1.阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，求证：AC=AB+BD.
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题.
方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图3，延长AB到点F，使得BF=BD，连接DF，可以得到等腰三角形，进而解决问题.
(1)根据以上材料，任选一种方法证明：AC=AB+BD.
(2)如图4，在四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，∠C=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC，CE，BE之间的数量关系，并证明.

(1)选择方法一，
证明:如题图2,在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠BAD=∠EAD,
又
∵ AD=AD,
∴ △ABD≌△AED(SAS),
∴ BD=ED,∠B=∠AED,
∵ ∠ABC=2∠C,
∴ ∠AED=2∠C,
∵ ∠AED=∠EDC+∠C,
∴ ∠EDC=∠C,
∴ ED=EC=BD,
∴ AC=AE+EC=AB+BD.
选择方法二，
证明:如题图3,延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠BAD=∠CAD,
∵ BF=BD,
∴ ∠F=∠BDF,
∴ ∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F,
∵ ∠ABC=2∠C,
∴ ∠F=∠C,
又
∵ AD=AD,
∴ △AFD≌△ACD(AAS),
∴ AF=AC,
∵ AF=AB+BF,
∴ AC=AB+BD.
(2)BE=DC+CE.
证明:如图,在EB上截取EF,使得EF=DC,连接AF,
∵ EA=ED,
∴ ∠EAD=∠EDA,
∴ 2∠DAE+∠AED=180°,
∵ ∠DAE+∠B=90°,
∴ 2∠DAE+2∠B=180°,
∴ ∠AED=2∠B=∠C,
∵ ∠BED=∠CDE+∠C=∠AEF+∠AED,
∴ ∠AEF=∠EDC,
在△AEF和△EDC中,
$\begin{cases}AE=ED,\\∠AEF=∠EDC,\\EF=DC,\end{cases}$
∴ △AEF≌△EDC(SAS),
∴ EC=AF,∠AFE=∠C=2∠B,
∵ ∠AFE=∠B+∠BAF,
∴ ∠B=∠BAF,
∴ BF=AF,
∴ BF=CE,
∴ BE=EF+BF=DC+CE.

2.「2026江苏徐州三十六中月考」【探究与发现】如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为.
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.ASA
【变式与应用】如图2，EP是△DEF的中线，若EF=8，DE=6，则EP的取值范围是.
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.
【问题拓展】如图3，OA=OB，OC=OD，∠AOB+∠COD=180°，连接AC，BD，E是AC的中点，连接OE，试证明：BD=2OE.

【探究与发现】B.
【变式与应用】1＜EP＜7.
详解:如图,延长EP至点H,使HP=EP,连接FH,
∴ EH=2EP,
∵ EP是△DEF的中线,
∴ PF=PD,
又
∵ ∠FPH=∠DPE,
∴ △FPH≌△DPE(SAS),
∴ FH=DE=6,
在△EFH中,由三角形三边关系得EF-HF＜EH＜EF+HF,
∴ 2＜2EP＜14,
∴ 1＜EP＜7.

【问题拓展】证明:如图,延长OE至点M,使EM=OE,连接CM,则MO=2OE,
易得△CEM≌△AEO(SAS),
∴ CM=AO=OB,∠MCE=∠OAE,
∴ CM//OA,
∴ ∠MCO+∠AOC=180°,
∵ ∠AOB+∠COD=180°,
∴ ∠AOC+∠BOD=180°,
∴ ∠MCO=∠BOD,
在△MCO和△BOD中,
$\begin{cases}CM=OB,\\∠MCO=∠BOD,\\CO=OD,\end{cases}$
∴ △MCO≌△BOD(SAS),
∴ MO=BD,
∵ MO=2OE,
∴ BD=2OE.