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【典例1】如图1，△AOB为等边三角形，边长为2，点A在$y=\frac{k}{x}$上，则k=
$\sqrt{3}$
。 答案
$\sqrt{3}$
变式.(2025·青岛)如图，正八边形ABCDEFGH的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，F在第一象限.点F在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，若$AB=\sqrt{2}$，则k的值为
答案
$2+\sqrt{2}$
【典例2】已知$A(-3,n),C(3n-6,2)$是反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象上的两点,则该反比例函数的解析式为
$y=-\frac{4}{x}$
.答案
$y=-\frac{4}{x}$
解:$-3n=(3n-6)×2,∴n=\frac{4}{3},m=-4.$
解:$-3n=(3n-6)×2,∴n=\frac{4}{3},m=-4.$
变式.在平面直角坐标系中,直线$AB:y=ax+b$与双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$相交于点$A,B$,且$A(1,\frac{2}{3}b),B(-\frac{2}{3}a,3)$,求$k$的值.
答案
解:$1×\frac{2}{3}b=-\frac{2}{3}a×3,∴b=-3a$,
又$\because 3=-\frac{2}{3}a^2 +b$,
$\therefore \begin{cases}a_1=-3 \\ b_1=9 \end{cases},\begin{cases}a_2=-\frac{3}{2} \\ b_2=\frac{9}{2} \end{cases},$(舍去),
$k=6.$
又$\because 3=-\frac{2}{3}a^2 +b$,
$\therefore \begin{cases}a_1=-3 \\ b_1=9 \end{cases},\begin{cases}a_2=-\frac{3}{2} \\ b_2=\frac{9}{2} \end{cases},$(舍去),
$k=6.$
【典例3】如图3，已知矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为(1,m)，顶点C的坐标(3,m+6)，那么图象同时经过点B与点D的反比例函数表达式为
$y=\frac{9}{x}$
。答案
$y=\frac{9}{x}$
解:由图形知$D(3,m),B(1,m+6)$,
$\therefore 3m=m+6,\therefore m=3,k=9.$
解:由图形知$D(3,m),B(1,m+6)$,
$\therefore 3m=m+6,\therefore m=3,k=9.$
变式.(2025·烟台)如图4,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,OA=3,反比例函数$y=\frac{k}{x}$$(x＞0)$的图象过点C和菱形的对称中心M,则k的值为
$2\sqrt{2}$
.答案
$2\sqrt{2}$
解:$A(3,0)$,
设$C(x,y),\therefore M(\frac{x+3}{2},\frac{y}{2}),\therefore xy=\frac{x+3}{2}·\frac{y}{2}$,
解得:$x=1$,
过$C$作$CH⊥ AO$于$H$,
$\therefore OH=1,CH=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$,
$\therefore C(1,2\sqrt{2}),\therefore k=1×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}.$
