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22 (1) 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为
(2) 如图②，小明为测河对岸的路灯杆AB的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m。已知小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度。
D
。(2) 如图②，小明为测河对岸的路灯杆AB的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m。已知小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度。
答案
22. (1) D
(2) 因为$CD // EF // AB$,所以$△ CDF ∽ △ ABF$,$△ ABG ∽ △ EFG$,所以$\frac{CD}{AB}=\frac{DF}{BF}$,$\frac{EF}{AB}=\frac{GF}{BG}$。又因为$CD=EF$,所以$\frac{DF}{BF}=\frac{GF}{BG}$,所以$\frac{3}{BD+3}=\frac{4}{BD+7}$,所以$BD=9\ \mathrm{m}$,$BF=9+3=12\ \mathrm{m}$,所以$\frac{1.6}{AB}=\frac{3}{12}$,解得$AB=6.4\ \mathrm{m}$,所以灯杆AB的高度为6.4 m。
(2) 因为$CD // EF // AB$,所以$△ CDF ∽ △ ABF$,$△ ABG ∽ △ EFG$,所以$\frac{CD}{AB}=\frac{DF}{BF}$,$\frac{EF}{AB}=\frac{GF}{BG}$。又因为$CD=EF$,所以$\frac{DF}{BF}=\frac{GF}{BG}$,所以$\frac{3}{BD+3}=\frac{4}{BD+7}$,所以$BD=9\ \mathrm{m}$,$BF=9+3=12\ \mathrm{m}$,所以$\frac{1.6}{AB}=\frac{3}{12}$,解得$AB=6.4\ \mathrm{m}$,所以灯杆AB的高度为6.4 m。
解析
【分析】
(1) 首先明确路灯属于点光源，对应的投影是中心投影。解题时分两段分析影长变化：①小明从A走到路灯正下方的过程中，与路灯的水平距离逐渐减小，影长随到A的距离增大而缩短，到正下方时影长为0；②小明从路灯正下方走到B的过程中，与路灯的水平距离逐渐增大，影长随到A的距离增大而变长。再结合相似三角形的比例关系，可知两段变化均为一次函数关系，对应图像是先降后升的折线，即可选出正确选项。
(2) 解题思路：人和路灯都垂直于地面，因此人和路灯互相平行，可得到两组相似三角形。利用相似三角形对应边成比例的性质，结合人的身高不变，得到两个比例式相等，设BD为未知数列方程，先求出BD的长度，再代入比例式即可求出路灯AB的高度。
【解析】
(1) 设小明身高为$h$，路灯高度为$H$，路灯正下方到点A的距离为$a$：
当$x≤ a$时，由相似三角形性质得$\frac{h}{H}=\frac{y}{a-x}$，整理得$y=-\frac{h}{H}x+\frac{ha}{H}$，是斜率为负的一次函数，$y$随$x$增大而减小，$x=a$时$y=0$；
当$x＞a$时，同理得$\frac{h}{H}=\frac{y}{x-a}$，整理得$y=\frac{h}{H}x-\frac{ha}{H}$，是斜率为正的一次函数，$y$随$x$增大而增大。
因此函数图像为先降后升的折线，对应选项D。
(2) 解：$\because CD⊥ BG$，$EF⊥ BG$，$AB⊥ BG$
$\therefore CD// EF// AB$
$\therefore △ CDF ∽ △ ABF$，$△ EFG ∽ △ ABG$
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{DF}{BF}$，$\frac{EF}{AB}=\frac{GF}{BG}$
又$\because CD=EF=1.6\ \mathrm{m}$
$\therefore \frac{DF}{BF}=\frac{GF}{BG}$
设$BD=x\ \mathrm{m}$，则$BF=(x+3)\ \mathrm{m}$，$BG=(x+3+4)=(x+7)\ \mathrm{m}$
代入得$\frac{3}{x+3}=\frac{4}{x+7}$
交叉相乘得$3(x+7)=4(x+3)$
解得$x=9$，即$BD=9\ \mathrm{m}$
$\therefore BF=9+3=12\ \mathrm{m}$
代入$\frac{1.6}{AB}=\frac{3}{12}$，解得$AB=6.4\ \mathrm{m}$
【答案】
(1) D；(2) 路灯杆AB的高度为$\boldsymbol{6.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 中心投影的性质
