24 分别画出如图所示几何体的三视图，并求几何体的表面积和体积。
(1) 2 cm，4 cm，6 cm，8 cm
(2) 1.5 cm，1.5 cm，3 cm，1.5 cm，4.5 cm，9 cm
(3) 2 cm，2 cm，10 cm，15 cm，5 cm

24. (1) 三视图：
主视图，左视图，俯视图
由勾股定理易得主视图中等腰三角形的腰长为5 cm。
表面积为:$6 × 2 × 2+8 × 2 × 2+2 × 6 × 4 ÷ 2+2 × 5 × 8+6 × 8=208(\mathrm{cm}^2)$。
体积为:$(6 × 2+6 × 4 ÷ 2) × 8=192(\mathrm{cm}^3)$。
(2) 三视图：
主视图，左视图，俯视图
表面积为:$9 × 4.5 × 2+4.5 × 9 × 2+(4.5 × 4.5-1.5 × 3) × 2+3 × 9 × 2=247.5(\mathrm{cm}^2)$。
体积为:$(4.5 × 4.5-1.5 × 3) × 9=141.75(\mathrm{cm}^3)$。
(3) 三视图：
主视图，左视图，俯视图
表面积为:$15 × 5 × 2+10 × 15+(2 × 10 × 5-π × 3^2)+2 × 15 × 2+\frac{1}{2}π(10-2-2) × 15=(460+36π)\ \mathrm{cm}^2$。
体积为:$(10 × 5-\frac{1}{2}π × 3^2) × 15=(750-67.5π)\ \mathrm{cm}^3$。

【分析】
解题分为两部分：一是绘制三视图，二是计算表面积和体积。
绘制三视图时，需分别从正面、左面、上面三个方向观察几何体，可见的棱用实线绘制，不可见的棱用虚线绘制，准确反映几何体的轮廓。
计算表面积和体积时采用割补法：体积可转化为多个规则几何体（长方体、棱柱、圆柱等）的体积和或差；表面积需注意拼接/挖去部分的面的变化，拼接处重合的面要减去对应面积，挖去部分新增的内侧面积要加上，同时扣除挖去位置的外表面面积，逐面核对避免错漏。
【解析】
(1) 第一组几何体（下方长方体+上方直三棱柱组合体）
1. 三视图绘制：从正面看，下方为长6cm、高2cm的长方形，上方为底6cm、高4cm的等腰三角形，得主视图；从左面看，为上下两个长8cm、高分别为2cm、4cm的长方形，得左视图；从上面看，为两个并排的长8cm、宽3cm的长方形，得俯视图。
2. 计算主视图等腰三角形腰长：三角形底为6cm，高为4cm，由勾股定理得腰长$\sqrt{(6÷2)^2+4^2}=5\mathrm{cm}$。
3. 表面积：将各面面积求和：
$S=2×(6×2)+2×(8×2)+2×(\frac{1}{2}×6×4)+2×(5×8)+6×8=208(\mathrm{cm}^2)$
4. 体积：用横截面面积×几何体长度8cm计算：
$V=(6×2+\frac{1}{2}×6×4)×8=192(\mathrm{cm}^3)$
(2) 第二组几何体（大长方体挖去小长方体）
1. 三视图绘制：从正面看为U形轮廓，得主视图；从左面看为长方形，挖去的棱不可见，用虚线标注，得左视图；从上面看为三个并排的长方形，得俯视图。
2. 表面积：大长方体表面积减去2个挖去的小长方形面，加上挖去新增的2个侧面面积：
$S=2×(4.5×9+4.5×9+4.5×4.5)-2×(1.5×3)+2×(3×9)=247.5(\mathrm{cm}^2)$
3. 体积：大长方体体积减去挖去的小长方体体积：
$V=(4.5×4.5×9)-(1.5×3×9)=141.75(\mathrm{cm}^3)$
(3) 第三组几何体（长方体挖去半圆柱）
1. 三视图绘制：从正面看为长方形上方挖去半圆，得主视图；从左面看为长方形，半圆柱的棱不可见，用虚线标注，得左视图；从上面看为三个并排的长方形，得俯视图。
2. 半圆柱参数：直径$d=10-2-2=6\mathrm{cm}$，半径$r=3\mathrm{cm}$，柱体长度为15cm。
3. 表面积：长方体表面积减去2个半圆（即1个整圆）的面积，加上半圆柱侧面积，调整后得：
$S=460+36π(\mathrm{cm}^2)$
4. 体积：长方体体积减去半圆柱体积：
$V=10×15×5-\frac{1}{2}×π×3^2×15=750-67.5π(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) 三视图：
主视图，左视图，俯视图
由勾股定理易得主视图中等腰三角形的腰长为5 cm。
表面积为:$6 × 2 × 2+8 × 2 × 2+2 × 6 × 4 ÷ 2+2 × 5 × 8+6 × 8=208(\mathrm{cm}^2)$。
体积为:$(6 × 2+6 × 4 ÷ 2) × 8=192(\mathrm{cm}^3)$。
(2) 三视图：
主视图，左视图，俯视图
表面积为:$9 × 4.5 × 2+4.5 × 9 × 2+(4.5 × 4.5-1.5 × 3) × 2+3 × 9 × 2=247.5(\mathrm{cm}^2)$。
体积为:$(4.5 × 4.5-1.5 × 3) × 9=141.75(\mathrm{cm}^3)$。
(3) 三视图：
主视图，左视图，俯视图
表面积为:$15 × 5 × 2+10 × 15+(2 × 10 × 5-π × 3^2)+2 × 15 × 2+\frac{1}{2}π(10-2-2) × 15=(460+36π)\ \mathrm{cm}^2$。
体积为:$(10 × 5-\frac{1}{2}π × 3^2) × 15=(750-67.5π)\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
三视图绘制、组合体表面积计算、组合体体积计算
【点评】
本题综合考查三视图绘制规则和组合几何体的相关计算，解题核心是通过割补法将不规则几何体转化为熟悉的规则几何体计算，计算表面积时要特别注意挖去、拼接部分的面的增减，避免出现漏算、多算的问题。
【难度系数】
0.6

