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1. (2025·济南)某学校食堂准备了$A,B,C,D$四种营养套餐,如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐,则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是 (
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
A
)A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
1. A
解析
【分析】
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路如下：首先明确两人选择套餐是独立事件，各自选任意套餐的可能性相等；第一步先计算两人选择套餐的所有等可能结果总数，第二步计算两人恰好选到同一种套餐的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：小明从4种套餐中随机选1种，有4种等可能的选择，小亮同样有4种等可能的选择，因此两人选择套餐的总等可能结果数为：$4×4=16$种。
两人恰好选到同一种套餐的情况有：同时选A、同时选B、同时选C、同时选D，共4种等可能的结果。
根据概率公式可得，他们恰好选到同一种营养套餐的概率为：$P=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率，概率计算公式
【点评】
本题是概率基础题，解题的核心是准确计算出总结果数和符合题意的结果数，熟练掌握概率的基本计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路如下：首先明确两人选择套餐是独立事件，各自选任意套餐的可能性相等；第一步先计算两人选择套餐的所有等可能结果总数，第二步计算两人恰好选到同一种套餐的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：小明从4种套餐中随机选1种，有4种等可能的选择，小亮同样有4种等可能的选择，因此两人选择套餐的总等可能结果数为：$4×4=16$种。
两人恰好选到同一种套餐的情况有：同时选A、同时选B、同时选C、同时选D，共4种等可能的结果。
根据概率公式可得，他们恰好选到同一种营养套餐的概率为：$P=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率，概率计算公式
【点评】
本题是概率基础题，解题的核心是准确计算出总结果数和符合题意的结果数，熟练掌握概率的基本计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2. (2025·福建)在分别写有－1,1,2的三张卡片中,不放回地随机抽取两张,这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：首先明确试验是不放回抽取两张卡片，属于等可能事件；其次用列举法找出所有等可能的抽取结果总数；再筛选出满足“两张卡片上的数互为相反数”的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
从写有-1、1、2的三张卡片中不放回随机抽取两张，所有等可能的结果有：$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,2)$，共3种。
其中两张卡片上的数恰好互为相反数的结果只有$(-1,1)$这1种。
根据概率计算公式，所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式，列举法求概率，相反数的定义
【点评】
本题是概率基础题，解题的关键是准确列举出所有等可能的结果，同时牢记相反数的概念，避免漏数或多算结果。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：首先明确试验是不放回抽取两张卡片，属于等可能事件；其次用列举法找出所有等可能的抽取结果总数；再筛选出满足“两张卡片上的数互为相反数”的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
从写有-1、1、2的三张卡片中不放回随机抽取两张，所有等可能的结果有：$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,2)$，共3种。
其中两张卡片上的数恰好互为相反数的结果只有$(-1,1)$这1种。
根据概率计算公式，所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式，列举法求概率，相反数的定义
【点评】
本题是概率基础题，解题的关键是准确列举出所有等可能的结果，同时牢记相反数的概念，避免漏数或多算结果。
【难度系数】
0.8
3. (2025·武汉)某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是 (
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
C
)A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
3. C
解析
【分析】
这是一道等可能条件下的概率计算问题，解题思路清晰明确：首先要确定试验的所有等可能结果，再找出满足“两球金额和为50元”的结果，最后代入概率公式计算即可。第一步，用列举法列出一次性摸2个球的所有组合，注意一次性摸球属于组合问题，不需要考虑顺序；第二步，计算每种组合的金额和，统计符合条件的结果数；第三步，用符合条件的结果数除以总结果数，得到所求概率。
【解析】
从标有10元、20元、30元的三个小球中一次性摸出两个，所有等可能的结果如下：
1. 摸出10元和20元，金额和为$10+20=30$元；
2. 摸出10元和30元，金额和为$10+30=40$元；
3. 摸出20元和30元，金额和为$20+30=50$元。
综上，总共有3种等可能的结果，其中两球金额和为50元的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查对简单随机事件概率的计算能力，解题关键是准确列举所有等可能的结果，避免重复或漏数，是概率部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
这是一道等可能条件下的概率计算问题，解题思路清晰明确：首先要确定试验的所有等可能结果，再找出满足“两球金额和为50元”的结果，最后代入概率公式计算即可。第一步，用列举法列出一次性摸2个球的所有组合，注意一次性摸球属于组合问题，不需要考虑顺序；第二步，计算每种组合的金额和，统计符合条件的结果数；第三步，用符合条件的结果数除以总结果数，得到所求概率。
【解析】
从标有10元、20元、30元的三个小球中一次性摸出两个，所有等可能的结果如下：
1. 摸出10元和20元，金额和为$10+20=30$元；
2. 摸出10元和30元，金额和为$10+30=40$元；
3. 摸出20元和30元，金额和为$20+30=50$元。
综上，总共有3种等可能的结果，其中两球金额和为50元的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查对简单随机事件概率的计算能力，解题关键是准确列举所有等可能的结果，避免重复或漏数，是概率部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
4.（2025·大庆）2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注.若小庆同学从“豆包”“腾讯元宝”“即梦AI”“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为
