1.「2025四川德阳中考」如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,将$△ ABC$沿$CB$向右平移至$△ EGF$处,$EF$恰好过边$AB$的中点$D$,连接$CD$,若$CD=1$,则$GE=$（）

A.3
B.2
C.1
D.$\frac{1}{2}$

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,
∴ CD 是 Rt△ABC 斜边上的中线,
∴ AB=2CD=2,由平移的性质得 GE=AB=2.

2.某房梁的示意图如图所示,立柱$AD⊥BC$,$E$,$F$分别是斜梁$AB$,$AC$的中点.若$AB=AC=8$ m,则$DE$的长为 m.

答案 4
解析 $\because AD ⊥ BC,\therefore ∠ ADB=90°,\because E$ 是 $AB$ 的中点,
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 8=4(\mathrm{m}).$故答案为 4.

3.「2026江苏无锡月考」直角三角形斜边上的中线长为5，斜边上的高是4，则这个直角三角形的面积是

答案 20
解析 $\because$ 直角三角形斜边上的中线长为 5,$\therefore$ 斜边长为 10,$\because$ 斜边上的高是 4,$\therefore$ 这个三角形的面积为 $\frac{1}{2} × 10 × 4=20.$

4. 学科特色 教材变式 「2026 江苏苏州吴中期中」如图, 在 Rt △ABC 中, ∠ACB = 90°, O 为 AB 的中点.若∠B=60°,OC=6,则 CB 的长度为.

答案 6
解析 由题意得 $OC=\frac{1}{2}AB=OB$,又$\because ∠ B=60°$,
$\therefore △ BOC$ 是等边三角形,$\therefore CB=OC=6.$

5.(1)如图1,在△ABC中,D是BC的中点,AD=$\frac{1}{2}BC$,求证:∠BAC=90°.
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC上一点,AD=CD.求证:D是BC的中点.

证明 (1)设$∠ BAD=∠ 1,∠ CAD=∠ 2$,
$\because D$ 是 $BC$ 的中点,$AD=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore AD=BD=CD,\therefore ∠ B=∠ 1,∠ C=∠ 2$,
$\because ∠ B+∠ BAC+∠ C=∠ 1+∠ 1+∠ 2+∠ 2=2(∠ 1+∠ 2)=180°,\therefore ∠ 1+∠ 2=90°,$即$∠ BAC=90°.$
(2)设$∠ BAD=∠ 1,∠ CAD=∠ 2,\because ∠ BAC=90°$,
$\therefore ∠ B+∠ C=90°,∠ 1+∠ 2=90°,\because AD=CD,\therefore ∠ C=∠ 2,\therefore ∠ B=∠ 1,\therefore BD=AD=CD,\therefore D$ 是 $BC$ 的中点.

6.「2026江苏南京联合体期中」如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的高,BE是边AC上的中线,$BD=CE$,$DF ⊥ BE$于点F.
(1)求证:$BF=EF$.
(2)若$∠ AEB=66°$,求$∠ C$的度数.

解析 (1)证明:如图,连接 DE,
$\because AD$ 是边 $BC$ 上的高,
$\therefore ∠ ADC=90°$,
$\because E$ 是边 $AC$ 的中点,
$\therefore DE=\frac{1}{2}AC=CE$,
$\because BD=CE,\therefore BD=DE$,
$\therefore △ BDE$ 是等腰三角形,
$\because DF ⊥ BE,\therefore BF=EF.$

(2)由(1)得 $DE=CE,BD=DE$,
$\therefore ∠ C=∠ EDC,∠ DBE=∠ DEB$,
设$∠ DBE=∠ DEB=x$,则$∠ EDC=∠ C=∠ DBE+∠ DEB=2x,\therefore ∠ AEB=∠ DBE+∠ C=3x$,
$\because ∠ AEB=66°,\therefore 3x=66°,$解得 $x=22°$,
$\therefore ∠ C=2 × 22°=44°.$

7.「2026浙江绍兴柯桥期中，★☆」如图，AC是四边形ABCF的对角线，∠ABC=∠AFC=90°，点E为AC的中点，连接BE，BF，EF，若∠ACB=50°，∠ECF=24°，则∠EFB的度数为（）


A.14°
B.16°
C.18°
D.15°

$\because ∠ ABC=∠ AFC=90°,$点 $E$ 为 $AC$ 的中点,$\therefore EF=BE=AE=CE=\frac{1}{2}AC,\therefore ∠ EFC=∠ ECF=24°,∠ EBC=∠ ACB=50°,∠ EBF=∠ EFB,\therefore ∠ AEF=∠ EFC+∠ ECF=48°,∠ AEB=∠ EBC+∠ ACB=100°,\therefore ∠ BEF=∠ AEF+∠ AEB=148°,\therefore ∠ EFB=\frac{1}{2}(180°-∠ BEF)=\frac{1}{2} ×(180°-148°)=16°.$故选 B.