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【例】如右图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC = BC = 2\sqrt{2}$。若把$Rt△ ABC$绕边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为。
【点拨】先过点C作AB边上的高，即圆面的半径，再利用已知条件$AC=BC=2\sqrt{2}$，$∠ ACB=90°$求出圆面的半径，最后利用圆锥侧面展开图的面积公式即可求出该几何体的表面积。
【解】$8\sqrt{2}π$
【点拨】先过点C作AB边上的高，即圆面的半径，再利用已知条件$AC=BC=2\sqrt{2}$，$∠ ACB=90°$求出圆面的半径，最后利用圆锥侧面展开图的面积公式即可求出该几何体的表面积。
【解】$8\sqrt{2}π$
答案
$\boldsymbol{8\sqrt{2}π}$
解析
【分析】
首先判断Rt△ABC绕AB旋转一周得到的几何体是两个底面完全重合的圆锥组合体，所求表面积就是两个圆锥侧面积的和。解题思路如下：第一步，先利用勾股定理算出等腰直角△ABC斜边AB的长度，再通过面积法求出AB边上的高，也就是两个圆锥共同的底面半径；第二步，明确两个圆锥的母线长就是AC、BC的长度；第三步，代入圆锥侧面积公式分别计算两个圆锥的侧面积，相加即可得到最终结果。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$，
根据三角形面积相等可得：$\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CD$，
代入数值计算底面半径$CD$：
$CD=\frac{AC × BC}{AB}=\frac{2\sqrt{2} × 2\sqrt{2}}{4}=\frac{8}{4}=2$，
由题意得，两个圆锥的母线长$l=AC=BC=2\sqrt{2}$，
单个圆锥的侧面积$S_{侧}=π r l=π × 2 × 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}π$，
因此该几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和：
$S_{表}=2 × 4\sqrt{2}π=8\sqrt{2}π$。
【答案】
$8\sqrt{2}π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题的解题关键是准确判断旋转后几何体的构成，注意所求的表面积仅为两个圆锥的侧面积之和，不需要加上重合的底面面积，计算时要准确对应公式中的半径和母线长，避免出错。
【难度系数】
0.6
首先判断Rt△ABC绕AB旋转一周得到的几何体是两个底面完全重合的圆锥组合体，所求表面积就是两个圆锥侧面积的和。解题思路如下：第一步，先利用勾股定理算出等腰直角△ABC斜边AB的长度，再通过面积法求出AB边上的高，也就是两个圆锥共同的底面半径；第二步，明确两个圆锥的母线长就是AC、BC的长度；第三步，代入圆锥侧面积公式分别计算两个圆锥的侧面积，相加即可得到最终结果。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$，
根据三角形面积相等可得：$\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CD$，
代入数值计算底面半径$CD$：
$CD=\frac{AC × BC}{AB}=\frac{2\sqrt{2} × 2\sqrt{2}}{4}=\frac{8}{4}=2$，
由题意得，两个圆锥的母线长$l=AC=BC=2\sqrt{2}$，
单个圆锥的侧面积$S_{侧}=π r l=π × 2 × 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}π$，
因此该几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和：
$S_{表}=2 × 4\sqrt{2}π=8\sqrt{2}π$。
【答案】
$8\sqrt{2}π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题的解题关键是准确判断旋转后几何体的构成，注意所求的表面积仅为两个圆锥的侧面积之和，不需要加上重合的底面面积，计算时要准确对应公式中的半径和母线长，避免出错。
【难度系数】
0.6
1. 下列图形是圆锥侧面展开图的是 （
B
）答案
1.B
解析
【分析】
解题时先明确题目要求为找出圆锥的侧面展开图，首先回忆圆锥侧面展开图的核心特征：圆锥侧面是曲面，展开后为扇形。再逐一判断各选项图形：A为三角形、C为扇环、D为圆，均不符合扇形特征，只有B是扇形，即可锁定正确答案。
【解析】
根据圆锥的性质可知，圆锥的侧面展开图是扇形，对各选项逐一分析：
A选项：图形为三角形，不属于扇形，不符合要求；
B选项：图形为扇形，符合圆锥侧面展开图的特征；
C选项：图形为扇环，是圆台的侧面展开图，不符合要求；
D选项：图形为带圆心的圆，是圆锥的底面图形，不属于侧面展开图，不符合要求。
综上应选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图，扇形识别
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对常见几何体展开图特征的识记，牢记圆锥侧面展开图是扇形即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先明确题目要求为找出圆锥的侧面展开图，首先回忆圆锥侧面展开图的核心特征：圆锥侧面是曲面，展开后为扇形。再逐一判断各选项图形：A为三角形、C为扇环、D为圆，均不符合扇形特征，只有B是扇形，即可锁定正确答案。
【解析】
根据圆锥的性质可知，圆锥的侧面展开图是扇形，对各选项逐一分析：
A选项：图形为三角形，不属于扇形，不符合要求；
B选项：图形为扇形，符合圆锥侧面展开图的特征；
C选项：图形为扇环，是圆台的侧面展开图，不符合要求；