$\dfrac{1}{6}$
.答案
4. $\dfrac{1}{6}$
解析
【分析】
本题是等可能条件下的概率计算问题，解题思路如下：首先明确概率计算公式为$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}$；接下来需先列举出从4种软件中选2种的所有等可能结果，计数得到总结果数；再找出恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的结果数，代入公式计算即可。注意选取两种软件不考虑先后顺序，列举时要做到不重复、不遗漏。
【解析】
设“豆包”为A，“腾讯元宝”为B，“即梦AI”为C，“文心一言”为D。
从4种软件中随机选取2种，所有等可能的结果有：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”（即结果为(A,B)）的情况只有1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\dfrac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
概率公式、列举法求概率、简单组合计数
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查简单随机事件的概率计算，解题的关键是正确枚举所有等可能的情况，避免因重复计数或遗漏情况导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题是等可能条件下的概率计算问题，解题思路如下：首先明确概率计算公式为$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}$；接下来需先列举出从4种软件中选2种的所有等可能结果，计数得到总结果数；再找出恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的结果数，代入公式计算即可。注意选取两种软件不考虑先后顺序，列举时要做到不重复、不遗漏。
【解析】
设“豆包”为A，“腾讯元宝”为B，“即梦AI”为C，“文心一言”为D。
从4种软件中随机选取2种，所有等可能的结果有：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”（即结果为(A,B)）的情况只有1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\dfrac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
概率公式、列举法求概率、简单组合计数
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查简单随机事件的概率计算，解题的关键是正确枚举所有等可能的情况，避免因重复计数或遗漏情况导致计算错误。
【难度系数】
0.8
5. (2025·安徽)在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20 g和70 g的物品后，天平倾斜(如图所示).现从质量为10 g,20 g,30 g,40 g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为
$\dfrac{1}{3}$
. 答案
5. $\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确天平恢复平衡的条件：左右托盘的总质量相等。先计算需添加到左端的两件物品的总质量：右端原有物品70g，左端原有物品20g，因此新增的两件物品总质量应为70-20=50g。接下来只需枚举从四件物品中任选两件的所有等可能结果，统计其中总质量为50g的结果数，再根据概率公式计算即可。
【解析】
1. 计算满足天平平衡的新增物品总质量：
天平平衡时左右总质量相等，因此左端新增两件物品的总质量为 $70\mathrm{g} - 20\mathrm{g} = 50\mathrm{g}$。
2. 枚举所有等可能的选法：
从10g、20g、30g、40g四件物品中任选两件，不考虑选取顺序，所有组合为：
①10g+20g（总质量30g），②10g+30g（总质量40g），③10g+40g（总质量50g），④20g+30g（总质量50g），⑤20g+40g（总质量60g），⑥30g+40g（总质量70g）。
总共有6种等可能的结果，其中总质量为50g的结果有2种。
3. 计算概率：
根据等可能事件概率公式 $P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，可得天平恢复平衡的概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算、组合枚举、天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中的天平场景考查概率求解，解题的核心是先确定符合要求的物品质量和，再有序枚举所有组合，避免重复或遗漏即可正确求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确天平恢复平衡的条件：左右托盘的总质量相等。先计算需添加到左端的两件物品的总质量：右端原有物品70g，左端原有物品20g，因此新增的两件物品总质量应为70-20=50g。接下来只需枚举从四件物品中任选两件的所有等可能结果，统计其中总质量为50g的结果数，再根据概率公式计算即可。
【解析】
1. 计算满足天平平衡的新增物品总质量：
天平平衡时左右总质量相等，因此左端新增两件物品的总质量为 $70\mathrm{g} - 20\mathrm{g} = 50\mathrm{g}$。
2. 枚举所有等可能的选法：
从10g、20g、30g、40g四件物品中任选两件，不考虑选取顺序，所有组合为：
①10g+20g（总质量30g），②10g+30g（总质量40g），③10g+40g（总质量50g），④20g+30g（总质量50g），⑤20g+40g（总质量60g），⑥30g+40g（总质量70g）。
总共有6种等可能的结果，其中总质量为50g的结果有2种。
3. 计算概率：
根据等可能事件概率公式 $P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，可得天平恢复平衡的概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算、组合枚举、天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中的天平场景考查概率求解，解题的核心是先确定符合要求的物品质量和，再有序枚举所有组合，避免重复或遗漏即可正确求解。
【难度系数】
0.7
6. (2025·云南)九年级某班学生计划到甲、乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院。游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1,2的两张卡片(除数字外，都相同)，班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为$ x $.在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1,2,3的三张卡片(除数字外，都相同)，班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为$ y $.若$ x = y $，则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若$ x ≠ y $，则A组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院.
