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7 新情境 地域特色 如图所示为苏州园林中的拱门抽象出来的示意图.已知 AB 的长为 1 m,拱门的最高点 C 到直线 AB 的距离 CD 为 2.5 m,则拱门所在圆的半径为 (
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
B
)A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
答案
7. B 【解析】连接 $OA,OB. \because OA=OB, CD⊥ AB, \therefore D$ 为 $AB$ 的中点,即 $AD=\frac{1}{2}AB=0.5\ \mathrm{m}$. 设拱门所在圆的半径为 $r\ \mathrm{m}$,则 $OA=OC=r\ \mathrm{m}, OD=(2.5-r)\mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADO$ 中,由勾股定理,得 $OA^2=AD^2+OD^2$,即 $r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$,解得 $r=1.3, \therefore$ 拱门所在圆的半径为 $1.3\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
这是一道圆与实际生活结合的几何题，解题核心是运用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解。首先我们可以通过连接半径OA，利用垂径定理得到AB的一半AD的长度；再设圆的半径为r，用含r的代数式表示出直角三角形的另一条直角边OD的长度；最后在直角三角形中用勾股定理列方程，解方程即可得到半径的长度。
【解析】
连接$OA$。
$\because OA=OB$（同圆的半径相等），$CD⊥ AB$，
$\therefore D$为$AB$的中点，即$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{m}$。
设拱门所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m}$，$OD=CD-OC=(2.5-r)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$，
展开计算得：$r^2=0.25+6.25-5r+r^2$，
化简解得：$r=1.3$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，列方程求解
【点评】
本题结合地域特色背景出题，将实际问题转化为几何模型，考查学生的知识应用能力，解题关键是构造直角三角形，利用方程思想求解半径，属于常规基础应用题。
【难度系数】
0.7
这是一道圆与实际生活结合的几何题，解题核心是运用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解。首先我们可以通过连接半径OA，利用垂径定理得到AB的一半AD的长度；再设圆的半径为r，用含r的代数式表示出直角三角形的另一条直角边OD的长度；最后在直角三角形中用勾股定理列方程，解方程即可得到半径的长度。
【解析】
连接$OA$。
$\because OA=OB$（同圆的半径相等），$CD⊥ AB$，
$\therefore D$为$AB$的中点，即$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{m}$。
设拱门所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m}$，$OD=CD-OC=(2.5-r)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$，
展开计算得：$r^2=0.25+6.25-5r+r^2$，
化简解得：$r=1.3$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，列方程求解
【点评】
本题结合地域特色背景出题，将实际问题转化为几何模型，考查学生的知识应用能力，解题关键是构造直角三角形，利用方程思想求解半径，属于常规基础应用题。
【难度系数】
0.7
8 在平面直角坐标系中，以点$(3,0)$为圆心，5为半径作圆，则该圆与$y$轴的交点的坐标为
$(0,4),(0,-4)$
.答案
8. $(0,4),(0,-4)$
解析
【分析】
要确定圆与y轴的交点坐标，首先明确y轴上所有点的横坐标均为0，因此可设交点坐标为$(0,y)$。再根据圆的性质：圆上任意一点到圆心的距离等于半径，结合两点间距离公式（或构造直角三角形用勾股定理）即可求解出y的值，进而得到交点坐标。
【解析】
设该圆与y轴的交点坐标为$(0,y)$。
∵ 圆上的点到圆心的距离等于半径，本题中圆心为$(3,0)$，半径为5，
∴ 根据两点间距离公式可得：$\sqrt{(3-0)^2 + (0-y)^2} = 5$，
两边平方得：$9 + y^2 = 25$，
整理得$y^2=16$，解得$y=4$或$y=-4$。
也可通过几何法推导：圆心$(3,0)$到y轴的水平距离为3，过圆心作y轴的垂线，垂足、圆心、y轴上的交点构成直角三角形，斜边为半径5，一条直角边为3，由勾股定理得交点到x轴的距离为$\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此交点坐标为$(0,4)$和$(0,-4)$。
【答案】
$(0,4),(0,-4)$
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理，坐标轴点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是抓住y轴上点横坐标为0的特征，结合圆的性质求解，注意不要遗漏y轴负半轴的交点。
【难度系数】
0.8
要确定圆与y轴的交点坐标，首先明确y轴上所有点的横坐标均为0，因此可设交点坐标为$(0,y)$。再根据圆的性质：圆上任意一点到圆心的距离等于半径，结合两点间距离公式（或构造直角三角形用勾股定理）即可求解出y的值，进而得到交点坐标。
【解析】
设该圆与y轴的交点坐标为$(0,y)$。
