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【例1】如右图，一条公路的转弯处是一段圆弧$\overset{\frown}{AC}$，点O是这段弧所在圆的圆心，B为$\overset{\frown}{AC}$上的一个点，$OB ⊥ AC$于点D。若$AC = 300\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$∠ OAD = 30°$，则$\overset{\frown}{AC}$的长为（
A.$300π\ \mathrm{m}$
B.$200π\ \mathrm{m}$
C.$150π\ \mathrm{m}$
D.$100\sqrt{3}π\ \mathrm{m}$
【点拨】$\because OB ⊥ AC$，点O是$\overset{\frown}{AC}$所在圆的圆心，$∠ OAD = 30°$，$\therefore AD = \frac{1}{2}AC = 150\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$∠ AOD = ∠ COD = 60°$，$DO = \frac{1}{2}AO$，$\therefore ∠ AOC = 120°$。设$AO = x\ \mathrm{m}$，则$DO = \frac{1}{2}x\ \mathrm{m}$。在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理，得$x^2 = (\frac{1}{2}x)^2 + (150\sqrt{3})^2$，解得$x = 300$（负值已舍去），即$AO = 300\ \mathrm{m}$，$\therefore l_{\overset{\frown}{AC}} = \frac{120 × π × 300}{180} = 200π(\mathrm{m})$。
【答案】B
【例2】两个半径相等的半圆按下图所示的方式放置，半圆$O'$的一个直径端点与半圆O的圆心重合。若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是
【点拨】如右图，连接OA，$AO'$，作$AB ⊥ OO'$于点B。
$\because OA = OO' = AO' = 2$，$\therefore △ AOO'$是等边三角形，$\therefore ∠ AOO' = 60°$，$OB = \frac{1}{2}OO' = 1$，$\therefore AB = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，$\therefore S_{\mathrm{弓形}AO'} = S_{\mathrm{扇形}AOO'} - S_{△ AOO'} = \frac{60π × 2^2}{360} - 2 × \sqrt{3} × \frac{1}{2} = \frac{2π}{3} - \sqrt{3}$，$\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{弓形}AO'} + S_{\mathrm{扇形}AO'O} = \frac{2π}{3} - \sqrt{3} + \frac{60π × 2^2}{360} = \frac{2π}{3} - \sqrt{3} + \frac{2π}{3} = \frac{4π}{3} - \sqrt{3}$。
[图B]
【解】$\frac{4π}{3} - \sqrt{3}$
B
）A.$300π\ \mathrm{m}$
B.$200π\ \mathrm{m}$
C.$150π\ \mathrm{m}$
D.$100\sqrt{3}π\ \mathrm{m}$
【点拨】$\because OB ⊥ AC$，点O是$\overset{\frown}{AC}$所在圆的圆心，$∠ OAD = 30°$，$\therefore AD = \frac{1}{2}AC = 150\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$∠ AOD = ∠ COD = 60°$，$DO = \frac{1}{2}AO$，$\therefore ∠ AOC = 120°$。设$AO = x\ \mathrm{m}$，则$DO = \frac{1}{2}x\ \mathrm{m}$。在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理，得$x^2 = (\frac{1}{2}x)^2 + (150\sqrt{3})^2$，解得$x = 300$（负值已舍去），即$AO = 300\ \mathrm{m}$，$\therefore l_{\overset{\frown}{AC}} = \frac{120 × π × 300}{180} = 200π(\mathrm{m})$。
【答案】B
【例2】两个半径相等的半圆按下图所示的方式放置，半圆$O'$的一个直径端点与半圆O的圆心重合。若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是
$\frac{4π}{3} - \sqrt{3}$
。【点拨】如右图，连接OA，$AO'$，作$AB ⊥ OO'$于点B。
$\because OA = OO' = AO' = 2$，$\therefore △ AOO'$是等边三角形，$\therefore ∠ AOO' = 60°$，$OB = \frac{1}{2}OO' = 1$，$\therefore AB = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，$\therefore S_{\mathrm{弓形}AO'} = S_{\mathrm{扇形}AOO'} - S_{△ AOO'} = \frac{60π × 2^2}{360} - 2 × \sqrt{3} × \frac{1}{2} = \frac{2π}{3} - \sqrt{3}$，$\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{弓形}AO'} + S_{\mathrm{扇形}AO'O} = \frac{2π}{3} - \sqrt{3} + \frac{60π × 2^2}{360} = \frac{2π}{3} - \sqrt{3} + \frac{2π}{3} = \frac{4π}{3} - \sqrt{3}$。
[图B]
【解】$\frac{4π}{3} - \sqrt{3}$
答案
例1答案：B