D选项：图形为带圆心的圆，是圆锥的底面图形，不属于侧面展开图，不符合要求。
综上应选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图，扇形识别
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对常见几何体展开图特征的识记，牢记圆锥侧面展开图是扇形即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.一个圆锥的底面半径为5 cm，其侧面展开图的圆心角为$150°$，则该圆锥的母线长为（
A.8 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.24 cm
B
）A.8 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.24 cm
答案
2.B
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥本身的等量关系：圆锥侧面展开后得到的扇形的弧长等于圆锥底面的周长。我们可以先分别写出底面周长公式和扇形弧长公式，再代入已知条件列方程求解母线长即可。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ l $ cm。
1. 计算圆锥底面周长：
根据圆的周长公式$ C=2π r $，已知底面半径$ r=5\ \mathrm{cm} $，可得底面周长$ C=2π×5=10π\ \mathrm{cm} $。
2. 利用等量关系列方程：
圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面周长，扇形弧长公式为$ l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ l}{180} $（其中$ n $为扇形圆心角，$ l $为母线长），已知圆心角$ n=150° $，因此可得方程：
$ 10π=\frac{150π l}{180} $
3. 解方程：
两边同时约去$ π $，得$ 10=\frac{150l}{180} $，化简后解得$ l=12 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图的性质、弧长计算公式、圆的周长公式
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础常考题，解题的关键是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一核心等量关系，熟练掌握对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥本身的等量关系：圆锥侧面展开后得到的扇形的弧长等于圆锥底面的周长。我们可以先分别写出底面周长公式和扇形弧长公式，再代入已知条件列方程求解母线长即可。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ l $ cm。
1. 计算圆锥底面周长：
根据圆的周长公式$ C=2π r $，已知底面半径$ r=5\ \mathrm{cm} $，可得底面周长$ C=2π×5=10π\ \mathrm{cm} $。
2. 利用等量关系列方程：
圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面周长，扇形弧长公式为$ l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ l}{180} $（其中$ n $为扇形圆心角，$ l $为母线长），已知圆心角$ n=150° $，因此可得方程：
$ 10π=\frac{150π l}{180} $
3. 解方程：
两边同时约去$ π $，得$ 10=\frac{150l}{180} $，化简后解得$ l=12 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图的性质、弧长计算公式、圆的周长公式
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础常考题，解题的关键是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一核心等量关系，熟练掌握对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
变式题1 已知半径、圆心角，求母线长→
已知母线长、圆心角，求半径
如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若母线长 l 为 6 cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为
变式题2 已知半径、圆心角，求母线长→
已知母线长、半径，求圆心角
若圆锥的底面半径为 40 cm，母线长为90 cm，则其侧面展开图的圆心角为
已知母线长、圆心角，求半径
如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若母线长 l 为 6 cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为
2
cm.变式题2 已知半径、圆心角，求母线长→
已知母线长、半径，求圆心角
若圆锥的底面半径为 40 cm，母线长为90 cm，则其侧面展开图的圆心角为
$160°$
.答案
变式题1 2
变式题2 $160°$
变式题2 $160°$
解析
【分析】
解决圆锥侧面展开相关问题，核心要抓住两个对应等量关系：1. 展开后扇形的半径等于圆锥的母线长；2. 展开后扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时根据已知条件，将对应量代入弧长公式和圆周长公式建立等式，解方程即可求出未知量。
变式题1已知母线长和扇形圆心角，求底面半径，直接利用上述等量关系列方程求解即可；变式题2已知底面半径和母线长，求圆心角，同样代入等量关系变形求解即可。
