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7. (2024·河北)甲、乙、丙三张卡片正面分别写有$a+b,2a+b,a-b$，除正面的代数式不同外，其余均相同.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a=1,b=-2$时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a=1,b=-2$时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
答案
7. (1) 当$a=1,b=-2$时，$a+b=-1,2a+b=0,a-b=3$. 从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\dfrac{1}{3}$.
(2) 补全表格如下：
| 和\第二次\第一次 | $a+b$ | $2a+b$ | $a-b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+2b$ | $2a$ |
| $2a+b$ | $3a+2b$ | $4a+2b$ | $3a$ |
| $a-b$ | $2a$ | $3a$ | $2a-2b$ |
共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有:$2a,3a,2a,3a$,共4种,
∴和为单项式的概率为$\dfrac{4}{9}$.
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\dfrac{1}{3}$.
(2) 补全表格如下：
| 和\第二次\第一次 | $a+b$ | $2a+b$ | $a-b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+2b$ | $2a$ |
| $2a+b$ | $3a+2b$ | $4a+2b$ | $3a$ |
| $a-b$ | $2a$ | $3a$ | $2a-2b$ |
共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有:$2a,3a,2a,3a$,共4种,
∴和为单项式的概率为$\dfrac{4}{9}$.
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先将$a=1,b=-2$代入三个代数式计算出对应值，统计出值为负数的结果数，再根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可，抽取卡片共3种等可能结果，代入求值即可找到符合条件的情况。
（2）第二问为有放回的两次抽取，补全表格时只需将对应行、列的代数式相加并合并同类项化简即可；之后明确单项式的定义，从所有9种等可能结果中找出和为单项式的结果数，再用概率公式计算概率。
【解析】
（1）当$a=1,b=-2$时，计算三个代数式的值：
$a+b=1+(-2)=-1$，
$2a+b=2×1+(-2)=0$，
$a-b=1-(-2)=3$，
随机抽取1张卡片共有3种等可能的结果，其中代数式的值为负数的结果有1种，
$\therefore$ 取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\dfrac{1}{3}$。
（2）补全表格过程：
第一次取$a+b$、第二次取$2a+b$：$(a+b)+(2a+b)=3a+2b$；
第一次取$2a+b$、第二次取$a+b$：$(2a+b)+(a+b)=3a+2b$；
第一次取$2a+b$、第二次取$2a+b$：$(2a+b)+(2a+b)=4a+2b$；
第一次取$2a+b$、第二次取$a-b$：$(2a+b)+(a-b)=3a$；
第一次取$a-b$、第二次取$2a+b$：$(a-b)+(2a+b)=3a$；
第一次取$a-b$、第二次取$a-b$：$(a-b)+(a-b)=2a-2b$。
补全后的表格如下：
| 和\第二次\第一次 | $a+b$ | $2a+b$ | $a-b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+2b$ | $2a$ |
| $2a+b$ | $3a+2b$ | $4a+2b$ | $3a$ |
| $a-b$ | $2a$ | $3a$ | $2a-2b$ |
所有等可能的结果共有9种，其中和为单项式的结果有$2a、3a、2a、3a$，共4种，
$\therefore$ 和为单项式的概率为$\dfrac{4}{9}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$；
（2）补全表格见上述解析，和为单项式的概率为$\boldsymbol{\dfrac{4}{9}}$。
【知识点】
代数式求值、概率计算、单项式判定
【点评】
本题结合整式运算与概率知识，既考查了代数式化简、单项式判断的基础能力，也考查了等可能事件概率的求解方法，解题时需注意有放回抽取的总情况数不要漏算，判定单项式时要仔细。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问时，先将$a=1,b=-2$代入三个代数式计算出对应值，统计出值为负数的结果数，再根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可，抽取卡片共3种等可能结果，代入求值即可找到符合条件的情况。
（2）第二问为有放回的两次抽取，补全表格时只需将对应行、列的代数式相加并合并同类项化简即可；之后明确单项式的定义，从所有9种等可能结果中找出和为单项式的结果数，再用概率公式计算概率。
【解析】
（1）当$a=1,b=-2$时，计算三个代数式的值：
$a+b=1+(-2)=-1$，
$2a+b=2×1+(-2)=0$，
$a-b=1-(-2)=3$，
随机抽取1张卡片共有3种等可能的结果，其中代数式的值为负数的结果有1种，
$\therefore$ 取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\dfrac{1}{3}$。
（2）补全表格过程：
第一次取$a+b$、第二次取$2a+b$：$(a+b)+(2a+b)=3a+2b$；
第一次取$2a+b$、第二次取$a+b$：$(2a+b)+(a+b)=3a+2b$；
第一次取$2a+b$、第二次取$2a+b$：$(2a+b)+(2a+b)=4a+2b$；
第一次取$2a+b$、第二次取$a-b$：$(2a+b)+(a-b)=3a$；
第一次取$a-b$、第二次取$2a+b$：$(a-b)+(2a+b)=3a$；
第一次取$a-b$、第二次取$a-b$：$(a-b)+(a-b)=2a-2b$。
补全后的表格如下：
| 和\第二次\第一次 | $a+b$ | $2a+b$ | $a-b$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a+b$ | $2a+2b$ | $3a+2b$ | $2a$ |
| $2a+b$ | $3a+2b$ | $4a+2b$ | $3a$ |
| $a-b$ | $2a$ | $3a$ | $2a-2b$ |
所有等可能的结果共有9种，其中和为单项式的结果有$2a、3a、2a、3a$，共4种，
$\therefore$ 和为单项式的概率为$\dfrac{4}{9}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$；
（2）补全表格见上述解析，和为单项式的概率为$\boldsymbol{\dfrac{4}{9}}$。
【知识点】
代数式求值、概率计算、单项式判定
【点评】
本题结合整式运算与概率知识，既考查了代数式化简、单项式判断的基础能力，也考查了等可能事件概率的求解方法，解题时需注意有放回抽取的总情况数不要漏算，判定单项式时要仔细。
【难度系数】
0.7
8. 甲、乙两位同学相约打乒乓球.
