20 老师用10个1cm×1cm×1cm的小正方体摆出一个立体图形，它的主视图如图①所示，且图中任意两个相邻的小正方体至少有一条棱(1cm)，或有一面(1cm×1cm)重合。老师拿出一张3cm×4cm的方格纸(如图②)，请小亮将此10个小正方体依主视图摆放在方格纸中的方格内，小亮摆放后的左视图有种。(小正方体摆放时不得悬空，每一小正方体的棱均与水平线垂直或平行)

20. 由题意可知,立体图形只有一排左视图有3个正方形,有两到三排。三排的左视图有:$3 × 4=12$种;两排的左视图有:$2 × 2=4$种;共$12+4=16$种。故答案为16。

【分析】
解题时首先明确核心条件：主视图固定说明立体图形从正面看每一列的最大高度是确定的；左视图的形状由摆放的前后排数、每一排的最大高度决定。首先根据总共有10个小正方体的条件，可排除只摆1排的情况（1排最多仅能放4个小正方体，数量不足10），因此仅需分摆放2排、3排两种情况，分别计算两种情况下符合要求的左视图种数，最后求和即可得到总种数。
【解析】
根据题意，立体图形的总小正方体个数为10，若仅摆放1排，最多有4个位置，最多放4个小正方体，数量不足，因此摆放只能是2排或3排：
① 当摆放为3排时：左视图共有3列，结合主视图的高度限制，符合要求的左视图共有$3 × 4=12$种；
② 当摆放为2排时：左视图共有2列，结合主视图的高度限制，符合要求的左视图共有$2 × 2=4$种；
将两种情况的种数相加，总共有$12+4=16$种。
【答案】
16
【知识点】
简单组合体的三视图，分类讨论计数，几何体摆放
【点评】
本题考查对三视图概念的理解和分类讨论的计数能力，解题的关键是先根据小正方体总数确定可能的摆放排数，再分别计算不同排数下左视图的可能情况，计数时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.35

21 如图①是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图②所示。

（1）请画出这个几何体的俯视图。
（2）如图③是这个几何体的主视图，已知蒙古包的顶部离地面的高度$EO_1=6$米，圆柱部分的高$OO_1=4$米，底面圆的直径$BC=8$米，求$∠ EAO$的正弦值。

21. (1) 俯视图：
(2) 因为$EO_1=6$米,$OO_1=4$米,所以$EO=EO_1-OO_1=6-4=2$米。因为$AD=BC=8$米,所以$OA=OD=4$米。在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,$AE=\sqrt{AO^2+OE^2}=2\sqrt{5}$米,所以$\sin ∠ EAO=\frac{EO}{AE}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

【分析】
（1）绘制该组合几何体的俯视图时，先明确蒙古包由等底的圆柱和圆锥组成：圆柱的俯视图是圆，圆锥的俯视图是带圆心的圆，因此组合体的俯视图为和底面等大、带圆心点的圆。
（2）求∠EAO的正弦值，需遵循以下思路：首先根据正弦的定义，明确需要在Rt△AOE中找到∠EAO的对边和斜边；先通过总高度与圆柱高度的差求出圆锥的高EO，再由底面直径求出半径AO的长度，接着用勾股定理算出斜边AE的长度，最后代入正弦公式计算即可。
【解析】
（1）该几何体的俯视图如下：

（2）由题意得EO⊥AD，即△AOE为直角三角形。
首先计算EO的长度：已知$EO_1=6$米，$OO_1=4$米，因此$EO=EO_1-OO_1=6-4=2$米。
因为底面直径$BC=8$米，且$AD=BC$，所以$AD=8$米，因此$OA=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$米。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{AO^2+OE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$米。
根据锐角正弦的定义：
$\sin ∠ EAO=\frac{EO}{AE}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1)
(2) $\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
三视图的画法；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题结合生活实际考查组合几何体的三视图绘制与解直角三角形的应用，解题时需要准确拆分组合体的结构，正确提取线段长度代入计算即可。
【难度系数】
0.7