∵ 圆上的点到圆心的距离等于半径，本题中圆心为$(3,0)$，半径为5，
∴ 根据两点间距离公式可得：$\sqrt{(3-0)^2 + (0-y)^2} = 5$，
两边平方得：$9 + y^2 = 25$，
整理得$y^2=16$，解得$y=4$或$y=-4$。
也可通过几何法推导：圆心$(3,0)$到y轴的水平距离为3，过圆心作y轴的垂线，垂足、圆心、y轴上的交点构成直角三角形，斜边为半径5，一条直角边为3，由勾股定理得交点到x轴的距离为$\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此交点坐标为$(0,4)$和$(0,-4)$。
【答案】
$(0,4),(0,-4)$
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理，坐标轴点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是抓住y轴上点横坐标为0的特征，结合圆的性质求解，注意不要遗漏y轴负半轴的交点。
【难度系数】
0.8
9 教材变式题 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$CD⊥ AB$于点D。已知$CD=4$，$AD=2$，则$\odot O$的半径为
5
。答案
9. 5
解析
【分析】
要求⊙O的半径，我们可以通过连接半径OC构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解。首先设半径为r，根据圆的半径相等可知OC=OA=r，再结合CD⊥AB的条件，得到△OCD为直角三角形，用r表示出OD的长度后，代入勾股定理公式即可求出r的值。
【解析】
连接OC，设⊙O的半径为r，则OC=OA=r。
∵AD=2，
∴OD=OA - AD = r - 2。
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=90°，△CDO为直角三角形。
在Rt△CDO中，根据勾股定理得：OC² = OD² + CD²，
代入已知条件CD=4，得：
$r^2 = (r - 2)^2 + 4^2$
展开得：$r^2 = r^2 - 4r + 4 + 16$
移项化简得：$4r = 20$
解得：$r = 5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，方程思想
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的核心是通过连接半径构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，熟练掌握勾股定理和圆的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求⊙O的半径，我们可以通过连接半径OC构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解。首先设半径为r，根据圆的半径相等可知OC=OA=r，再结合CD⊥AB的条件，得到△OCD为直角三角形，用r表示出OD的长度后，代入勾股定理公式即可求出r的值。
【解析】
连接OC，设⊙O的半径为r，则OC=OA=r。
∵AD=2，
∴OD=OA - AD = r - 2。
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=90°，△CDO为直角三角形。
在Rt△CDO中，根据勾股定理得：OC² = OD² + CD²，
代入已知条件CD=4，得：
$r^2 = (r - 2)^2 + 4^2$
展开得：$r^2 = r^2 - 4r + 4 + 16$
移项化简得：$4r = 20$
解得：$r = 5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，方程思想
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的核心是通过连接半径构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，熟练掌握勾股定理和圆的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10 如图,过A,C,D三点的圆的圆心为点E,过B,F,E三点的圆的圆心为点D.如果∠BAC=63°,那么∠ABC=
18
°.答案
10. 18 【解析】如图,连接 $CE,DE. \because DE=BD, \therefore ∠ 2=∠ ABC$.
同理,可得 $∠ 5=∠ 6, ∠ 3=∠ BAC=63°. \because ∠ 6=∠ 2+∠ ABC=2∠ ABC, ∠ CEB=∠ BAC+∠ 3=126°, \therefore ∠ 1=180°-∠ 5-∠ 6=180°-4∠ ABC, \therefore ∠ CEB=∠ 1+∠ 2=180°-3∠ ABC=126°$,
$\therefore ∠ ABC=18°.$
解析
【分析】
解题时先结合两个圆的圆心特征，想到同圆的半径相等，因此首先连接CE、DE构造等腰三角形。设∠ABC=x，利用等腰三角形等边对等角的性质，逐步将各角用含x的式子表示，再结合三角形外角定理和平角的性质建立关于x的方程，求解即可得到∠ABC的度数。
【解析】
如图，连接$CE,DE$.
$\because D$是过$B,F,E$三点的圆的圆心，$\therefore DE=BD$，根据等边对等角可得$∠2=∠ABC$.
$\because E$是过$A,C,D$三点的圆的圆心，$\therefore CE=DE=AE$，同理可得$∠5=∠6$，$∠3=∠BAC=63°$.
设$∠ABC=x$，则$∠2=x$，$∠6$是$△ DEB$的外角，$\therefore ∠6=∠2+∠ABC=2x$，$\therefore ∠5=∠6=2x$.
$\because ∠CEB$是$△ ACE$的外角，$\therefore ∠CEB=∠BAC+∠3=63°+63°=126°$.
在$△ CDE$中，$∠1=180°-∠5-∠6=180°-2x-2x=180°-4x$.
又$\because ∠CEB=∠1+∠2$，代入得：$126°=180°-4x+x$，
整理得$3x=54°$，解得$x=18°$.