例2答案：$\frac{4π}{3} - \sqrt{3}$
例2答案：$\frac{4π}{3} - \sqrt{3}$
解析
例1
【分析】
要求圆弧$\overset{\frown}{AC}$的长度，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此需要先求出弧对应的圆心角$∠ AOC$的度数和所在圆的半径$OA$。首先根据垂径定理，由$OB⊥ AC$可得到$AD$的长度，再结合$∠ OAD=30°$，在$Rt△ ADO$中利用直角三角形的性质和勾股定理求出半径$OA$，同时推出圆心角$∠ AOC$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
$\because OB⊥ AC$，$O$是$\overset{\frown}{AC}$所在圆的圆心，根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×300\sqrt{3}=150\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$∠ ADO=90°$
$\because ∠ OAD=30°$，$\therefore ∠ AOD=90°-30°=60°$
又$\because OB⊥ AC$，$\therefore ∠ AOC=2∠ AOD=120°$
设$OA=r\ \mathrm{m}$，在$Rt△ ADO$中，$∠ OAD=30°$，$\therefore OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}r\ \mathrm{m}$
由勾股定理得：$OA^2=OD^2+AD^2$，即$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+(150\sqrt{3})^2$
化简得：$\frac{3}{4}r^2=67500$，解得$r=300$（负值已舍去）
将$n=120$，$r=300$代入弧长公式得：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{120×π×300}{180}=200π\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题是弧长计算的典型基础题，解题关键是明确弧长公式需要的两个核心条件：圆心角度数和圆的半径，结合垂径定理和直角三角形的性质即可逐步求出所需量。
【难度系数】
0.7
---
例2
【分析】
阴影部分是不规则图形，需用割补法将其转化为规则图形的面积和差求解。首先通过连接辅助线$OA$、$AO'$，可判定$△ AOO'$是等边三角形，得到两个扇形的圆心角均为$60°$，阴影部分面积可看作两个圆心角为$60°$的扇形面积之和减去等边$△ AOO'$的面积，分别计算各规则图形的面积后作差即可。
【解析】
连接$OA$、$AO'$，过点$A$作$AB⊥ OO'$于点$B$。
$\because$两个半圆的半径均为2，$\therefore OA=OO'=AO'=2$，$\therefore △ AOO'$是等边三角形
$\therefore ∠ AOO'=∠ AO'O=60°$，等边三角形的高$AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
$\therefore S_{△ AOO'}=\frac{1}{2}× OO'× AB=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$
单个圆心角为$60°$的扇形面积：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
阴影部分面积为两个扇形面积之和减去等边三角形的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{2π}{3}+\frac{2π}{3}-\sqrt{3}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，等边三角形性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，割补法是这类题的常用解题思路，解题核心是熟练掌握扇形和等边三角形的面积公式，准确找到不规则图形对应的规则图形组合。
【难度系数】
0.6
【分析】
要求圆弧$\overset{\frown}{AC}$的长度，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此需要先求出弧对应的圆心角$∠ AOC$的度数和所在圆的半径$OA$。首先根据垂径定理，由$OB⊥ AC$可得到$AD$的长度，再结合$∠ OAD=30°$，在$Rt△ ADO$中利用直角三角形的性质和勾股定理求出半径$OA$，同时推出圆心角$∠ AOC$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
$\because OB⊥ AC$，$O$是$\overset{\frown}{AC}$所在圆的圆心，根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×300\sqrt{3}=150\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$∠ ADO=90°$
$\because ∠ OAD=30°$，$\therefore ∠ AOD=90°-30°=60°$
又$\because OB⊥ AC$，$\therefore ∠ AOC=2∠ AOD=120°$
设$OA=r\ \mathrm{m}$，在$Rt△ ADO$中，$∠ OAD=30°$，$\therefore OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}r\ \mathrm{m}$
由勾股定理得：$OA^2=OD^2+AD^2$，即$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+(150\sqrt{3})^2$
化简得：$\frac{3}{4}r^2=67500$，解得$r=300$（负值已舍去）
将$n=120$，$r=300$代入弧长公式得：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{120×π×300}{180}=200π\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题是弧长计算的典型基础题，解题关键是明确弧长公式需要的两个核心条件：圆心角度数和圆的半径，结合垂径定理和直角三角形的性质即可逐步求出所需量。