(1) 用列表法或画树状图法中的一种方法，求$ (x,y) $所有可能出现的结果总数；
(2) 求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率$ P $.
(1) 用列表法或画树状图法中的一种方法，求$ (x,y) $所有可能出现的结果总数；
(2) 求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率$ P $.
答案
6. (1) 画树状图如下，共有6种等可能的结果总数，即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)；
(2) 由(1)可知，共有6种等可能的结果，其中A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的结果有2种，即(1,1),(2,2)，
∴A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率$P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
（1）本题试验属于两步随机试验，第一步抽取x有2种等可能结果，第二步抽取y有3种等可能结果，我们可通过树状图法分层列举所有(x,y)组合，即可得到所有可能的结果总数。
（2）A组学生到甲敬老院的成立条件是$x=y$，先从第一问得到的所有等可能结果中筛选出满足$x=y$的结果数，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果总数”计算即可。
【解析】
(1) 按先后两次抽取卡片的顺序画树状图：第一层为第一次抽取的x的可能取值1、2，第二层为每个x对应的y的可能取值1、2、3，由此可得所有结果为：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)，共6种等可能的结果。
(2) 由(1)可知总共有6种等可能的结果，其中满足$x=y$的结果有(1,1)、(2,2)，共2种，代入概率公式得：
$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
6. (1) 画树状图如下，共有6种等可能的结果总数，即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)；
(2) 由(1)可知，共有6种等可能的结果，其中A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的结果有2种，即(1,1),(2,2)，
∴A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率$P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
【知识点】
列举法求概率、概率公式、两步试验概率
【点评】
本题是概率基础应用题，解题核心是通过列举法梳理两步试验的所有等可能结果，再结合概率公式求解，解题时需注意确保列举的结果不重不漏，准确识别符合条件的事件对应的结果。
【难度系数】
0.8
（1）本题试验属于两步随机试验，第一步抽取x有2种等可能结果，第二步抽取y有3种等可能结果，我们可通过树状图法分层列举所有(x,y)组合，即可得到所有可能的结果总数。
（2）A组学生到甲敬老院的成立条件是$x=y$，先从第一问得到的所有等可能结果中筛选出满足$x=y$的结果数，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果总数”计算即可。
【解析】
(1) 按先后两次抽取卡片的顺序画树状图：第一层为第一次抽取的x的可能取值1、2，第二层为每个x对应的y的可能取值1、2、3，由此可得所有结果为：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)，共6种等可能的结果。
(2) 由(1)可知总共有6种等可能的结果，其中满足$x=y$的结果有(1,1)、(2,2)，共2种，代入概率公式得：
$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
6. (1) 画树状图如下，共有6种等可能的结果总数，即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)；
(2) 由(1)可知，共有6种等可能的结果，其中A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的结果有2种，即(1,1),(2,2)，
∴A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率$P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
【知识点】
列举法求概率、概率公式、两步试验概率
【点评】
本题是概率基础应用题，解题核心是通过列举法梳理两步试验的所有等可能结果，再结合概率公式求解，解题时需注意确保列举的结果不重不漏，准确识别符合条件的事件对应的结果。
【难度系数】
0.8
