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1. 小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局。这个游戏对双方 （
A.公平，因为小明和小华赢的概率相等
B.不公平，小明赢的概率大
C.不公平，小华赢的概率大
D.无法判断
A
）A.公平，因为小明和小华赢的概率相等
B.不公平，小明赢的概率大
C.不公平，小华赢的概率大
D.无法判断
答案
A
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是比较小明和小华赢的概率是否相等。解题步骤可按照以下思路进行：第一步先列举出同时抛掷两枚均匀硬币所有的等可能结果；第二步分别统计小明赢、小华赢对应的结果数；第三步根据概率公式计算两人赢的概率；最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
解：同时抛掷两枚均匀的硬币，所有等可能的结果共有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中两枚都正面朝上的结果有1种，因此小明赢的概率为：$ P(\mathrm{小明赢})=\frac{1}{4} $；
两枚都反面朝上的结果有1种，因此小华赢的概率为：$ P(\mathrm{小华赢})=\frac{1}{4} $。
因为$ P(\mathrm{小明赢})=P(\mathrm{小华赢}) $，所以这个游戏对双方公平。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，游戏公平性判断，概率计算
【点评】
本题是概率基础应用题，解题关键是准确罗列出所有等可能的事件结果，避免将“一正一反”两类不同结果错当成1种情况，熟练掌握简单概率的计算方法即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
要判断游戏是否公平，核心是比较小明和小华赢的概率是否相等。解题步骤可按照以下思路进行：第一步先列举出同时抛掷两枚均匀硬币所有的等可能结果；第二步分别统计小明赢、小华赢对应的结果数；第三步根据概率公式计算两人赢的概率；最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
解：同时抛掷两枚均匀的硬币，所有等可能的结果共有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中两枚都正面朝上的结果有1种，因此小明赢的概率为：$ P(\mathrm{小明赢})=\frac{1}{4} $；
两枚都反面朝上的结果有1种，因此小华赢的概率为：$ P(\mathrm{小华赢})=\frac{1}{4} $。
因为$ P(\mathrm{小明赢})=P(\mathrm{小华赢}) $，所以这个游戏对双方公平。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，游戏公平性判断，概率计算
【点评】
本题是概率基础应用题，解题关键是准确罗列出所有等可能的事件结果，避免将“一正一反”两类不同结果错当成1种情况，熟练掌握简单概率的计算方法即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. (2025·哈尔滨)桌上倒扣着背面图案相同的7张扑克牌，其中5张红桃，2张黑桃.从中随机抽取1张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是
$\frac{5}{7}$
.答案
$\frac{5}{7}$
解析
【分析】
这道题考查简单等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先判断事件是否为等可能事件，本题中7张扑克牌背面图案相同，所以随机抽取1张时每张牌被抽到的可能性相等，属于等可能事件；接着分别找到所有等可能的总结果数，以及抽到红桃这一事件包含的结果数；最后代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵桌上7张扑克牌的背面图案相同，
∴从中随机抽取1张时，每张牌被抽到的可能性相等，属于等可能事件。
本次抽取的所有等可能结果总数为7，其中抽到红桃的等可能结果数为5，
根据概率公式：$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{事件包含的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}}$，
可得$P(\mathrm{抽到红桃})=\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
概率公式；等可能事件概率计算
【点评】
本题是基础的概率求解题型，核心是明确等可能事件的概率计算方法，找准总情况数和目标事件对应的情况数即可作答，难度较低。
【难度系数】
0.9
这道题考查简单等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先判断事件是否为等可能事件，本题中7张扑克牌背面图案相同，所以随机抽取1张时每张牌被抽到的可能性相等，属于等可能事件；接着分别找到所有等可能的总结果数，以及抽到红桃这一事件包含的结果数；最后代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵桌上7张扑克牌的背面图案相同，
∴从中随机抽取1张时，每张牌被抽到的可能性相等，属于等可能事件。
本次抽取的所有等可能结果总数为7，其中抽到红桃的等可能结果数为5，
根据概率公式：$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{事件包含的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}}$，
可得$P(\mathrm{抽到红桃})=\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
概率公式；等可能事件概率计算
【点评】
本题是基础的概率求解题型，核心是明确等可能事件的概率计算方法，找准总情况数和目标事件对应的情况数即可作答，难度较低。
【难度系数】
0.9
3. (2025·内江)在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是
$\frac{1}{2}$
。答案
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要计算任选一个字母选中“a”的概率，需运用等可能事件的概率公式求解，思路分三步：第一步先统计“banana”的总字母数，即所有等可能的结果总数；第二步统计单词中字母“a”的个数，即符合条件的结果数；第三步用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
首先，统计英文单词“banana”的总字母数：“banana”由b、a、n、a、n、a共6个字母组成，即任选一个字母共有6种等可能的结果。
其次，统计其中字母“a”的个数：共有3个“a”，即选中“a”的结果有3种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得字母“a”被选中的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率计算公式；等可能事件概率
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查等可能事件的概率计算，解题的关键是准确计数总字母数和目标字母的数量，计算时注意结果要约分为最简分数。
【难度系数】
0.9
要计算任选一个字母选中“a”的概率，需运用等可能事件的概率公式求解，思路分三步：第一步先统计“banana”的总字母数，即所有等可能的结果总数；第二步统计单词中字母“a”的个数，即符合条件的结果数；第三步用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
首先，统计英文单词“banana”的总字母数：“banana”由b、a、n、a、n、a共6个字母组成，即任选一个字母共有6种等可能的结果。
其次，统计其中字母“a”的个数：共有3个“a”，即选中“a”的结果有3种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得字母“a”被选中的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率计算公式；等可能事件概率
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查等可能事件的概率计算，解题的关键是准确计数总字母数和目标字母的数量，计算时注意结果要约分为最简分数。
【难度系数】
0.9
4.（2025·扬州）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样跳绳，D.踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动.
