1.在等边$△ ABC$中，$AB=2$，则$△ ABC$的周长为（）

A.2
B.4
C.6
D.8

∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC=AB=2,
∴△ABC的周长为2×3=6.

2.「2026江苏镇江丹徒月考」如图，AD是等边$△ ABC$的中线，$AE=AD$，则$∠ EDC$的度数为（）


A.$30°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$15°$

∵AD是等边△ABC的中线,
∴∠C=∠BAC=60°,AD⊥BC,∠CAD=∠BAD,
∴∠CAD=30°,∠ADC=90°,
∵AE=AD,
∴∠ADE=∠AED=1/2×(180°−30°)=75°,
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90°−75°=15°.故选D.

3. 学科特色多解法「2026江苏苏州昆山期中」如图，$l_1 // l_2$，等边$△ ABC$的顶点A在直线$l_1$上，$l_2$与$△ ABC$的两边AC,BC相交.若$∠ 1 = 138°$,则$∠ 2$的度数为.

答案 $102°$
解析 【解法一】如图,
$\because ∠ 1=138°$,
$\therefore ∠ 3=180°-∠ 1=42°$,
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ C=60°$,
$\therefore ∠ 4=∠ C+∠ 3=60°+42°=102°$,
$\because l_1// l_2,\therefore ∠ 2=∠ 4=102°$.
【解法二】如图,过点B作$l_3// l_1$,
$\because l_1// l_2,\therefore l_1// l_3// l_2,\therefore ∠ 3=∠ 4,∠ 5=∠ 6$,
$\because ∠ 1=138°,\therefore ∠ 3=∠ 4=42°$,
$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ ABC=∠ CAB=60°$,
$\therefore ∠ 5=∠ 6=60°-42°=18°,\therefore ∠ 2=180°-∠ CAB-∠ 6=180°-60°-18°=102°$.

4.「2026江苏扬州邗江期中改编」如图，$△ ABC$为等边三角形，BD是高线，延长BC至点E，使$CE=CD$，连接DE.
(1)求证：$△ BDE$是等腰三角形.
(2)若$AB=4$，求BE的长.

(1)证明:$\because △ ABC$是等边三角形,BD是高线,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=60°$,BD平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD=30°$,
$\because CE=CD,∠ E+∠ CDE=∠ ACB=60°$,
$\therefore ∠ E=∠ CDE=30°=∠ CBD,\therefore DB=DE$,
$\therefore △ BDE$是等腰三角形.
(2)$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore AC=BC=AB=4$,
$\because BD$是高线,$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=2,\because CE=CD,\therefore CE=2$,
$\therefore BE=BC+CE=4+2=6$.

5.「2026江苏南通崇川月考」下列三角形:①有两个角等于$60°$的三角形;②有一个角等于$60°$的等腰三角形;③三个角都相等的三角形;④三边都相等的三角形,其中是等边三角形的有(填序号).

答案 ①②③④

6.「2026 江苏盐城东台月考」如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ ABC=90°, D$ 是 $BC$ 上的一点,过点 $D$ 作 $AC$ 的垂线交 $AC$ 于点 $E, AE=AB$,连接 $AD,BE$.
(1)求证:AD 垂直平分 $BE$.
(2)若 $∠ CDE=60°$,判断 $△ ABE$ 的形状.

(1)证明:$\because DE⊥ AC,\therefore ∠ AED=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中,$\begin{cases} AD=AD,\\ AB=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL}),\therefore DB=DE$,
$\because AB=AE,DB=DE,\therefore$点A和点D都在BE的垂直平分线上,$\therefore AD$垂直平分BE.
(2)$\because DE⊥ AC,\therefore ∠ CED=90°,\because ∠ CDE=60°,\therefore ∠ C=30°,\because ∠ ABC=90°,\therefore ∠ BAE=60°$,又$\because AB=AE$,
$\therefore △ ABE$是等边三角形.

7.「2026江苏苏州高新区期中」如图，在一次强风中，一棵与地面垂直的树在离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成$30°$角，这棵树在折断前的高度为（）A.6米 B.9米 C.12米 D.15米

如图,根据题意得$∠ ACB=90°$,$BC=3$米,$∠ BAC=30°$,$\therefore AB=2BC=6$米,$\therefore AB+BC=6+3=9$(米),即这棵树在折断前的高度是9米.

8.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C=30°,AD⊥ AB$交BC于点D,$BC=12$,则$BD=$.

解析 $\because ∠ B=∠ C=30°,\therefore ∠ BAC=180°-30°-30°=120°$,$\because AD⊥ AB,\therefore ∠ BAD=90°,\therefore ∠ CAD=30°=∠ C$,$BD=2AD$,$\therefore AD=CD$,$\therefore BD=\frac{2}{3}BC$,$\because BC=12$,$\therefore BD=8$.