【答案】
18
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形外角定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形角度计算的综合题，解题的核心是通过连接半径构造等腰三角形，将未知角和已知角建立关联，结合三角形外角性质列方程求解，能有效考查学生的辅助线构造能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
解题时先结合两个圆的圆心特征，想到同圆的半径相等，因此首先连接CE、DE构造等腰三角形。设∠ABC=x，利用等腰三角形等边对等角的性质，逐步将各角用含x的式子表示，再结合三角形外角定理和平角的性质建立关于x的方程，求解即可得到∠ABC的度数。
【解析】
如图，连接$CE,DE$.
$\because D$是过$B,F,E$三点的圆的圆心，$\therefore DE=BD$，根据等边对等角可得$∠2=∠ABC$.
$\because E$是过$A,C,D$三点的圆的圆心，$\therefore CE=DE=AE$，同理可得$∠5=∠6$，$∠3=∠BAC=63°$.
设$∠ABC=x$，则$∠2=x$，$∠6$是$△ DEB$的外角，$\therefore ∠6=∠2+∠ABC=2x$，$\therefore ∠5=∠6=2x$.
$\because ∠CEB$是$△ ACE$的外角，$\therefore ∠CEB=∠BAC+∠3=63°+63°=126°$.
在$△ CDE$中，$∠1=180°-∠5-∠6=180°-2x-2x=180°-4x$.
又$\because ∠CEB=∠1+∠2$，代入得：$126°=180°-4x+x$，
整理得$3x=54°$，解得$x=18°$.
【答案】
18
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形外角定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形角度计算的综合题，解题的核心是通过连接半径构造等腰三角形，将未知角和已知角建立关联，结合三角形外角性质列方程求解，能有效考查学生的辅助线构造能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
11 [2025河南]如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）若E是AD的中点，连接OA，CE.求证：四边形AOCE是平行四边形.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）若E是AD的中点，连接OA，CE.求证：四边形AOCE是平行四边形.
答案
11. (1) 如图,点 $O$ 即为所求
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AD=BC, AD// BC$,即 $AE// OC. \because E$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore AE=\frac{1}{2}AD. \because OC=\frac{1}{2}BC, \therefore AE=OC, \therefore$ 四边形 $AOCE$ 是平行四边形
解析
【分析】
（1）已知BC是圆的直径，圆心为直径的中点，因此只需用尺规作出线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点就是圆心O。
（2）要证明四边形AOCE是平行四边形，可使用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导：先借助平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，再结合E是AD中点、O是BC中点的条件，推出AE与OC平行且相等，即可完成证明。
【解析】
（1）作线段BC的垂直平分线，与BC的交点即为所求圆心O，保留对应的作图痕迹即可。
（2）证明过程如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC$，$AD// BC$，即$AE// OC$，
∵E是AD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD$，
∵O是BC的中点，BC为圆的直径，
∴$OC=\frac{1}{2}BC$，
∴$AE=OC$，
∵AE与OC平行且相等，
∴四边形AOCE是平行四边形。
【答案】
(1) 如图,点 $O$ 即为所求
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AD=BC, AD// BC$,即 $AE// OC. \because E$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore AE=\frac{1}{2}AD. \because OC=\frac{1}{2}BC, \therefore AE=OC, \therefore$ 四边形 $AOCE$ 是平行四边形
【知识点】
1. 平行四边形的判定与性质
2. 垂直平分线尺规作图
3. 圆的基本概念
【点评】
本题结合尺规作图和几何证明两个考点，第一问考查基础的作图操作能力，第二问侧重对平行四边形相关性质、判定的运用，整体偏向基础，能很好地检验学生对几何基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
（1）已知BC是圆的直径，圆心为直径的中点，因此只需用尺规作出线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点就是圆心O。
（2）要证明四边形AOCE是平行四边形，可使用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导：先借助平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，再结合E是AD中点、O是BC中点的条件，推出AE与OC平行且相等，即可完成证明。
【解析】
（1）作线段BC的垂直平分线，与BC的交点即为所求圆心O，保留对应的作图痕迹即可。
（2）证明过程如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC$，$AD// BC$，即$AE// OC$，
∵E是AD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD$，
∵O是BC的中点，BC为圆的直径，
∴$OC=\frac{1}{2}BC$，
∴$AE=OC$，
∵AE与OC平行且相等，
∴四边形AOCE是平行四边形。
【答案】
(1) 如图,点 $O$ 即为所求
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AD=BC, AD// BC$,即 $AE// OC. \because E$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore AE=\frac{1}{2}AD. \because OC=\frac{1}{2}BC, \therefore AE=OC, \therefore$ 四边形 $AOCE$ 是平行四边形
【知识点】
1. 平行四边形的判定与性质
2. 垂直平分线尺规作图
3. 圆的基本概念
【点评】
本题结合尺规作图和几何证明两个考点，第一问考查基础的作图操作能力，第二问侧重对平行四边形相关性质、判定的运用，整体偏向基础，能很好地检验学生对几何基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
12 如图，AC是$\odot O$的直径，点B在$\odot O$上（不与点A，C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交$\odot O$于点E，$∠ AOB=3∠ D$.求证：$DE=OB$.
