8.「2026江苏无锡江阴月考，★☆」如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5$，$AC=3$，$BC=4$。点$D$，$E$，$Q$分别是边$AC$，$BC$，$AB$上的动点，点$P$是$DE$的中点，若$DE=2$，则$PQ$的最小值是 （）

A.$\dfrac{7}{5}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$3$
D.$2$

初中数学
八年级上册
苏科版

连接 $CP,CQ$(图略),由题意可知 $CP=\frac{1}{2}DE=1$,即点 $P$ 在以 $C$ 为圆心,1 为半径的圆上运动,根据“三角形两边之差小于第三边”和“垂线段最短”可知当$C,P,Q$ 三点共线,且 $CQ ⊥ AB$ 时,$PQ$ 取得最小值,设此时 $CQ=h,\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AC=\frac{1}{2}AB · h,\therefore h=\frac{BC · AC}{AB}=\frac{12}{5},\therefore PQ$ 的最小值为 $\frac{12}{5}-1=\frac{7}{5}.$故选 A.

9.「2026江苏南京鼓楼月考，★☆」如图,在△ABC中,∠BAC=135°,AB,AC的垂直平分线相交于点P,分别交BC于点E,F,与AB,AC分别交于点D,G.PH⊥BC于点H,连接AE,AF,若△AEF的周长是12 cm,则PH=cm.

答案 6
解析 如图,连接 $PA,PB,PC$,
$\because AB,AC$ 的垂直平分线相交于点 $P$,分别交 $BC$ 于点 $E,F$,与 $AB,AC$ 分别交于点 $D,G$,
$\therefore EA=EB,FA=FC,PB=PA=PC,\because △ AEF$ 的周长是 12 cm,即 $AE+EF+AF=12\ \mathrm{cm},\therefore BE+EF+FC=12\ \mathrm{cm}=BC,\because ∠ BAC=135°,\therefore ∠ ABC+∠ ACB=45°,\because EA=EB,FA=FC,\therefore ∠ EAB=∠ ABC,∠ FAC=∠ ACB,\therefore ∠ EAF=∠ BAC-(∠ EAB+∠ FAC)=∠ BAC-(∠ ABC+∠ ACB)=135°-45°=90°,\because PA=PB=PC,PE=PE,PF=PF,EA=EB,FA=FC,\therefore △ PEA ≌ △ PEB(\mathrm{SSS}),△ PFA ≌ △ PFC\ (\mathrm{SSS}),\therefore ∠ PBE=∠ PAE,∠ PCF=∠ PAF,\therefore ∠ PBE+∠ PCF=∠ PAE+∠ PAF=∠ EAF=90°,\therefore △ PBC$ 是直角三角形,$\because PB=PC,PH ⊥ BC,\therefore$ 点 $H$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore PH=\frac{1}{2}BC=6\ \mathrm{cm}.$故答案为 6.

10.「★☆」如图1,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,M,N分别是线段BC,DE的中点.
(1)求证:MN⊥DE.
(2)连接DM,ME,猜想∠A与∠DME之间的关系,并证明你的猜想.
(3)当∠BAC变为钝角时,如图2,(1)(2)中的结论是否都成立?若成立,直接回答,不需证明;若不成立,请说明理由.

解析 (1)证明:如图 1,连接 $DM,ME,\because CD,BE$ 分别是 $AB,AC$ 边上的高,$M$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore DM=\frac{1}{2}BC,ME=\frac{1}{2}BC,\therefore DM=ME,$又$\because N$ 为 $DE$ 的中点,
$\therefore MN ⊥ DE.$

(2)$∠ DME=180°-2 ∠ A$,
证明:在$△ ABC$ 中,$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A,\because DM=ME=BM=MC,\therefore ∠ BMD+∠ CME=(180°-2 ∠ ABC)+(180°-2 ∠ ACB)=360°-2(∠ ABC+∠ ACB)=360°-2(180°-∠ A)=2 ∠ A,\therefore ∠ DME=180°-2 ∠ A.$
(3)结论(1)成立,结论(2)不成立,理由:如图 2,连接 $DM,ME$,在 $△ ABC$ 中,$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC,\because DM=ME=BM=MC,\therefore ∠ BME+∠ CMD=(180°-2 ∠ EBC)+(180°-2 ∠ DCM)=[180°-2(90°-∠ ACB)]+[180°-2\ (90°-∠ ABC)]=2 ∠ ACB+2 ∠ ABC=2(180°-∠ BAC)=360°-2 ∠ BAC,\therefore ∠ DME=180°-(360°-2 ∠ BAC)=2 ∠ BAC-180°.$

11.核心素养 推理能力 聚焦中考 过程性学习 「2026江苏南京外国语学校月考」
在直角三角形中,过一个锐角顶点的一条直线将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形,则称这条直线是该直角三角形的“直角等腰线”.
(1)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ B=22.5°$,若$∠ CAD = 2∠ BAD$,判断AD是不是$Rt△ ABC$的“直角等腰线”,并说明理由.
(2)在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC=60°$,$BC=6$.若AD为$Rt△ ABC$的“直角等腰线”,求点D到AB的距离.

解析 (1)$AD$ 是 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的“直角等腰线”.
理由:在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°,∠ B=22.5°$,
$\therefore ∠ CAB=67.5°$,
$\because ∠ CAD=2 ∠ BAD,\therefore ∠ BAD=\frac{1}{3} × 67.5°=22.5°$,
$\therefore ∠ BAD=∠ B,\therefore △ ADB$ 是等腰三角形,
又$\because △ ACD$ 是直角三角形,
$\therefore AD$ 是 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的“直角等腰线”.
(2)$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°,∠ BAC=60°$,
$\therefore ∠ B=30°$,
$\because AD$ 为 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的“直角等腰线”,
$\therefore ∠ DAB=∠ B=30°,\therefore ∠ CAD=60°-30°=30°$,
如图,过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$,垂足为 $E$,
$\because ∠ CAD=∠ DAB,\therefore AD$ 是 $∠ CAB$ 的平分线,$\therefore CD=DE$,
$\because BC=CD+BD=DE+BD=6$,
$∠ B=30°$,
$\therefore DE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3} × 6=2.$
$\therefore$ 点 $D$ 到 $AB$ 的距离为 2.