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3.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为3，$∠ B=140°$，则$\overset{\frown}{AC}$的长为
$\frac{4}{3}π$
答案
3.$\frac{4}{3}π$
解析
【分析】
解题时首先结合圆内接四边形的性质，利用已知的∠B的度数求出其对角∠D的度数；再根据圆周角定理，由∠D是弧AC所对的圆周角，求出弧AC对应的圆心角度数；最后代入弧长公式，结合已知的圆半径，计算得出弧AC的长度。
【解析】
1. 求∠D的度数：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，圆内接四边形对角互补，
∴ $∠ B + ∠ D = 180°$，
已知$∠ B=140°$，则$∠ D=180° - 140°=40°$。
2. 求弧AC对应的圆心角度数：
∠D是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$n=2∠ D=2×40°=80°$。
3. 计算弧长：
已知$\odot O$的半径$r=3$，弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，代入数据得：
$\overset{\frown}{AC}$的长$=\frac{80×π×3}{180}=\frac{4}{3}π$。
【答案】
$\frac{4}{3}π$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是通过圆的相关性质推导弧对应的圆心角，再结合弧长公式求解，熟练掌握圆内接四边形性质、圆周角定理和弧长公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合圆内接四边形的性质，利用已知的∠B的度数求出其对角∠D的度数；再根据圆周角定理，由∠D是弧AC所对的圆周角，求出弧AC对应的圆心角度数；最后代入弧长公式，结合已知的圆半径，计算得出弧AC的长度。
【解析】
1. 求∠D的度数：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，圆内接四边形对角互补，
∴ $∠ B + ∠ D = 180°$，
已知$∠ B=140°$，则$∠ D=180° - 140°=40°$。
2. 求弧AC对应的圆心角度数：
∠D是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$n=2∠ D=2×40°=80°$。
3. 计算弧长：
已知$\odot O$的半径$r=3$，弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，代入数据得：
$\overset{\frown}{AC}$的长$=\frac{80×π×3}{180}=\frac{4}{3}π$。
【答案】
$\frac{4}{3}π$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是通过圆的相关性质推导弧对应的圆心角，再结合弧长公式求解，熟练掌握圆内接四边形性质、圆周角定理和弧长公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.如图,点A,B,C都在方格纸(由边长为1的小正方形组成)的格点上,△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C',则点B运动的路径$\overset{\frown}{BB'}$的长为
$\frac{5}{2}π$
。答案
4.$\frac{5}{2}π$
【解析】由题意,得 $AC = 4, BC = 3, \therefore AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5. \because △ABC$ 绕点 A 顺时针旋转 $90°$后得到$△AB'C', \therefore ∠BAB' = 90°, \therefore \overset{\frown}{BB'}$的长为 $l = \frac{90π×5}{180} = \frac{5}{2}π.$
【解析】由题意,得 $AC = 4, BC = 3, \therefore AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5. \because △ABC$ 绕点 A 顺时针旋转 $90°$后得到$△AB'C', \therefore ∠BAB' = 90°, \therefore \overset{\frown}{BB'}$的长为 $l = \frac{90π×5}{180} = \frac{5}{2}π.$
解析
【分析】
要求点B运动的弧长$\overset{\frown}{BB'}$，首先需明确弧长的计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆弧所在圆的半径）。由旋转的性质可知，点B的运动路径是以A为圆心、AB长为半径，圆心角等于旋转角的圆弧，因此先利用勾股定理求出AB的长度，再结合旋转角为90°，代入弧长公式即可求解。
【解析】
由方格的性质可知$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\because △ ABC$绕点A顺时针旋转$90°$得到$△ AB'C'$，
$\therefore$ 旋转角$∠ BAB'=90°$，即$\overset{\frown}{BB'}$对应的圆心角为$90°$，半径$r=AB=5$。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{BB'}$的长为：
$l=\frac{90π × 5}{180}=\frac{5}{2}π$。
【答案】
$\frac{5}{2}π$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，弧长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合旋转的性质确定圆弧的半径和圆心角，再结合勾股定理和弧长公式计算，是弧长相关的典型常考题。
【难度系数】
0.7
要求点B运动的弧长$\overset{\frown}{BB'}$，首先需明确弧长的计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆弧所在圆的半径）。由旋转的性质可知，点B的运动路径是以A为圆心、AB长为半径，圆心角等于旋转角的圆弧，因此先利用勾股定理求出AB的长度，再结合旋转角为90°，代入弧长公式即可求解。
【解析】
由方格的性质可知$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\because △ ABC$绕点A顺时针旋转$90°$得到$△ AB'C'$，
$\therefore$ 旋转角$∠ BAB'=90°$，即$\overset{\frown}{BB'}$对应的圆心角为$90°$，半径$r=AB=5$。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{BB'}$的长为：
$l=\frac{90π × 5}{180}=\frac{5}{2}π$。
【答案】
$\frac{5}{2}π$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，弧长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合旋转的性质确定圆弧的半径和圆心角，再结合勾股定理和弧长公式计算，是弧长相关的典型常考题。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在△ABC中,AC=BC,以AB为直径作⊙O,与AC相交于点D,连接OC,与⊙O相交于点E.