【难度系数】
0.7
---
例2
【分析】
阴影部分是不规则图形，需用割补法将其转化为规则图形的面积和差求解。首先通过连接辅助线$OA$、$AO'$，可判定$△ AOO'$是等边三角形，得到两个扇形的圆心角均为$60°$，阴影部分面积可看作两个圆心角为$60°$的扇形面积之和减去等边$△ AOO'$的面积，分别计算各规则图形的面积后作差即可。
【解析】
连接$OA$、$AO'$，过点$A$作$AB⊥ OO'$于点$B$。
$\because$两个半圆的半径均为2，$\therefore OA=OO'=AO'=2$，$\therefore △ AOO'$是等边三角形
$\therefore ∠ AOO'=∠ AO'O=60°$，等边三角形的高$AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
$\therefore S_{△ AOO'}=\frac{1}{2}× OO'× AB=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$
单个圆心角为$60°$的扇形面积：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
阴影部分面积为两个扇形面积之和减去等边三角形的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{2π}{3}+\frac{2π}{3}-\sqrt{3}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，等边三角形性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，割补法是这类题的常用解题思路，解题核心是熟练掌握扇形和等边三角形的面积公式，准确找到不规则图形对应的规则图形组合。
【难度系数】
0.6
1. 若扇形AOB的半径为6，$∠ AOB=120°$，则$\overset{\frown}{AB}$的长为（
A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
C
）A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
答案
1.C
解析
【分析】
本题要求弧AB的长度，解题的关键是熟练掌握弧长计算公式。首先明确已知条件：扇形的圆心角∠AOB=120°，半径r=6，我们可以直接将已知数据代入弧长公式计算得到结果。
【解析】
弧长计算公式为：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为扇形半径）。
由题可知，$n=120°$，$r=6$，代入公式得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120×π×6}{180}=4π$
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查弧长公式的直接应用，解题时只要准确记忆公式，代入对应数据计算即可得出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题要求弧AB的长度，解题的关键是熟练掌握弧长计算公式。首先明确已知条件：扇形的圆心角∠AOB=120°，半径r=6，我们可以直接将已知数据代入弧长公式计算得到结果。
【解析】
弧长计算公式为：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为扇形半径）。
由题可知，$n=120°$，$r=6$，代入公式得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120×π×6}{180}=4π$
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查弧长公式的直接应用，解题时只要准确记忆公式，代入对应数据计算即可得出正确答案。
【难度系数】
0.8
变式题 根据公式求弧长→已知弧长求圆心角或所在圆的半径
(1)一个扇形的弧长是$11π$ cm，半径是18 cm，则此扇形的圆心角的度数是(
A. $90°$ B. $100°$ C. $110°$ D. $120°$
(2)一个扇形的弧长是$8π$ cm，圆心角是$144°$，则此扇形的半径是
(1)一个扇形的弧长是$11π$ cm，半径是18 cm，则此扇形的圆心角的度数是(
C
)A. $90°$ B. $100°$ C. $110°$ D. $120°$
(2)一个扇形的弧长是$8π$ cm，圆心角是$144°$，则此扇形的半径是
10
cm.答案
变式题 (1)C (2)10
解析
【分析】
本题考查弧长公式的应用，解题核心是牢记弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），根据题目给出的已知量，将公式变形后代入数值计算即可。第(1)问已知弧长和半径，将公式变形为$n=\frac{180l}{π r}$求圆心角；第(2)问已知弧长和圆心角，将公式变形为$r=\frac{180l}{nπ}$求半径。
【解析】
(1) 根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=11π\ \mathrm{cm}$，$r=18\ \mathrm{cm}$代入公式：
$11π=\frac{nπ×18}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$11=\frac{n}{10}$
解得$n=110$，即圆心角为$110°$。
(2) 同样根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=8π\ \mathrm{cm}$，$n=144°$代入公式：
$8π=\frac{144π r}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$8=\frac{4r}{5}$
解得$r=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)C (2)10
【知识点】
弧长公式；方程求解
【点评】
本题是弧长公式的基础应用题型，主要考查对弧长公式的掌握程度和灵活变形能力，解题时注意计算过程中可以先约去$π$简化运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