答案
12. 连接 $OE$. 设 $∠ D=x. \because OB=OE, \therefore ∠ B=∠ OEB. \because ∠ OEB$ 是 $△ DEO$ 的外角, $\therefore ∠ OEB=∠ D+∠ DOE=x+∠ DOE$.
$\because ∠ AOB$ 是 $△ BOD$ 的外角, $\therefore ∠ AOB=∠ B+∠ D=∠ OEB+∠ D=x+∠ DOE+x=∠ DOE+2x. \because ∠ AOB=3∠ D=3x$,
$\therefore ∠ DOE+2x=3x$,即 $∠ DOE=x=∠ D, \therefore DE=OE, \therefore DE=OB$
$\because ∠ AOB$ 是 $△ BOD$ 的外角, $\therefore ∠ AOB=∠ B+∠ D=∠ OEB+∠ D=x+∠ DOE+x=∠ DOE+2x. \because ∠ AOB=3∠ D=3x$,
$\therefore ∠ DOE+2x=3x$,即 $∠ DOE=x=∠ D, \therefore DE=OE, \therefore DE=OB$
解析
【分析】
要证明DE=OB，已知OB是⊙O的半径，可先连接OE，利用同圆半径相等得OE=OB，因此只需证明DE=OE即可。证明两条边相等可转化为证明其所对的角相等，即证∠D=∠DOE。我们可以设∠D=x，结合题目给出的∠AOB=3∠D的条件，利用等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质逐步推导角度关系，最终得到∠D=∠DOE，即可完成证明。
【解析】
连接$OE$，设 $∠ D=x$。
$\because OB=OE$都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OE$，$\therefore ∠ B=∠ OEB$。
$\because ∠ OEB$ 是 $△ DEO$ 的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，$\therefore ∠ OEB=∠ D+∠ DOE=x+∠ DOE$。
$\because ∠ AOB$ 是 $△ BOD$ 的外角，同理可得$\therefore ∠ AOB=∠ B+∠ D$。
将$∠ B=∠ OEB$代入得：$∠ AOB=∠ OEB+∠ D=x+∠ DOE+x=∠ DOE+2x$。
$\because ∠ AOB=3∠ D=3x$，
$\therefore ∠ DOE+2x=3x$，即 $∠ DOE=x=∠ D$，根据等角对等边可得$DE=OE$。
又$\because OE=OB$，$\therefore DE=OB$。
【答案】
$DE=OB$，得证
【知识点】
1. 同圆半径相等；2. 等腰三角形的判定与性质；3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，解题的核心是合理添加辅助线$OE$，通过设参数表示角度，结合基础几何性质推导角度等量关系，进而得到边的等量关系，能够有效考察学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明DE=OB，已知OB是⊙O的半径，可先连接OE，利用同圆半径相等得OE=OB，因此只需证明DE=OE即可。证明两条边相等可转化为证明其所对的角相等，即证∠D=∠DOE。我们可以设∠D=x，结合题目给出的∠AOB=3∠D的条件，利用等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质逐步推导角度关系，最终得到∠D=∠DOE，即可完成证明。
【解析】
连接$OE$，设 $∠ D=x$。
$\because OB=OE$都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OE$，$\therefore ∠ B=∠ OEB$。
$\because ∠ OEB$ 是 $△ DEO$ 的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，$\therefore ∠ OEB=∠ D+∠ DOE=x+∠ DOE$。
$\because ∠ AOB$ 是 $△ BOD$ 的外角，同理可得$\therefore ∠ AOB=∠ B+∠ D$。
将$∠ B=∠ OEB$代入得：$∠ AOB=∠ OEB+∠ D=x+∠ DOE+x=∠ DOE+2x$。
$\because ∠ AOB=3∠ D=3x$，
$\therefore ∠ DOE+2x=3x$，即 $∠ DOE=x=∠ D$，根据等角对等边可得$DE=OE$。
又$\because OE=OB$，$\therefore DE=OB$。
【答案】
$DE=OB$，得证
【知识点】
1. 同圆半径相等；2. 等腰三角形的判定与性质；3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，解题的核心是合理添加辅助线$OE$，通过设参数表示角度，结合基础几何性质推导角度等量关系，进而得到边的等量关系，能够有效考察学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