2. 相似三角形的应用
【点评】
本题结合生活场景考查投影与相似三角形的相关知识，第一问需要结合中心投影的特点分析影长的变化规律，第二问通过构造相似三角形建立比例关系求解高度，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确路灯属于点光源，对应的投影是中心投影。解题时分两段分析影长变化：①小明从A走到路灯正下方的过程中，与路灯的水平距离逐渐减小，影长随到A的距离增大而缩短，到正下方时影长为0；②小明从路灯正下方走到B的过程中，与路灯的水平距离逐渐增大，影长随到A的距离增大而变长。再结合相似三角形的比例关系，可知两段变化均为一次函数关系，对应图像是先降后升的折线，即可选出正确选项。
(2) 解题思路：人和路灯都垂直于地面，因此人和路灯互相平行，可得到两组相似三角形。利用相似三角形对应边成比例的性质，结合人的身高不变，得到两个比例式相等，设BD为未知数列方程，先求出BD的长度，再代入比例式即可求出路灯AB的高度。
【解析】
(1) 设小明身高为$h$，路灯高度为$H$，路灯正下方到点A的距离为$a$：
当$x≤ a$时，由相似三角形性质得$\frac{h}{H}=\frac{y}{a-x}$，整理得$y=-\frac{h}{H}x+\frac{ha}{H}$，是斜率为负的一次函数，$y$随$x$增大而减小，$x=a$时$y=0$；
当$x＞a$时，同理得$\frac{h}{H}=\frac{y}{x-a}$，整理得$y=\frac{h}{H}x-\frac{ha}{H}$，是斜率为正的一次函数，$y$随$x$增大而增大。
因此函数图像为先降后升的折线，对应选项D。
(2) 解：$\because CD⊥ BG$，$EF⊥ BG$，$AB⊥ BG$
$\therefore CD// EF// AB$
$\therefore △ CDF ∽ △ ABF$，$△ EFG ∽ △ ABG$
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{DF}{BF}$，$\frac{EF}{AB}=\frac{GF}{BG}$
又$\because CD=EF=1.6\ \mathrm{m}$
$\therefore \frac{DF}{BF}=\frac{GF}{BG}$
设$BD=x\ \mathrm{m}$，则$BF=(x+3)\ \mathrm{m}$，$BG=(x+3+4)=(x+7)\ \mathrm{m}$
代入得$\frac{3}{x+3}=\frac{4}{x+7}$
交叉相乘得$3(x+7)=4(x+3)$
解得$x=9$，即$BD=9\ \mathrm{m}$
$\therefore BF=9+3=12\ \mathrm{m}$
代入$\frac{1.6}{AB}=\frac{3}{12}$，解得$AB=6.4\ \mathrm{m}$
【答案】
(1) D；(2) 路灯杆AB的高度为$\boldsymbol{6.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 中心投影的性质
2. 相似三角形的应用
【点评】
本题结合生活场景考查投影与相似三角形的相关知识，第一问需要结合中心投影的特点分析影长的变化规律，第二问通过构造相似三角形建立比例关系求解高度，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
23 某工厂要加工一批上下底密封的纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图①。
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是
（2）根据该几何体的三视图，在图②中补全它的表面展开图。
（3）请你根据图①中数据，计算这个密封纸盒的表面积。
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是
底面为正六边形的直六棱柱
。（2）根据该几何体的三视图，在图②中补全它的表面展开图。
（3）请你根据图①中数据，计算这个密封纸盒的表面积。
答案
23. (1) 底面为正六边形的直六棱柱
(2) 表面展开图：
(3) 直六棱柱的高为12 cm,底面边长为5 cm,所以六棱柱的侧面积为$6 × 5 × 12=360(\mathrm{cm}^2)$。直六棱柱的2个底面面积之和为$2 × 6 × \frac{1}{2} × 5 × \frac{5\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$,所以直六棱柱的表面积为$(75\sqrt{3}+360)\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
1. 第（1）问：结合三视图特征判断，俯视图为正六边形，主视图、左视图均为矩形，说明几何体侧棱与底面垂直，底面为正六边形，对应直六棱柱。
2. 第（2）问：直六棱柱的表面展开图由6个完全相同的矩形侧面、2个全等的正六边形底面组成，观察给出的不完整展开图，补全缺少的3个侧面矩形即可。