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率.
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是
$\frac{1}{4}$
；（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率.
答案
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 树状图如下所示
，由此可得，一共有16种等可能性，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的可能性有4种，∴ 小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
（1）第一问为简单概率计算问题，先确定所有等可能的结果总数为4，选中乒乓球的符合条件的结果数为1，直接利用概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$即可求解。
（2）第二问为两人分别选择活动的两步概率问题，可通过树状图法列举所有等可能的结果：先列小明的4种选择，对应小明的每一种选择，小聪都有4种选择，得到总结果数后，找出两人选择相同活动的结果数，再代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）共有4种体育活动，每种活动被选中的可能性相等，其中“乒乓球”是其中1种，因此选中“乒乓球”的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）画树状图分析所有选择情况：
由树状图可得，一共有16种等可能的结果，其中小明和小聪选到同一种体育活动的结果有4种，分别为两人都选A、都选B、都选C、都选D。
根据概率公式，两人选到同一种体育活动的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 树状图如下所示，由此可得，一共有16种等可能性，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的可能性有4种，
∴ 小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
【知识点】
简单概率计算，树状图法求概率，等可能事件概率
【点评】
本题是概率的常规考查题型，第一问属于基础送分题，第二问需要掌握树状图法列举所有等可能结果的方法，解题时要注意列举结果做到不重不漏，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
（1）第一问为简单概率计算问题，先确定所有等可能的结果总数为4，选中乒乓球的符合条件的结果数为1，直接利用概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$即可求解。
（2）第二问为两人分别选择活动的两步概率问题，可通过树状图法列举所有等可能的结果：先列小明的4种选择，对应小明的每一种选择，小聪都有4种选择，得到总结果数后，找出两人选择相同活动的结果数，再代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）共有4种体育活动，每种活动被选中的可能性相等，其中“乒乓球”是其中1种，因此选中“乒乓球”的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）画树状图分析所有选择情况：
由树状图可得，一共有16种等可能的结果，其中小明和小聪选到同一种体育活动的结果有4种，分别为两人都选A、都选B、都选C、都选D。
根据概率公式，两人选到同一种体育活动的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 树状图如下所示
，由此可得，一共有16种等可能性，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的可能性有4种，∴ 小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
【知识点】
简单概率计算，树状图法求概率，等可能事件概率
【点评】
本题是概率的常规考查题型，第一问属于基础送分题，第二问需要掌握树状图法列举所有等可能结果的方法，解题时要注意列举结果做到不重不漏，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
5.（2025·陕西）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1,2,3,4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1,2,3,4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次.
（1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为
（2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球. 请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率.
（1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为
$\frac{1}{4}$
；（2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球. 请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率.
答案
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | |
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有：(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)，共6种，
∴ 甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
(2) 列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | |
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有：(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)，共6种，
∴ 甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
（1）随机摸1个小球时，共有4种等可能的结果，其中摸出数字1的结果只有1种，直接利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”即可求解。
（2）本题是不放回的两步随机试验，可通过列表法列举出甲、乙摸球的所有等可能结果，再找出道次相邻（两数差的绝对值为1）的结果数，最后代入概率公式计算即可，注意因为不放回，甲摸过的数字乙不能再摸，列举时要排除重复情况。
【解析】
（1）盒中共有4个除数字外完全相同的小球，随机摸出1个的等可能结果共4种，其中摸出标有数字1的结果有1种，因此$P(\mathrm{摸出标有数字1的小球})=\frac{1}{4}$。
（2）根据题意列表如下：
| 甲\乙 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | |
由表格可得，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队赛道相邻的结果有$(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)$，共6种。
∴$P(\mathrm{甲、乙两队赛道相邻})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；（2）$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，不放回事件概率
【点评】
本题属于概率基础常考题，第一问直接考查简单概率计算，难度较低；第二问需要掌握列表或树状图列举等可能结果的方法，解题时需注意“不放回”的限制条件，避免出现计数错误。
【难度系数】
0.7
（1）随机摸1个小球时，共有4种等可能的结果，其中摸出数字1的结果只有1种，直接利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”即可求解。
（2）本题是不放回的两步随机试验，可通过列表法列举出甲、乙摸球的所有等可能结果，再找出道次相邻（两数差的绝对值为1）的结果数，最后代入概率公式计算即可，注意因为不放回，甲摸过的数字乙不能再摸，列举时要排除重复情况。
【解析】
（1）盒中共有4个除数字外完全相同的小球，随机摸出1个的等可能结果共4种，其中摸出标有数字1的结果有1种，因此$P(\mathrm{摸出标有数字1的小球})=\frac{1}{4}$。
（2）根据题意列表如下：
| 甲\乙 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | |
由表格可得，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队赛道相邻的结果有$(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)$，共6种。
∴$P(\mathrm{甲、乙两队赛道相邻})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；（2）$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，不放回事件概率
【点评】
本题属于概率基础常考题，第一问直接考查简单概率计算，难度较低；第二问需要掌握列表或树状图列举等可能结果的方法，解题时需注意“不放回”的限制条件，避免出现计数错误。
【难度系数】
0.7