(1)如图①,连接DE,求∠ADE的度数.
(2)如图②,若点D为AC的中点,且AC=6,求$\overset{\frown}{DE}$的长.
(1)如图①,连接DE,求∠ADE的度数.
(2)如图②,若点D为AC的中点,且AC=6,求$\overset{\frown}{DE}$的长.
答案
5.解:(1)$\because AC=BC,OA=OB,\therefore CO⊥AB.$
如图①,连接 BE,则$∠ABE=\frac{1}{2}∠AOE=45°.$
$\because$ 四边形 ABED 内接于$\odot O$,
$\therefore ∠ABE+∠ADE=180°,$
$\therefore ∠ADE=180°-45°=135°.$
(2)如图②,连接 OD,则$OD=OA.$
$\because$ 点 D 为 AC 的中点,由(1)知 $CO⊥AB,$
$\therefore OD=AD=\frac{1}{2}AC=3,\therefore OA=OD=AD=3,$
$\therefore △AOD$ 是等边三角形,$\therefore ∠AOD=60°,$
$\therefore ∠DOE=90°-60°=30°,\therefore l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{30π×3}{180}=\frac{π}{2}.$
解析
【分析】
(1) 求∠ADE的度数：首先由AC=BC、AB是⊙O直径得OA=OB，根据等腰三角形三线合一可推出CO⊥AB，即∠AOE=90°；连接BE后，根据圆周角定理可求出∠ABE的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可算出∠ADE的度数。
(2) 求$\overset{\frown}{DE}$的长：弧长计算需要知道圆心角度数和圆的半径，先连接OD，由D是AC中点、△AOC是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出△AOD是等边三角形，得到∠AOD=60°，进而求出$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角∠DOE的度数；结合AC=6求出圆的半径为3，代入弧长公式即可得到结果。
【解析】
(1) $\because AC=BC,OA=OB$（AB为⊙O的直径，O为圆心），
$\therefore CO⊥ AB$（等腰三角形三线合一），即$∠ AOE=90°$。
如图①，连接BE，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\therefore ∠ ABE=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}×90°=45°$。
$\because$ 四边形ABED内接于$\odot O$，
$\therefore ∠ ABE+∠ ADE=180°$（圆内接四边形对角互补），
$\therefore ∠ ADE=180°-45°=135°$。
(2) 如图②，连接OD，则$OD=OA$（同圆的半径相等）。
$\because$ 点D为AC的中点，由(1)知$CO⊥ AB$，即$△ AOC$是直角三角形，
$\therefore OD=AD=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
$\because AC=6$，$\therefore AD=3$，即$OA=OD=AD=3$，
$\therefore △ AOD$是等边三角形，$\therefore ∠ AOD=60°$，
$\because ∠ AOE=90°$，$\therefore ∠ DOE=∠ AOE-∠ AOD=90°-60°=30°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，代入$n=30,r=3$得：
$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{30π×3}{180}=\frac{π}{2}$。
【答案】
(1) $∠ ADE=135°$
(2) $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{π}{2}$
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是合理作出辅助线，结合等腰三角形、圆的相关性质推导出所需的角度和半径，既考查了基础概念的应用，也锻炼了辅助线构造的解题思维。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠ADE的度数：首先由AC=BC、AB是⊙O直径得OA=OB，根据等腰三角形三线合一可推出CO⊥AB，即∠AOE=90°；连接BE后，根据圆周角定理可求出∠ABE的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可算出∠ADE的度数。
(2) 求$\overset{\frown}{DE}$的长：弧长计算需要知道圆心角度数和圆的半径，先连接OD，由D是AC中点、△AOC是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出△AOD是等边三角形，得到∠AOD=60°，进而求出$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角∠DOE的度数；结合AC=6求出圆的半径为3，代入弧长公式即可得到结果。
【解析】
(1) $\because AC=BC,OA=OB$（AB为⊙O的直径，O为圆心），
$\therefore CO⊥ AB$（等腰三角形三线合一），即$∠ AOE=90°$。
如图①，连接BE，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\therefore ∠ ABE=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}×90°=45°$。
$\because$ 四边形ABED内接于$\odot O$，
$\therefore ∠ ABE+∠ ADE=180°$（圆内接四边形对角互补），
$\therefore ∠ ADE=180°-45°=135°$。
(2) 如图②，连接OD，则$OD=OA$（同圆的半径相等）。
$\because$ 点D为AC的中点，由(1)知$CO⊥ AB$，即$△ AOC$是直角三角形，
$\therefore OD=AD=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
