辑清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7

3 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=12$.若以点$C$为圆心，$CB$长为半径的圆恰好经过$AB$的中点$D$，则$AC$的长为。

3. $6\sqrt{3}$

【分析】
解题时首先观察题干条件：存在直角三角形且给出斜边中点，优先回忆直角三角形斜边中线的性质，可求出CD的长度；再结合圆的性质，同圆的半径相等，可得CB与CD长度相等；最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，D是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得 $CD=\frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=12$，
∴ $CD=\frac{1}{2}×12=6$，
∵ 以C为圆心，CB长为半径的圆经过点D，
∴ 同圆半径相等，$CB=CD=6$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、圆的半径相等、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是熟练掌握直角三角形和圆的基础性质，将两个知识点结合求出BC的长度，再通过勾股定理计算即可，解题思路清晰，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.7

4 [2024 北京]如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，OD平分$∠ AOC$. 求证：$OD// BC$.

4. $\because OB = OC, \therefore ∠ B = ∠ C. \because ∠ AOC$ 是 $△ OBC$ 的外角，
$\therefore ∠ AOC=∠ B+∠ C, \therefore ∠ AOC = 2∠ B. \because OD$ 平分 $∠ AOC$，
$\therefore ∠ AOC=2∠ AOD, \therefore ∠ B=∠ AOD, \therefore OD// BC$

【分析】
要证明OD//BC，可通过证明同位角相等推导。首先结合圆的性质，同圆的半径相等可得OB=OC，得到△OBC的两个底角∠B=∠C；再利用三角形外角的性质，可推出∠AOC=2∠B；之后结合角平分线的定义，得到∠AOC=2∠AOD，通过等量代换得到∠AOD=∠B，最后根据“同位角相等，两直线平行”即可完成证明。
【解析】
证明：
∵OB和OC都是⊙O的半径，
∴OB = OC，
∴∠B = ∠C。
∵∠AOC是△OBC的外角，
∴∠AOC=∠B+∠C，代入∠B=∠C可得∠AOC = 2∠B。
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOD，
等量代换可得2∠AOD=2∠B，即∠B=∠AOD，
根据同位角相等，两直线平行，即可得OD// BC。
【答案】
$\because OB = OC, \therefore ∠ B = ∠ C. \because ∠ AOC$ 是 $△ OBC$ 的外角，
$\therefore ∠ AOC=∠ B+∠ C, \therefore ∠ AOC = 2∠ B. \because OD$ 平分 $∠ AOC$，
$\therefore ∠ AOC=2∠ AOD, \therefore ∠ B=∠ AOD, \therefore OD// BC$
【知识点】
圆的基本性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，将圆的性质与三角形、平行线的相关基础定理结合考查，解题核心是通过角的等量代换得到判定平行的条件，侧重对基础定理的运用能力的考察。
【难度系数】
0.8

5 如图所示为两个同心圆，圆心为O，AB是大圆的弦，点M，N在弦AB上，且MN是小圆的弦，延长OM，ON分别交大圆于点C，D。
（1）求证：$CM=DN$；
（2）一题多解 猜想线段AM与BN之间的大小关系，并加以证明。

5. (1) 由题意,得 $OM=ON, OC=OD, \therefore OC-OM=OD-ON$,即$CM=DN$
(2) $AM=BN$
解法一(构造全等三角形):如图,连接$OA,OB. \because OM=ON, OA=OB, \therefore ∠ OMN=∠ ONM, ∠ A=∠ B$,
$\therefore ∠ OMA=∠ ONB, \therefore △ OMA≌△ ONB, \therefore AM=BN$
解法二(利用等腰三角形的性质):如图,连接$OA,OB$,过点$O$作$AB$的垂线,垂足为$H. \because △ OMN$与$△ OAB$都是等腰三角形,$\therefore MH=NH, AH=BH, \therefore AH-MH=BH-NH$,即$AM=BN$