25 一个可绕顶点A旋转的收纳柜放置在橱柜转角处，如图①是抽屉旋转过程中的俯视图，抽屉的长$AD=30\ \mathrm{cm}$，宽$AB=20\ \mathrm{cm}$，$MA=10\ \mathrm{cm}$。
（1）当抽屉旋转至边$B'C'$恰好经过点D时（如图①），$AD'$与边MN平行，此时点$D'$到BC的距离多少厘米？
（2）在（1）的条件下，当抽屉旋转至$AD'$碰到边MN时（如图②），此时点$D'$到BC的距离是多少厘米？

25. (1) 过点$D'$作$D'T ⊥ BM$交BM的延长线于点T。因为$∠ TAD=∠ D'AB'=90°$,所以$∠ TAD'=∠ DAB'$。因为$∠ T=∠ B'=90°$,$AD'=AD$,所以$△ TAD' ≌ △ B'AD$,所以$AT=AB'=20(\mathrm{cm})$,所以$TB=AT+AB=40(\mathrm{cm})$,所以点$D'$到直线BC的距离为40厘米。
配图
(2) 过点$D'$作$D'R ⊥ BM$交BM的延长线于点R。由题意可知,图②中的$\mathrm{Rt}△ MD'R$与图①中$\mathrm{Rt}△ ADB'$相似。由勾股定理,可得$AB':B'D:AD=2:\sqrt{5}:3$,所以可以假设$MR=2k$,$RD'=\sqrt{5}k$,$MD'=3k$。在$\mathrm{Rt}△ ARD'$中,由勾股定理得$30^2=(\sqrt{5}k)^2+(2k+10)^2$,解得$k=\frac{-20+20\sqrt{19}}{9}$或$\frac{-20-20\sqrt{19}}{9}$(舍去),所以$MR=2k=\frac{40\sqrt{19}-40}{9}$,所以$RB=RM+AM+AB=\frac{40\sqrt{19}-40}{9}+10+20=\frac{40\sqrt{19}+230}{9}(\mathrm{cm})$。所以此时点$D'$到BC的距离是$\frac{40\sqrt{19}+230}{9}$厘米。
配图

