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9 已知$\odot O$的半径是3.5 cm，M，N是$\odot O$上的两点，连接MN，设线段MN的长为a cm，则a的最大值为
7
。答案
9.7
解析
【分析】首先我们知道，连接圆上任意两点的线段叫做弦，题中M、N都是⊙O上的点，因此MN是⊙O的弦。要找a的最大值，就是找圆中最长的弦，根据圆的性质，直径是圆内最长的弦，因此只需要计算出⊙O的直径，就能得到a的最大值。
【解析】解：
∵M、N是⊙O上的两点，
∴线段MN是⊙O的弦，
∵圆中最长的弦为直径，
∴MN的最大值为⊙O的直径长度，
已知⊙O的半径是3.5 cm，
∴直径为$2×3.5=7$（cm），
即a的最大值为7。
【答案】7
【知识点】圆的基本概念，直径是最长的弦
【点评】本题考查圆的基本性质，解题的关键是牢记直径是圆内最长的弦，直接代入半径计算直径即可，整体难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】解：
∵M、N是⊙O上的两点，
∴线段MN是⊙O的弦，
∵圆中最长的弦为直径，
∴MN的最大值为⊙O的直径长度，
已知⊙O的半径是3.5 cm，
∴直径为$2×3.5=7$（cm），
即a的最大值为7。
【答案】7
【知识点】圆的基本概念，直径是最长的弦
【点评】本题考查圆的基本性质，解题的关键是牢记直径是圆内最长的弦，直接代入半径计算直径即可，整体难度较低。
【难度系数】0.9
10 如图，$\odot M$的半径为2，圆心M的坐标为$(3,4)$，P是$\odot M$上的任意一点，$PA ⊥ PB$，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点。若点A，B关于原点对称，则当线段AB最短时，点A的坐标为
(-3,0)
。答案
10.(-3,0)
解析
【分析】
首先，由PA⊥PB且A、B关于原点对称，可知O是Rt△APB斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线性质可得AB=2OP，因此要使AB最短，只需使OP最短。其次，P是⊙M上的点，O为圆外一点，圆外一点到圆上点的最短距离等于该点到圆心的距离减去半径，先计算OM的长度，即可求出最短OP，进而得到最短AB的长度，最终确定A的坐标。
【解析】
解：
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，△APB是直角三角形。
∵A、B关于原点O对称，
∴O是AB的中点。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：$OP = \frac{1}{2} AB$，即$AB=2OP$。
要使线段AB最短，需使OP最短。
∵P是⊙M上的点，圆心$M(3,4)$，半径$r=2$，
∴$OM = \sqrt{3^2+4^2} = 5$，
圆外一点O到⊙M上点的最短距离为$OM - r = 5 - 2 = 3$，即OP的最小值为3。
∴AB的最小值为$2×3=6$，
∴$OA=\frac{1}{2} AB=3$，
∵点A在x轴负半轴，
∴点A的坐标为$(-3,0)$。
【答案】
$(-3,0)$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆外点到圆上点的最短距离，关于原点对称的特征
【点评】
本题结合直角三角形性质和圆的性质考查，解题关键是将AB的长度转化为OP的2倍，把求最短AB的问题转化为求圆外一点到圆上点的最短距离问题，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先，由PA⊥PB且A、B关于原点对称，可知O是Rt△APB斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线性质可得AB=2OP，因此要使AB最短，只需使OP最短。其次，P是⊙M上的点，O为圆外一点，圆外一点到圆上点的最短距离等于该点到圆心的距离减去半径，先计算OM的长度，即可求出最短OP，进而得到最短AB的长度，最终确定A的坐标。
【解析】
解：
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，△APB是直角三角形。
∵A、B关于原点O对称，
∴O是AB的中点。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：$OP = \frac{1}{2} AB$，即$AB=2OP$。
要使线段AB最短，需使OP最短。
∵P是⊙M上的点，圆心$M(3,4)$，半径$r=2$，
∴$OM = \sqrt{3^2+4^2} = 5$，
圆外一点O到⊙M上点的最短距离为$OM - r = 5 - 2 = 3$，即OP的最小值为3。
∴AB的最小值为$2×3=6$，
∴$OA=\frac{1}{2} AB=3$，
∵点A在x轴负半轴，
∴点A的坐标为$(-3,0)$。
【答案】
$(-3,0)$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆外点到圆上点的最短距离，关于原点对称的特征
【点评】
本题结合直角三角形性质和圆的性质考查，解题关键是将AB的长度转化为OP的2倍，把求最短AB的问题转化为求圆外一点到圆上点的最短距离问题，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
11 如图，在$□ ABCD$中，$∠ BCD$为钝角，$AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，垂足分别为$E$，$F$，连接$BD$。求证：$A$，$E$，$C$，$F$四点共圆。
答案
11.连接AC,交BD于点O,连接OE,OF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC,即O是AC的中点.