3. 第（3）问：密封纸盒表面积=侧面积+2个底面面积。首先确定参数：棱柱高为12cm，底面正六边形边长为5cm。侧面积为6个长12cm、宽5cm的矩形面积之和；正六边形可拆分为6个全等的等边三角形，先通过勾股定理计算等边三角形的高，再求单个等边三角形面积，进而得到底面积，最后合并侧面积与两个底面积得到总表面积。
【解析】
（1）该几何体俯视图为正六边形，主、左视图均为矩形，侧棱与底面垂直，因此是底面为正六边形的直六棱柱。
（2）直六棱柱有6个矩形侧面，上下底面为正六边形，补全后的展开图如下：
（3）计算过程如下：
① 计算侧面积：直六棱柱高12cm，底面正六边形边长为5cm，侧面积为6个侧面矩形的面积和：
$S_{\mathrm{侧}}=6× 5 × 12=360(\mathrm{cm}^2)$
② 计算底面面积：正六边形可拆分为6个边长为5cm的等边三角形，由勾股定理得等边三角形的高$h=\sqrt{5^2-(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$，单个底面面积为：
$S_{\mathrm{底}}=6× \frac{1}{2}×5×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{75\sqrt{3}}{2}(\mathrm{cm}^2)$
③ 两个底面总面积：$2S_{\mathrm{底}}=2×\frac{75\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$
④ 总表面积：$S_{\mathrm{表}}=S_{\mathrm{侧}}+2S_{\mathrm{底}}=(360+75\sqrt{3})\mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 底面为正六边形的直六棱柱
(2)
(3) $(75\sqrt{3}+360)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图识别几何体，直棱柱表面积计算，正多边形面积计算
【点评】
本题综合考查了三视图、几何体展开图和表面积计算，需要熟悉棱柱的三视图特征，掌握正六边形的拆分计算方法，解题时注意密封纸盒需计算上下两个底面的面积，避免漏算。
【难度系数】
0.65
1. 第（1）问：结合三视图特征判断，俯视图为正六边形，主视图、左视图均为矩形，说明几何体侧棱与底面垂直，底面为正六边形，对应直六棱柱。
2. 第（2）问：直六棱柱的表面展开图由6个完全相同的矩形侧面、2个全等的正六边形底面组成，观察给出的不完整展开图，补全缺少的3个侧面矩形即可。
3. 第（3）问：密封纸盒表面积=侧面积+2个底面面积。首先确定参数：棱柱高为12cm，底面正六边形边长为5cm。侧面积为6个长12cm、宽5cm的矩形面积之和；正六边形可拆分为6个全等的等边三角形，先通过勾股定理计算等边三角形的高，再求单个等边三角形面积，进而得到底面积，最后合并侧面积与两个底面积得到总表面积。
【解析】
（1）该几何体俯视图为正六边形，主、左视图均为矩形，侧棱与底面垂直，因此是底面为正六边形的直六棱柱。
（2）直六棱柱有6个矩形侧面，上下底面为正六边形，补全后的展开图如下：
（3）计算过程如下：
① 计算侧面积：直六棱柱高12cm，底面正六边形边长为5cm，侧面积为6个侧面矩形的面积和：
$S_{\mathrm{侧}}=6× 5 × 12=360(\mathrm{cm}^2)$
② 计算底面面积：正六边形可拆分为6个边长为5cm的等边三角形，由勾股定理得等边三角形的高$h=\sqrt{5^2-(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$，单个底面面积为：
$S_{\mathrm{底}}=6× \frac{1}{2}×5×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{75\sqrt{3}}{2}(\mathrm{cm}^2)$
③ 两个底面总面积：$2S_{\mathrm{底}}=2×\frac{75\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$
④ 总表面积：$S_{\mathrm{表}}=S_{\mathrm{侧}}+2S_{\mathrm{底}}=(360+75\sqrt{3})\mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 底面为正六边形的直六棱柱
(2)
(3) $(75\sqrt{3}+360)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图识别几何体，直棱柱表面积计算，正多边形面积计算
【点评】
本题综合考查了三视图、几何体展开图和表面积计算，需要熟悉棱柱的三视图特征，掌握正六边形的拆分计算方法，解题时注意密封纸盒需计算上下两个底面的面积，避免漏算。
【难度系数】
0.65