$\because AC=6$，$\therefore AD=3$，即$OA=OD=AD=3$，
$\therefore △ AOD$是等边三角形，$\therefore ∠ AOD=60°$，
$\because ∠ AOE=90°$，$\therefore ∠ DOE=∠ AOE-∠ AOD=90°-60°=30°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，代入$n=30,r=3$得：
$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{30π×3}{180}=\frac{π}{2}$。
【答案】
(1) $∠ ADE=135°$
(2) $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{π}{2}$
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是合理作出辅助线，结合等腰三角形、圆的相关性质推导出所需的角度和半径，既考查了基础概念的应用，也锻炼了辅助线构造的解题思维。
【难度系数】
0.7
6. 如图,半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是$\overset{\frown}{AB}$上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E.若CD=CE,则图中阴影部分的面积为（
A.$\frac{25π}{16}$
B.$\frac{25π}{8}$
C.$\frac{25π}{6}$
D.$\frac{25π}{4}$
第6题图 第7题图
B
）A.$\frac{25π}{16}$
B.$\frac{25π}{8}$
C.$\frac{25π}{6}$
D.$\frac{25π}{4}$
第6题图 第7题图
答案
6.B
解析
【分析】
首先观察图形，扇形AOB圆心角为90°，半径为5。由CD⊥OA、CE⊥OB、∠AOB=90°，可先判定四边形ODEC是矩形；再结合CD=CE，可推得ODEC是正方形，进而得到OC平分∠AOB，即∠COB=45°。利用正方形的对称性，通过割补法可将阴影部分的不规则面积转化为圆心角为45°的扇形BOC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC，
∵ ∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴ 四边形ODEC是矩形（三个内角为直角的四边形是矩形），
又
∵ CD=CE，
∴ 矩形ODEC是正方形（邻边相等的矩形是正方形），
∴ OC平分∠AOB，即∠COB=∠AOC=45°。
由正方形的对称性可知，$S_{△ DCE}=S_{△ OCE}$，
∴ 阴影部分面积 = $S_{扇形BOC} - S_{△ OCE} + S_{△ DCE} = S_{扇形BOC}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中$n=45$，$r=5$，代入得：
$S_{阴影}=\frac{45π × 5^2}{360}=\frac{25π}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，正方形的判定与性质，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题目，解题核心是通过分析图形特征，将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积计算，降低了解题难度，熟练掌握特殊四边形的性质和扇形面积公式是解题关键。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，扇形AOB圆心角为90°，半径为5。由CD⊥OA、CE⊥OB、∠AOB=90°，可先判定四边形ODEC是矩形；再结合CD=CE，可推得ODEC是正方形，进而得到OC平分∠AOB，即∠COB=45°。利用正方形的对称性，通过割补法可将阴影部分的不规则面积转化为圆心角为45°的扇形BOC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC，
∵ ∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴ 四边形ODEC是矩形（三个内角为直角的四边形是矩形），
又
∵ CD=CE，
∴ 矩形ODEC是正方形（邻边相等的矩形是正方形），
∴ OC平分∠AOB，即∠COB=∠AOC=45°。
由正方形的对称性可知，$S_{△ DCE}=S_{△ OCE}$，
∴ 阴影部分面积 = $S_{扇形BOC} - S_{△ OCE} + S_{△ DCE} = S_{扇形BOC}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中$n=45$，$r=5$，代入得：
$S_{阴影}=\frac{45π × 5^2}{360}=\frac{25π}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，正方形的判定与性质，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题目，解题核心是通过分析图形特征，将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积计算，降低了解题难度，熟练掌握特殊四边形的性质和扇形面积公式是解题关键。
【难度系数】
0.7
7.如图，$\odot O$的半径为1，A，B，C是$\odot O$上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为
$\frac{π}{6}$
.答案
7.$\frac{π}{6}$
【解析】如图,连接 OB. $\because$ 四边形 OABC 为平行四边形,$\therefore AB=OC.$ 又$\because OA = OB = OC, \therefore OA = AB,$
$\therefore △AOB$ 是等边三角形,$\therefore ∠AOB=60°,\therefore S_{阴影}=S_{弓形AB}+S_{△ABC}=S_{弓形AB}+S_{△AOB}=S_{扇形OAB}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}.$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，阴影为不规则图形，需用割补法转化为规则图形面积计算。首先连接辅助线OB，结合平行四边形对边相等的性质与圆的半径相等，可证明△AOB是等边三角形，得到圆心角∠AOB的度数；再根据平行四边形对边平行的性质，可得△ABC和△AOB同底等高，面积相等，即可将阴影部分面积转化为扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：如图，连接OB。