∵ AE⊥BC,AF⊥CD,
∴ 在Rt△AEC和Rt△AFC中,OE=$\frac{1}{2}$AC,OF=$\frac{1}{2}$AC,
∴ OA=OC=OE=OF,
∴ A,E,C,F四点共圆
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC,即O是AC的中点.
∵ AE⊥BC,AF⊥CD,
∴ 在Rt△AEC和Rt△AFC中,OE=$\frac{1}{2}$AC,OF=$\frac{1}{2}$AC,
∴ OA=OC=OE=OF,
∴ A,E,C,F四点共圆
解析
【分析】
要证明A、E、C、F四点共圆，根据圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。首先观察四个点的特征：AE⊥BC、AF⊥CD，可得△AEC和△AFC都是以AC为公共斜边的直角三角形；再结合平行四边形对角线互相平分的性质，取AC的中点O，即可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，证明O到A、E、C、F四个点的距离相等，进而证明四点共圆。
【解析】
证明：连接AC，交BD于点O，连接OE、OF。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，即O是AC的中点。
∵ AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠AEC=∠AFC=90°，△AEC和△AFC均为直角三角形。
在Rt△AEC中，O为斜边AC中点，故OE=$\frac{1}{2}$AC；
同理在Rt△AFC中，OF=$\frac{1}{2}$AC，
∴ OA=OC=OE=OF，
即A、E、C、F四个点到点O的距离相等，因此四点在以O为圆心、OA为半径的同一个圆上。
【答案】
连接AC,交BD于点O,连接OE,OF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC,即O是AC的中点.
∵ AE⊥BC,AF⊥CD,
∴ 在Rt△AEC和Rt△AFC中,OE=$\frac{1}{2}$AC,OF=$\frac{1}{2}$AC,
∴ OA=OC=OE=OF,
∴ A,E,C,F四点共圆
【知识点】
平行四边形的性质，直角三角形斜边中线定理，四点共圆的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查利用圆的定义判定四点共圆的方法，解题时需要结合平行四边形、直角三角形的性质找到公共圆心，推导各点到圆心的距离相等，能帮助学生巩固相关几何性质，掌握四点共圆的基础判定思路。
【难度系数】
0.7
要证明A、E、C、F四点共圆，根据圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。首先观察四个点的特征：AE⊥BC、AF⊥CD，可得△AEC和△AFC都是以AC为公共斜边的直角三角形；再结合平行四边形对角线互相平分的性质，取AC的中点O，即可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，证明O到A、E、C、F四个点的距离相等，进而证明四点共圆。
【解析】
证明：连接AC，交BD于点O，连接OE、OF。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，即O是AC的中点。
∵ AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠AEC=∠AFC=90°，△AEC和△AFC均为直角三角形。
在Rt△AEC中，O为斜边AC中点，故OE=$\frac{1}{2}$AC；
同理在Rt△AFC中，OF=$\frac{1}{2}$AC，
∴ OA=OC=OE=OF，
即A、E、C、F四个点到点O的距离相等，因此四点在以O为圆心、OA为半径的同一个圆上。
【答案】
连接AC,交BD于点O,连接OE,OF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA=OC=$\frac{1}{2}$AC,即O是AC的中点.
∵ AE⊥BC,AF⊥CD,
∴ 在Rt△AEC和Rt△AFC中,OE=$\frac{1}{2}$AC,OF=$\frac{1}{2}$AC,
∴ OA=OC=OE=OF,
∴ A,E,C,F四点共圆
【知识点】
平行四边形的性质，直角三角形斜边中线定理，四点共圆的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查利用圆的定义判定四点共圆的方法，解题时需要结合平行四边形、直角三角形的性质找到公共圆心，推导各点到圆心的距离相等，能帮助学生巩固相关几何性质，掌握四点共圆的基础判定思路。
【难度系数】
0.7
12 如图，在 $\mathrm{Rt}△ OAB$ 中，$∠ OAB=90°$，$AC$ 是斜边 $OB$ 上的高，设到点 $O$ 的距离等于 $OA$ 的所有点组成的图形记为 $G$，图形 $G$ 与 $OB$ 交于点 $D$，连接 $AD$。
（1）依题意补全图形；
（2）求证：$AD$ 平分 $∠ BAC$。
（1）依题意补全图形；
（2）求证：$AD$ 平分 $∠ BAC$。
答案
12.（1）如图所示
（2）∵ ∠OAB=90°,
∴ ∠OAD+∠DAB=90°.