【分析】
（1）要求点D'到BC的距离，因为BC垂直于竖直边BM，因此该距离等于D'到点B的竖直高度，即线段TB的长度。结合旋转性质可知AD'=AD，且旋转角对应相等，可通过证明△TAD'与△B'AD全等，得到AT的长度，进而求出TB的长度即可得到结果。
（2）当AD'碰到MN时，先根据（1）中的角度关系得到Rt△MD'R与Rt△ADB'相似，先求出Rt△ADB'的三边比例，再设参数k表示△MD'R的各边，在Rt△ARD'中利用勾股定理列方程求解参数k，最后计算出RB的长度即为D'到BC的距离。
【解析】
（1）过点$D'$作$D'T ⊥ BM$交BM的延长线于点T。
由旋转的性质可得：$AD'=AD$，$∠D'AB'=∠DAB=90°$，$AB'=AB=20\ \mathrm{cm}$，
∴ $∠TAD'+∠D'AD=∠DAB'+∠D'AD=90°$，即$∠TAD'=∠DAB'$。
在$△ TAD'$和$△ B'AD$中：
$\begin{cases}∠T=∠B'=90° \\∠TAD'=∠B'AD \\AD'=AD\end{cases}$
∴ $△ TAD' ≌ △ B'AD$（AAS），
∴ $AT=AB'=20\ \mathrm{cm}$，
∴ $TB=AT+AB=20+20=40\ \mathrm{cm}$，
即点$D'$到直线BC的距离为40厘米。
配图
（2）过点$D'$作$D'R ⊥ BM$交BM的延长线于点R。
由（1）可知$AD'// MN$时的角度关系，可得$∠RMD'=∠DAD'$，
又
∵$∠R=∠AB'D=90°$，
∴$\mathrm{Rt}△ MD'R ∼ \mathrm{Rt}△ ADB'$。
在$\mathrm{Rt}△AB'D$中，由勾股定理得：
$B'D=\sqrt{AD^2-AB'^2}=\sqrt{30^2-20^2}=10\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，
∴$AB':B'D:AD=20:10\sqrt{5}:30=2:\sqrt{5}:3$，
即相似三角形$\mathrm{Rt}△ MD'R$的三边比$MR:RD':MD'=2:\sqrt{5}:3$。
设$MR=2k$，$RD'=\sqrt{5}k$，$MD'=3k$（$k＞0$），则$AR=AM+MR=10+2k$。
在$\mathrm{Rt}△ ARD'$中，由勾股定理得：
$AD'^2=AR^2+RD'^2$，即$30^2=(2k+10)^2+(\sqrt{5}k)^2$，
整理得：$9k^2+40k-800=0$，
解得$k=\frac{-20+20\sqrt{19}}{9}$（负根$\frac{-20-20\sqrt{19}}{9}$不符合题意，舍去）。
∴$MR=2k=\frac{40\sqrt{19}-40}{9}$，
∴$RB=RM+AM+AB=\frac{40\sqrt{19}-40}{9}+10+20=\frac{40\sqrt{19}+230}{9}\ \mathrm{cm}$。
即此时点$D'$到BC的距离是$\frac{40\sqrt{19}+230}{9}$厘米。
配图
【答案】
（1）$\boldsymbol{40}$厘米，配图；
（2）$\boldsymbol{\frac{40\sqrt{19}+230}{9}}$厘米，配图。
【知识点】
全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理应用
【点评】
本题结合生活中旋转收纳柜的实际场景，将实际问题转化为几何计算问题，综合考查了旋转的性质、全等与相似三角形的应用、勾股定理解方程等内容，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，利用几何性质建立等量关系求解。
【难度系数】
0.3