【分析】
（1）要证明$CM=DN$，观察线段构成：$CM=OC-OM$，$DN=OD-ON$，结合同心圆的性质，大圆半径$OC=OD$，小圆半径$OM=ON$，二者作差即可得证。
（2）猜想$AM=BN$，有两种常见解题思路：①构造全等三角形：连接$OA$、$OB$，利用同圆半径相等得到等腰三角形底角相等，推导对应角相等后证明$△ OMA$和$△ ONB$全等，即可得对应边相等；②利用等腰三角形三线合一/垂径定理：过圆心作$AB$的垂线，垂足为$H$，根据等腰三角形三线合一的性质，分别得到$AH=BH$、$MH=NH$，二者作差即可得到$AM=BN$。
【解析】
（1）证明：
∵两个圆为同心圆，圆心为$O$
∴大圆半径$OC=OD$，小圆半径$OM=ON$
∴$OC - OM = OD - ON$
即$CM=DN$
（2）猜想：$AM=BN$，证明如下：
解法一：连接$OA$、$OB$
∵$OA$、$OB$都是大圆的半径，$\therefore OA=OB$，$\therefore ∠A=∠B$
∵$OM$、$ON$都是小圆的半径，$\therefore OM=ON$，$\therefore ∠OMN=∠ONM$
$\therefore 180°-∠OMN=180°-∠ONM$，即$∠OMA=∠ONB$
在$△ OMA$和$△ ONB$中
$\{\begin{array}{l}∠A=∠B \\∠OMA=∠ONB \\OA=OB\end{array} $
$\therefore △ OMA≌△ ONB(\mathrm{AAS})$
$\therefore AM=BN$
解法二：连接$OA$、$OB$，过点$O$作$OH⊥AB$，垂足为$H$
∵$OA=OB$，$OH⊥AB$，$\therefore AH=BH$（等腰三角形三线合一）
∵$OM=ON$，$OH⊥MN$，$\therefore MH=NH$
$\therefore AH - MH = BH - NH$
即$AM=BN$
【答案】
5. (1) 由题意,得 $OM=ON, OC=OD, \therefore OC-OM=OD-ON$,即$CM=DN$
(2) $AM=BN$
解法一(构造全等三角形):如图,连接$OA,OB. \because OM=ON, OA=OB, \therefore ∠ OMN=∠ ONM, ∠ A=∠ B$,
$\therefore ∠ OMA=∠ ONB, \therefore △ OMA≌△ ONB, \therefore AM=BN$
解法二(利用等腰三角形的性质):如图,连接$OA,OB$,过点$O$作$AB$的垂线,垂足为$H. \because △ OMN$与$△ OAB$都是等腰三角形,$\therefore MH=NH, AH=BH, \therefore AH-MH=BH-NH$,即$AM=BN$

【知识点】
1. 同圆半径相等
2. 全等三角形判定与性质
3. 垂径定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，涉及线段相等的两种常见证明思路，解题的关键是灵活运用同圆半径相等的性质，合理构造辅助线。
【难度系数】
0.8

6 [2025昆山市段考]如图，OA，OB是$\odot O$的半径，C是$\odot O$上一点，$∠ AOB=40°$，$∠ OBC=50°$，则$∠ OAC$的度数为（）

A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$

6. C 【解析】连接 $OC. \because OC=OB, \therefore ∠ OCB=∠ OBC=50°$,
$\therefore ∠ BOC=180°-50°×2=80°, \therefore ∠ AOC=∠ BOC+∠ AOB=80°+40°=120°. \because OC=OA, \therefore ∠ OAC=∠ OCA=\frac{1}{2}(180°-∠ AOC)=30°.$

【分析】
已知条件均和圆的半径、圆上的角相关，同圆的所有半径相等，因此连接辅助线OC后，可得到OC=OB=OA，构造出两个等腰三角形。首先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合△OBC中已知的∠OBC求出∠BOC的度数，再结合已知的∠AOB计算出∠AOC的度数，最后在等腰△AOC中利用三角形内角和定理即可求出∠OAC的度数。
【解析】
连接OC。
∵ OC、OB均为⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ ∠OCB=∠OBC=50°，
根据三角形内角和为180°，可得∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=180°-50°×2=80°，
∴ ∠AOC=∠BOC+∠AOB=80°+40°=120°，
又
∵ OC、OA均为⊙O的半径，
∴ OC=OA，即△AOC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA，
∴ ∠OAC=$\frac{1}{2}$×(180°-∠AOC)=$\frac{1}{2}$×(180°-120°)=30°。
【答案】
C
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆与三角形性质结合的基础题型，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，将已知角和未知角的关系串联起来，解题思路较为常规。
【难度系数】
0.7