∵ AC是斜边OB上的高,
∴ AC⊥OB,
∴ ∠ACD=90°.
∵ △ACD的内角和为180°,
∴ ∠DAC+∠ADO=90°.
∵ 图形G是⊙O,
∴ OA=OD,
∴ ∠OAD=∠ADO,
∴ ∠DAB=∠DAC,
∴ AD平分∠BAC
解析
【分析】
（1）补图思路：根据“到点O的距离等于OA的所有点组成图形G”的描述，可知图形G是以O为圆心、OA为半径的圆，画出该圆后，它与OB的交点即为D，即可完成补图。
（2）证明思路：要证AD平分∠BAC，只需证∠DAB=∠DAC。首先利用Rt△OAB的直角可得∠OAD与∠DAB互余；再由AC是OB边上的高，得△ACD为直角三角形，因此∠DAC与∠ADO互余；结合圆的定义得OA=OD，由等边对等角推出∠OAD=∠ADO，最后利用等角的余角相等即可得∠DAB=∠DAC，完成证明。
【解析】
（1）以点O为圆心，OA的长度为半径作圆，该圆就是图形G，标记圆与OB的交点为D，即可补全图形。
（2）证明：
∵ ∠OAB=90°，
∴ ∠OAD+∠DAB=90°。
∵ AC是斜边OB上的高，
∴ AC⊥OB，即∠ACD=90°，
∵ 三角形内角和为180°，
∴ ∠DAC+∠ADO=90°。
∵ 图形G是以O为圆心、OA为半径的⊙O，点D在⊙O上，
∴ OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ADO（等边对等角）。
∴ ∠DAB=∠DAC（等角的余角相等），
∴ AD平分∠BAC。
【答案】
（1）如图所示
（2）
∵ ∠OAB=90°,
∴ ∠OAD+∠DAB=90°.
∵ AC是斜边OB上的高,
∴ AC⊥OB,
∴ ∠ACD=90°.
∵ △ACD的内角和为180°,
∴ ∠DAC+∠ADO=90°.
∵ 图形G是⊙O,
∴ OA=OD,
∴ ∠OAD=∠ADO,
∴ ∠DAB=∠DAC,
∴ AD平分∠BAC
【知识点】
圆的定义；等腰三角形的性质；等角的余角相等
【点评】
本题结合圆的基础定义考查三角形角的等量推导，解题时要注意结合图形梳理角之间的互余、相等关系，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）补图思路：根据“到点O的距离等于OA的所有点组成图形G”的描述，可知图形G是以O为圆心、OA为半径的圆，画出该圆后，它与OB的交点即为D，即可完成补图。
（2）证明思路：要证AD平分∠BAC，只需证∠DAB=∠DAC。首先利用Rt△OAB的直角可得∠OAD与∠DAB互余；再由AC是OB边上的高，得△ACD为直角三角形，因此∠DAC与∠ADO互余；结合圆的定义得OA=OD，由等边对等角推出∠OAD=∠ADO，最后利用等角的余角相等即可得∠DAB=∠DAC，完成证明。
【解析】
（1）以点O为圆心，OA的长度为半径作圆，该圆就是图形G，标记圆与OB的交点为D，即可补全图形。
（2）证明：
∵ ∠OAB=90°，
∴ ∠OAD+∠DAB=90°。
∵ AC是斜边OB上的高，
∴ AC⊥OB，即∠ACD=90°，
∵ 三角形内角和为180°，
∴ ∠DAC+∠ADO=90°。
∵ 图形G是以O为圆心、OA为半径的⊙O，点D在⊙O上，
∴ OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ADO（等边对等角）。
∴ ∠DAB=∠DAC（等角的余角相等），
∴ AD平分∠BAC。
【答案】
（1）如图所示
（2）
∵ ∠OAB=90°,
∴ ∠OAD+∠DAB=90°.
∵ AC是斜边OB上的高,
∴ AC⊥OB,
∴ ∠ACD=90°.
∵ △ACD的内角和为180°,
∴ ∠DAC+∠ADO=90°.
∵ 图形G是⊙O,
∴ OA=OD,
∴ ∠OAD=∠ADO,
∴ ∠DAB=∠DAC,
∴ AD平分∠BAC
【知识点】
圆的定义；等腰三角形的性质；等角的余角相等
【点评】
本题结合圆的基础定义考查三角形角的等量推导，解题时要注意结合图形梳理角之间的互余、相等关系，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
