10.「★☆」如图,在$△ ABC$中,$AB=2$,$∠ B=∠ C=40°$,点$D$在线段$BC$上运动($D$不与$B$,$C$重合),连接$AD$,作$∠ ADE=40°$,$DE$交线段$AC$于点$E$.
(1)当$DC$等于多少时,$△ ABD≌△ DCE$?请写出完整的证明过程.
(2)在点$D$的运动过程中,$△ ADE$的形状也在改变,问当$∠ BDA$等于多少度时,$△ ADE$为等腰三角形?

解析 (1)当 $DC=2$ 时,$△ ABD≌△ DCE$.
证明:$\because ∠ EDC+∠ EDA=∠ DAB+∠ B,∠ B=∠ EDA=40°,\therefore ∠ EDC=∠ DAB$,
$\because ∠ B=∠ C,\therefore $ 当 $DC=AB=2$ 时,$△ ABD≌△ DCE$.
(2)$△ ADE$ 为等腰三角形时,需分类讨论:
①当 $AD=AE$ 时,$∠ ADE=∠ AED=40°$,
$\because ∠ AED＞∠ C,\therefore $ 此时不符合题意.
②当 $DA=DE$ 时,$∠ DAE=∠ DEA=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°,\therefore ∠ BDA=∠ DAE+∠ C=70°+40°=110°$.
③当 $EA=ED$ 时,$∠ ADE=∠ DAE=40°$,
$\therefore ∠ BDA=∠ DAE+∠ C=40°+40°=80°$.
综上,当$∠ BDA$ 等于$110°$或$80°$时,$△ ADE$ 为等腰三角形.

11. 核心 素养 推理能力 「2026浙江金华永康期中节选」
(1)如图1,线段OA的一个端点O在直线l上,OA与直线l所成的锐角为$50°$,以OA为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点P在直线l上,这样的等腰三角形能画个.
(2)如图2,在$△ ABC$中,$∠ BAC=20°$,若存在过点C的一条直线,能把该三角形分成两个等腰三角形,试求$∠ B$的度数.

解析 (1)如图1,①$AO=OP_1$,②$AO=AP_2$;③$AO=OP_3$,④$AP_4=OP_4$,故这样的等腰三角形能画4个.

(2)如图2,当$AD=CD$时,$∠ ACD=∠ A=20°$,
$\therefore ∠ CDB=40°$,①当$CD=BD$时,$∠ B=∠ BCD=70°$;
②当$CD=BC$时,$∠ B=∠ CDB=40°$;
③当$BD=BC$时,$∠ B=180°-40°-40°=100°$.
如图3,当$AC=AE,CE=BE$时,
$\because ∠ A=20°,\therefore ∠ ACE=∠ AEC=80°$,
$\therefore ∠ B=∠ BCE=40°$.
如图4,当$AC=CF,CF=BF$时,
$\because ∠ A=20°,\therefore ∠ AFC=∠ A=20°,\therefore ∠ B=10°$.
综上所述,$∠ B$ 的度数为 $10°$或$40°$或$70°$或$100°$.

1.「2026江苏宿迁沭阳月考」如图,在$△ ABC$中,$BC=15\ \mathrm{cm}$,$BP$,$CP$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线,且$PD// AB$,$PE// AC$,则$△ PDE$的周长为.

第1题图 第2题图

答案 15 cm
解析 $\because BP,CP$ 分别是$∠ ABC$ 和$∠ ACB$ 的平分线,
$\therefore ∠ ABP=∠ PBD,∠ ACP=∠ PCE$,
$\because PD// AB,PE// AC,\therefore ∠ ABP = ∠ BPD, ∠ ACP = ∠ CPE,\therefore ∠ PBD = ∠ BPD, ∠ PCE = ∠ CPE,\therefore BD = PD,CE=PE,\therefore △ PDE$ 的周长$=PD+DE+PE=BD+DE+CE=BC=15\ \mathrm{cm}$.

2.「2026 江苏连云港赣榆期中」如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线相交于点$O$,过点$O$作$MN// BC$,交$AB$于点$M$,交$AC$于点$N$,若$AB=3$,$AC=4$,则$△ AMN$的周长为.

答案 7
解析 $\because BO$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABO=∠ OBC$,
$\because MN// BC,\therefore ∠ MOB=∠ OBC,\therefore ∠ ABO=∠ MOB$,
$\therefore MO=MB$,同理可得 $NO=NC$,
$\therefore MN=OM+ON=BM+NC,\therefore △ AMN$ 的周长$=AM+AN+MN=AM+AN+BM+NC=AB+AC=3+4=7$.

3.「2026江苏南通崇川月考」如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF//BC交AB于点D，交AC于点E。若BD=7 cm，CE=5 cm，则DE的长为 cm.

答案 2
解析 $\because BF,CF$ 分别平分$∠ ABC,∠ ACG,\therefore ∠ DBF=∠ CBF,∠ FCE = ∠ FCG,\because DF // BC, \therefore ∠ DFB = ∠ CBF,∠ EFC = ∠ FCG,\therefore ∠ DBF = ∠ DFB, ∠ FCE = ∠ EFC,\therefore FD=BD=7\ \mathrm{cm},EF=CE=5\ \mathrm{cm},\therefore DE=DF-EF=7-5=2(\mathrm{cm})$.

4.「2026江苏宿迁宿城月考」如图,在$△ ABC$中,$ED// BC$,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线分别交$ED$于点$G$,$F$,若$FG=4$,$ED=8$,则$EB+DC=$.

答案 12
解析 易得 $EB=EG,DC=DF$,
$\therefore EB+DC=EG+DF=ED+FG=12$.