【典例1】如图，在平面直角坐标系中，双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点C和AB中点D，若菱形OABC的边长为3，求k的值。

解:设 $C(a,b)$,则 $B(a+3,b),D(3+\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b)$
$\therefore ab=(3+\frac{1}{2}a)×\frac{1}{2}b⇒ a=2,b=\sqrt{5}$,
$\therefore k=2\sqrt{5}$.

变式.如图,点A,B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$AC⊥y$轴,垂足为D,$BC⊥AC$.若四边形AOBC的面积为6,$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$,求该反比例函数的解析式.

解:延长CB交x轴于点E,则四边形ODCE为矩形.

设 $A(a,\frac{k}{a})$,则 $AD=a,OD=\frac{k}{a}$,
$\because \frac{AD}{AC}=\frac{1}{2},\therefore CD=3AD=3a$,
$\therefore$ 由题意,知 $C(3a,\frac{k}{a}),B(3a,\frac{k}{3a})$,
$\therefore S_{四边形AOBC}=S_{矩形ODCE}-S_{△ OAD}-S_{△ OBE}$,
$\therefore 3a· \frac{k}{a}-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k=6$,
$\therefore 2k=6,\therefore k=3$,
$\therefore$ 该反比例函数的解析式为 $y=\frac{3}{x}$.

【典例2】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为$2\sqrt{5}$，求k的值。

解:$\because A(\frac{k}{4},4),B(\frac{k}{2},2)$,则 $AB^2=\frac{k^2}{16}+4$,
又 $\because S_{菱形ABCD}=2BC=2\sqrt{5}$,
$BC=\sqrt{5},\therefore \frac{k^2}{16}+4=BC^2=5$,
$\therefore k=4$.

变式.如图,在平面直角坐标系中,$□ ABCD$ 的三个顶点$A,B,C$ 的坐标分别为$(3,0),(0,4),(a,b)$,反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象经过$C,D$两点,求$C$点坐标.

解:$\because C(a,b),\therefore D(a+3,b-4)$,
$\therefore \begin{cases} ab=9, \\ (a+3)(b-4)=9, \end{cases}$
$\therefore 4a-3b=-12$,
$a=-3+\frac{3}{4}b$,
$(-3+\frac{3}{4}b)b=9$,
$-3b+\frac{3}{4}b^2=9,\frac{1}{4}b^2-b-3=0$,
$b^2-4b-12=0$,
$\therefore b=6,\therefore C(\frac{3}{2},6)$.