22 如图，过$□ ABCD$的对角线$AC$与$BD$的交点$E$作两条互相垂直的直线，分别交边$AB,BC,CD,DA$于点$P,M,Q,N.$
(1)求证:$△ PBE ≌ △ QDE.$
(2)连接$PM,MQ,QN,PN$，求证:四边形$PMQN$是菱形.

证明:(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB//CD,BE = DE$,
∴ $∠PBE = ∠QDE,∠BPE = ∠DQE$,
∴ $△PBE≌△QDE(AAS)$.
(2)由(1)可得$△PBE≌△QDE$,
∴ $PE = QE$.
同理可得$ME = NE$,
∴ 四边形PMQN是平行四边形.
∵ $PQ⊥MN$,
∴ 四边形PMQN是菱形.

23 已知四边形ABCD是正方形.
(1)如图①,O是正方形对角线的交点,连接OB,OC.若AB=4,求OB的长.
(2)如图②,O是BC上一点,OC'⊥BC,连接BC',C'D,若M是C'D的中点,连接OM,CM,求证:CM=OM.

(1)解:
∵ O是正方形ABCD对角线的交点，
∴ $△OBC$是以BC为斜边的等腰直角三角形,$OB = OC$,
∴ $OB^2 + OC^2 = BC^2$.
∵ $AB = 4$,
∴ $BC = 4$,
∴ $2OB^2 = 16$,
解得$OB = 2\sqrt{2}$(负值已舍去).
(2)证明:如图,延长OM交CD于点N.

∵ M是$C'D$的中点，
∴ $DM = C'M$.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $CD⊥BC$.
∵ $OC'⊥BC$,
∴ $OC'//CD$,
∴ $∠OC'M = ∠NDM$.
在$△OMC'$和$△NMD$中，
$\begin{cases}∠OC'M = ∠NDM, \\C'M = DM, \\∠OMC' = ∠NMD,\end{cases}$
∴ $△OMC'≌△NMD(ASA)$,
∴ $OM = NM$,
∴ M为ON的中点.
∵ $DC⊥BC$,
∴ $CM = OM$.

24 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若E,F是AC上的两个动点,分别从A,C两点以1 cm/s的速度向点O运动.
(1)当点E与点F不重合时,四边形DEBF是否为平行四边形?请说明理由.
(2)若AC=16 cm,BD=12 cm,则点E,F在运动的过程中,四边形DEBF能否为矩形?若能,求出此时的运动时间t;若不能,请说明理由.

解:(1)当点E与点F不重合时,四边形DEBF是平行四边形.
理由:
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OA = OC,OB = OD$.
∵ E,F两动点分别从A,C两点以相同的速度向点O运动，
∴ $AE = CF$,
∴ $OE = OF$,
∵ $OB = OD$,
∴ 四边形DEBF是平行四边形.
(2)能.
∵ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ 当$BD = EF$时,四边形DEBF是矩形.
∵ $BD = 12$ cm,
∴ $EF = 12$ cm,
∴ $OE = OF = 6$ cm.
∵ $AC = 16$ cm,
∴ $OA = OC = 8$ cm,
∴ $AE = 2$ cm.
∵ 动点E,F的速度都是1 cm/s,
∴ $t = 2$ s,
∴ 当运动时间t为2 s时,四边形DEBF是矩形.