∵四边形OABC为平行四边形，
∴$AB=OC$。
又
∵$OA=OB=OC=1$，
∴$OA=OB=AB$，即△AOB是等边三角形，
∴$∠ AOB=60°$。
∵平行四边形OABC中，$△ ABC$和$△ AOB$面积相等，
∴$S_{阴影}=S_{弓形AB}+S_{△ ABC}=S_{弓形AB}+S_{△ AOB}=S_{扇形OAB}$。
代入扇形面积公式得：
$S_{扇形OAB}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题关键是通过添加辅助线，利用割补转化的思想，将不规则阴影面积转化为易计算的扇形面积，能有效考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，阴影为不规则图形，需用割补法转化为规则图形面积计算。首先连接辅助线OB，结合平行四边形对边相等的性质与圆的半径相等，可证明△AOB是等边三角形，得到圆心角∠AOB的度数；再根据平行四边形对边平行的性质，可得△ABC和△AOB同底等高，面积相等，即可将阴影部分面积转化为扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：如图，连接OB。
∵四边形OABC为平行四边形，
∴$AB=OC$。
又
∵$OA=OB=OC=1$，
∴$OA=OB=AB$，即△AOB是等边三角形，
∴$∠ AOB=60°$。
∵平行四边形OABC中，$△ ABC$和$△ AOB$面积相等，
∴$S_{阴影}=S_{弓形AB}+S_{△ ABC}=S_{弓形AB}+S_{△ AOB}=S_{扇形OAB}$。
代入扇形面积公式得：
$S_{扇形OAB}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题关键是通过添加辅助线，利用割补转化的思想，将不规则阴影面积转化为易计算的扇形面积，能有效考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8.某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图如下图所示,该场地由$\odot O$和扇形$OBC$组成,$OB$,$OC$分别与$\odot O$交于点$A$,$D$.若$OA=1\ \mathrm{m}$,$OB=10\ \mathrm{m}$,$∠ AOD=40°$,求阴影部分的面积(结果保留$π$).
答案
8.解:由题意可得,$S_{扇形AOD}=\frac{40×π×1^2}{360}=\frac{1}{9}π(\mathrm{m}^2),$
$S_{扇形OBC}=\frac{40×π×10^2}{360}=\frac{100}{9}π(\mathrm{m}^2),$
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OBC}-S_{扇形AOD}=\frac{100π}{9}-\frac{1}{9}π=11π(\mathrm{m}^2).$
$S_{扇形OBC}=\frac{40×π×10^2}{360}=\frac{100}{9}π(\mathrm{m}^2),$
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OBC}-S_{扇形AOD}=\frac{100π}{9}-\frac{1}{9}π=11π(\mathrm{m}^2).$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影部分是大扇形OBC与小扇形AOD的面积差，两个扇形的圆心角相同，均为40°，半径分别为OB=10m、OA=1m，因此只需分别计算两个扇形的面积，再作差即可得到阴影部分的面积，计算时使用扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径）。
【解析】
由题意可知，$∠ BOC=∠ AOD=40°$，
小扇形AOD的面积：$S_{扇形AOD}=\frac{40×π×1^2}{360}=\frac{1}{9}π(\mathrm{m}^2)$，
大扇形OBC的面积：$S_{扇形OBC}=\frac{40×π×10^2}{360}=\frac{100}{9}π(\mathrm{m}^2)$，
因此阴影部分面积为：$S_{阴影}=S_{扇形OBC}-S_{扇形AOD}=\frac{100π}{9}-\frac{1π}{9}=11π(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
$11π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形面积计算；和差法求阴影面积
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确识别阴影部分的构成，熟练掌握扇形面积公式，代入对应数值计算即可。
【难度系数】
0.8
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影部分是大扇形OBC与小扇形AOD的面积差，两个扇形的圆心角相同，均为40°，半径分别为OB=10m、OA=1m，因此只需分别计算两个扇形的面积，再作差即可得到阴影部分的面积，计算时使用扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径）。
【解析】
由题意可知，$∠ BOC=∠ AOD=40°$，
小扇形AOD的面积：$S_{扇形AOD}=\frac{40×π×1^2}{360}=\frac{1}{9}π(\mathrm{m}^2)$，
大扇形OBC的面积：$S_{扇形OBC}=\frac{40×π×10^2}{360}=\frac{100}{9}π(\mathrm{m}^2)$，
因此阴影部分面积为：$S_{阴影}=S_{扇形OBC}-S_{扇形AOD}=\frac{100π}{9}-\frac{1π}{9}=11π(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
$11π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形面积计算；和差法求阴影面积
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确识别阴影部分的构成，熟练掌握扇形面积公式，代入对应数值计算即可。
【难度系数】
0.8
