三、耐心做一做
⑧如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AF=CE，∠BAC=∠DCA。求证：四边形ABCD是平行四边形。

证明：
∵ BE⊥AC，DF⊥AC，
∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°。
∵ AF = CE，
∴ AF - EF = CE - EF，
即 AE = CF。
在△AEB和△CFD中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠CFD \\AE = CF \\∠BAC = ∠DCA\end{array} $
∴ △AEB ≌ △CFD（ASA），
∴ AB = CD。
又∵ ∠BAC = ∠DCA，
∴ AB // CD。
∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

⑨如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.求证:四边形ABCD是矩形.

证明：
∵ AO=OC，BO=OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ ∠AOB是△AOD的外角，
∴ ∠AOB = ∠OAD + ∠ODA。
又∵ ∠AOB = 2∠OAD，
∴ 2∠OAD = ∠OAD + ∠ODA，
∴ ∠OAD = ∠ODA，
∴ AO = DO。
∵ AC = AO + OC = 2AO，BD = BO + OD = 2DO，
∴ AC = BD。
∴ 平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。

10如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)。
(1)如图1，过点B作AC的垂线；
(2)如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线。

10.(1)如图,BD即为所求.
(2)如图,BF即为所求.