(1) 有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为$A,B,C,D$),若甲先从中随机选取1个,乙再从余下的球拍中随机选取1个,求乙选中球拍$C$的概率;
(2) 双方约定:两人各投掷一枚质地均匀的硬币,如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上,那么甲先发球,否则乙先发球.规定:若甲先发球和乙先发球的概率相等,则约定公平;否则约定不公平.这个约定是否公平?为什么?
(1) 有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为$A,B,C,D$),若甲先从中随机选取1个,乙再从余下的球拍中随机选取1个,求乙选中球拍$C$的概率;
(2) 双方约定:两人各投掷一枚质地均匀的硬币,如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上,那么甲先发球,否则乙先发球.规定:若甲先发球和乙先发球的概率相等,则约定公平;否则约定不公平.这个约定是否公平?为什么?
答案
8. (1) 画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴$P(乙选中球拍C)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$；
(2) 公平.理由如下:画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴$P(甲先发球)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$,$P(乙先发球)=\dfrac{4-2}{4}=\dfrac{1}{2}$,
∵$P(甲先发球)=P(乙先发球)$,
∴这个约定公平.
解析
【分析】
(1) 本问为不放回抽取的概率问题，首先通过树状图列举出甲、乙选球拍的所有等可能结果，再统计乙选中球拍C的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
(2) 判断约定是否公平的核心是比较甲、乙先发球的概率是否相等。先通过树状图列举出抛两枚硬币的所有等可能结果，分别统计符合甲、乙先发球的结果数，代入概率公式计算后比较两者概率大小即可得出结论。
【解析】
(1) 按照题意绘制树状图如下：
从树状图可得，总共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C的结果有3种，
根据概率公式可得：$P(乙选中球拍C)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$。
(2) 该约定公平，理由如下：
按照题意绘制树状图如下：
从树状图可得，总共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有2种，
∴$P(甲先发球)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$，
$P(乙先发球)=\dfrac{4-2}{4}=\dfrac{1}{2}$，
∵$P(甲先发球)=P(乙先发球)$，
∴这个约定公平。
【答案】
8. (1) 画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴$P(乙选中球拍C)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$；
(2) 公平.理由如下:画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴$P(甲先发球)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$,$P(乙先发球)=\dfrac{4-2}{4}=\dfrac{1}{2}$,
∵$P(甲先发球)=P(乙先发球)$,
∴这个约定公平.
【知识点】
树状图求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率部分的基础常规题，重点考查用树状图列举等可能事件的方法以及概率公式的应用，掌握列举所有等可能结果的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 本问为不放回抽取的概率问题，首先通过树状图列举出甲、乙选球拍的所有等可能结果，再统计乙选中球拍C的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
(2) 判断约定是否公平的核心是比较甲、乙先发球的概率是否相等。先通过树状图列举出抛两枚硬币的所有等可能结果，分别统计符合甲、乙先发球的结果数，代入概率公式计算后比较两者概率大小即可得出结论。
【解析】
(1) 按照题意绘制树状图如下：
从树状图可得，总共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C的结果有3种，
根据概率公式可得：$P(乙选中球拍C)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$。
(2) 该约定公平，理由如下：
按照题意绘制树状图如下：
从树状图可得，总共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有2种，
∴$P(甲先发球)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$，
$P(乙先发球)=\dfrac{4-2}{4}=\dfrac{1}{2}$，
∵$P(甲先发球)=P(乙先发球)$，
∴这个约定公平。
【答案】
8. (1) 画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴$P(乙选中球拍C)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$；
(2) 公平.理由如下:画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴$P(甲先发球)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$,$P(乙先发球)=\dfrac{4-2}{4}=\dfrac{1}{2}$,
∵$P(甲先发球)=P(乙先发球)$,
∴这个约定公平.
【知识点】
树状图求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率部分的基础常规题，重点考查用树状图列举等可能事件的方法以及概率公式的应用，掌握列举所有等可能结果的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
