初中数学
八年级
二册
苏科版
9.「2026江苏苏州姑苏期中，★☆」如图，$∠ AOB=120°$，OP平分$∠ AOB$，且$OP=1$.若点M，N分别在OA，OB上，且$△ PMN$为等边三角形，则满足上述条件的$△ PMN$有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个

如图,过点P作$PM⊥ OA$于点M,$PN⊥ OB$于点N,连接MN,
$\because OP$平分$∠ AOB$,$PM⊥ OA$,$PN⊥ OB$,
$\therefore PM=PN$,$∠ PMO=90°$,$∠ PNO=90°$,
$\because ∠ AOB=120°$,$\therefore ∠ MPN=360°-∠ AOB-∠ PMO-∠ PNO=60°$,$\therefore △ PMN$是等边三角形.
当点M沿线段MO移动,点N沿射线NB移动,且保持$∠ MPM_1=∠ NPN_1$时,$∠ M_1PN_1=∠ MPN=60°$,
在$△ PMM_1$和$△ PNN_1$中,$\begin{cases} ∠ PMM_1=∠ PNN_1,\\ PM=PN,\\ ∠ MPM_1=∠ NPN_1, \end{cases}$
$\therefore △ PMM_1≌△ PNN_1(\mathrm{ASA})$,$\therefore PM_1=PN_1$,
$\therefore △ M_1PN_1$是等边三角形.此时存在无数个满足条件的等边$△ PM_1N_1$.
同理,当点M沿射线MA移动,点N沿线段NO移动,且保持$∠ MPM_2=∠ NPN_2$时,也存在无数个满足条件的等边$△ PM_2N_2$.
综上,满足条件的$△ PMN$有无数个.故选D.

10.「2026广东广州期中，★★」如图,在直线AC的同一侧分别作等边$△ ABD$和等边$△ BCE$,连接$AE$,$CD$,分别交$BD$,$BE$于点$G$,$F$,$AE$与$CD$交于点$H$,连接$BH$,$GF$,有以下结论:①$△ ABE ≌ △ DBC$;②$AG=DH$;③$HB$平分$∠ AHC$;④$△ GBF$是等边三角形.以上结论正确的有（填序号）.

答案 ①③④
解析 $\because △ ABD$,$△ BCE$都是等边三角形,
$\therefore BC=BE$,$∠ ABD=∠ EBC=60°$,$BA=BD$,
$\therefore ∠ DBF=180°-∠ ABD-∠ EBC=60°$,$∠ ABE=∠ DBC$,
在$△ ABE$和$△ DBC$中,$\begin{cases} BA=BD,\\ ∠ ABE=∠ DBC,\\ BE=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ DBC(\mathrm{SAS})$,故①正确.
$\therefore ∠ BAE=∠ BDC$,
在$△ AGB$和$△ DFB$中,$\begin{cases} ∠ BAG=∠ BDF,\\ AB=DB,\\ ∠ ABG=∠ DBF=60°, \end{cases}$
$\therefore △ AGB≌△ DFB(\mathrm{ASA})$,$\therefore AG=DF＞DH$,故②错误.
如图,过点B作$BN⊥ CD$于点N,$BM⊥ AE$于点M,
$\because △ ABE≌△ DBC$,
$\therefore AE=CD$,$S_{△ ABE}=S_{△ DBC}$,
$\because BN⊥ CD$,$BM⊥ AE$,
$\therefore \frac{1}{2}AE· BM=\frac{1}{2}CD· BN$,$\therefore BM=BN$,$\therefore HB$平分$∠ AHC$,故③正确.
$\because △ AGB≌△ DFB$,$\therefore GB=FB$,又$\because ∠ GBF=60°$,
$\therefore △ GBF$是等边三角形,故④正确.
综上所述,结论正确的是①③④.

11.「2026江苏苏州大学实验学校月考，★☆」如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.
(1)求证:AD=BE.
(2)若AD=5，PE=1，求PQ的长.

(1)证明:$\because △ ABC$为等边三角形,
$\therefore AB=AC$,$∠ BAE=∠ C=60°$,
又$\because AE=CD$,$\therefore △ ABE≌△ CAD(\mathrm{SAS})$,$\therefore AD=BE$.
(2)由(1)得$△ ABE≌△ CAD$,$\therefore ∠ CAD=∠ ABE$,$AD=BE$,
$\therefore ∠ BPQ=∠ ABP+∠ BAP=∠ CAD+∠ BAP=∠ BAE=60°$,$\because BQ⊥ AD$,$\therefore ∠ BQP=90°$,$\therefore ∠ PBQ=30°$,
$\because AD=5$,$\therefore BE=5$,$\because PE=1$,$\therefore BP=BE-PE=4$,在$\mathrm{Rt}△ BPQ$中,$∠ PBQ=30°$,$∠ BQP=90°$,$\therefore PQ=\frac{1}{2}BP=2$.

12. 核心素养几何直观 「2026 江苏盐城阜宁期中」如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P,Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿路径A→C→B运动，点Q以2厘米/秒的速度沿路径A→B→C→D运动，当点Q运动到D点时，P,Q两点同时停止运动。设点P,Q运动的时间为t秒。
(1)点P,Q从出发到相遇的时间是秒。
(2)当t取何值时，△APQ是等边三角形？请说明理由。
(3)当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系。

(1)4.
(2)如图,当$△ APQ$是等边三角形时,点P在BC上,点Q在CD上,
$\because △ ACD$是等边三角形,$\therefore AD=AC$,$∠ DAC=60°$,
$\because △ APQ$是等边三角形,$\therefore AQ=AP$,$∠ PAQ=60°$,
$\therefore ∠ DAQ=60°-∠ QAC=∠ CAP$,
在$△ ADQ$和$△ ACP$中,$\begin{cases} AD=AC,\\ ∠ DAQ=∠ CAP,\\ AQ=AP, \end{cases}$
$\therefore △ ADQ≌△ ACP(\mathrm{SAS})$,
$\therefore CP=DQ$,即$t-4=4-(2t-8)$,解得$t=\frac{16}{3}$.
(3)PQ与AC互相垂直.理由如下:
当$0＜t＜2$时,点P在AC上,点Q在AB上,
如图,设AQ的中点为N,连接PN,则$AN=NQ$,
根据题意得$AQ=2AP$,$\therefore AP=AN=NQ$,
$\because ∠ PAQ=60°$,$\therefore △ APN$是等边三角形,
$\therefore PN=AN=NQ$,$∠ PNA=∠ APN=60°$,
$\therefore ∠ NPQ=∠ NQP=30°$,$\therefore ∠ APQ=∠ APN+∠ NPQ=90°$,即当$0＜t＜2$时,PQ与AC互相垂直.