本题考查弧长公式的应用，解题核心是牢记弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），根据题目给出的已知量，将公式变形后代入数值计算即可。第(1)问已知弧长和半径，将公式变形为$n=\frac{180l}{π r}$求圆心角；第(2)问已知弧长和圆心角，将公式变形为$r=\frac{180l}{nπ}$求半径。
【解析】
(1) 根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=11π\ \mathrm{cm}$，$r=18\ \mathrm{cm}$代入公式：
$11π=\frac{nπ×18}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$11=\frac{n}{10}$
解得$n=110$，即圆心角为$110°$。
(2) 同样根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=8π\ \mathrm{cm}$，$n=144°$代入公式：
$8π=\frac{144π r}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$8=\frac{4r}{5}$
解得$r=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)C (2)10
【知识点】
弧长公式；方程求解
【点评】
本题是弧长公式的基础应用题型，主要考查对弧长公式的掌握程度和灵活变形能力，解题时注意计算过程中可以先约去$π$简化运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
2.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=35°$,$CD$是斜边$AB$上的中线,以点$C$为圆心,$CD$长为半径作弧,与$AB$的另一个交点为点$E$.若$AB=2$,则$\overset{\frown}{DE}$的长为 （
A.$\frac{1}{9}π$
B.$\frac{2}{9}π$
C.$\frac{11}{36}π$
D.$\frac{7}{18}π$
B
）A.$\frac{1}{9}π$
B.$\frac{2}{9}π$
C.$\frac{11}{36}π$
D.$\frac{7}{18}π$
答案
2.B
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{DE}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），因此首先要确定圆心角$∠ DCE$的度数和圆$C$的半径$CD$的长度。先利用直角三角形斜边中线的性质求出半径，再结合等腰三角形的内角关系推导圆心角的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 求圆$C$的半径：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是斜边$AB$上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=2$，因此$CD=1$，即圆$C$的半径$r=1$。
2. 求圆心角$∠ DCE$的度数：
由$∠ ACB=90°$，$∠ A=35°$，可得$∠ B=90°-35°=55°$。
$\because CD=BD$，$\therefore △ CDB$为等腰三角形，$∠ DCB=∠ B=55°$，
$\therefore ∠ CDE=180°-∠ DCB-∠ B=180°-55°-55°=70°$。
又$\because CD、CE$都是圆$C$的半径，$\therefore CD=CE$，$△ CDE$为等腰三角形，$∠ CED=∠ CDE=70°$，
$\therefore ∠ DCE=180°-∠ CDE-∠ CED=180°-70°-70°=40°$。
3. 计算弧长：
将$n=40$，$r=1$代入弧长公式，得$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{40×π×1}{180}=\frac{2}{9}π$。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将三角形性质和弧长计算结合考查，解题的核心是准确推导弧对应的圆心角度数，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{DE}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），因此首先要确定圆心角$∠ DCE$的度数和圆$C$的半径$CD$的长度。先利用直角三角形斜边中线的性质求出半径，再结合等腰三角形的内角关系推导圆心角的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 求圆$C$的半径：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是斜边$AB$上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=2$，因此$CD=1$，即圆$C$的半径$r=1$。
2. 求圆心角$∠ DCE$的度数：
由$∠ ACB=90°$，$∠ A=35°$，可得$∠ B=90°-35°=55°$。
$\because CD=BD$，$\therefore △ CDB$为等腰三角形，$∠ DCB=∠ B=55°$，
$\therefore ∠ CDE=180°-∠ DCB-∠ B=180°-55°-55°=70°$。
又$\because CD、CE$都是圆$C$的半径，$\therefore CD=CE$，$△ CDE$为等腰三角形，$∠ CED=∠ CDE=70°$，
$\therefore ∠ DCE=180°-∠ CDE-∠ CED=180°-70°-70°=40°$。
3. 计算弧长：
将$n=40$，$r=1$代入弧长公式，得$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{40×π×1}{180}=\frac{2}{9}π$。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将三角形性质和弧长计算结合考查，解题的核心是准确推导弧对应的圆心角度数，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