【解析】
变式题1
圆锥侧面展开扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长，弧长公式为$\frac{θ · π · l}{180}$，底面周长公式为$2π r$，因此可得等式：
$\frac{120× π × 6}{180}=2π r$
化简左边得：$4π=2π r$
两边同时除以$2π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
变式题2
设侧面展开图的圆心角为$n°$，同理根据弧长等于底面周长列等式：
$\frac{n× π × 90}{180}=2× π × 40$
化简得：$\frac{nπ}{2}=80π$
两边同时除以$π$后乘2，解得$n=160$，即圆心角为$160°$。
【答案】
变式题1：2；变式题2：$160°$
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 弧长计算公式
3. 圆的周长公式
【点评】
这两道题是圆锥侧面积相关的基础题型，解题关键是牢记扇形与圆锥各量的对应关系，尤其是“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一核心等量关系，掌握后可快速解决此类求底面半径、展开图圆心角的问题。
【难度系数】
0.8
解决圆锥侧面展开相关问题，核心要抓住两个对应等量关系：1. 展开后扇形的半径等于圆锥的母线长；2. 展开后扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时根据已知条件，将对应量代入弧长公式和圆周长公式建立等式，解方程即可求出未知量。
变式题1已知母线长和扇形圆心角，求底面半径，直接利用上述等量关系列方程求解即可；变式题2已知底面半径和母线长，求圆心角，同样代入等量关系变形求解即可。
【解析】
变式题1
圆锥侧面展开扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长，弧长公式为$\frac{θ · π · l}{180}$，底面周长公式为$2π r$，因此可得等式：
$\frac{120× π × 6}{180}=2π r$
化简左边得：$4π=2π r$
两边同时除以$2π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
变式题2
设侧面展开图的圆心角为$n°$，同理根据弧长等于底面周长列等式：
$\frac{n× π × 90}{180}=2× π × 40$
化简得：$\frac{nπ}{2}=80π$
两边同时除以$π$后乘2，解得$n=160$，即圆心角为$160°$。
【答案】
变式题1：2；变式题2：$160°$
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 弧长计算公式
3. 圆的周长公式
【点评】
这两道题是圆锥侧面积相关的基础题型，解题关键是牢记扇形与圆锥各量的对应关系，尤其是“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一核心等量关系，掌握后可快速解决此类求底面半径、展开图圆心角的问题。
【难度系数】
0.8
3.如右图，扇形ODE的半径为3，边长为$\sqrt{3}$的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，$\overset{\frown}{DE}$上.若把扇形ODE围成一个圆锥，求此圆锥的高.
答案
3. 解:如图,连接OB,AC,相交于点F.
在菱形OABC中,$AC ⊥ BO,CF=AF,FO=BF$,
$\because$扇形 ODE 的半径为 3,菱形 OABC的边长为$\sqrt{3}$,
$\therefore OB=3,OC=\sqrt{3}$,
$\therefore FO=BF=\frac{3}{2}$,
$\therefore CF=\sqrt{OC^2-FO^2}=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore AC=2CF=\sqrt{3}$,
$\therefore OC=OA=AC$,即$△ OAC$为等边三角形,则$∠ COA$$=60°,\therefore \overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{60π × 3}{180}=π$.
设圆锥的底面圆的半径为 r,
则底面圆的周长为$2π r=π$,解得$r=\frac{1}{2}$.
又由圆锥的母线长为3,得此圆锥的高为$\sqrt{3^2-(\frac{1}{2})^2}$$=\frac{\sqrt{35}}{2}$.
解析
【分析】
要求圆锥的高，需先明确圆锥的母线长和底面圆半径，已知母线长等于扇形半径3，因此解题核心是求出底面圆半径。圆锥底面圆周长与扇形ODE的弧长相等，因此需要先求扇形的圆心角：可通过连接菱形的对角线OB、AC，利用菱形对角线垂直平分的性质，结合已知边长求出AC的长度，证明△OAC为等边三角形得到圆心角∠DOE的度数，再计算弧长，进而求出底面半径，最后用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
解：如图，连接OB，AC，相交于点F。
∵四边形OABC是菱形，
∴$AC ⊥ BO,CF=AF,FO=BF$，
∵扇形ODE的半径为3，菱形OABC的边长为$\sqrt{3}$，
∴$OB=3,OC=OA=\sqrt{3}$，
∴$FO=BF=\frac{1}{2}OB=\frac{3}{2}$，
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：$CF=\sqrt{OC^2-FO^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$AC=2CF=\sqrt{3}$，
∴$OC=OA=AC$，即$△ OAC$为等边三角形，
∴$∠COA=60°$，即扇形ODE的圆心角为$60°$，
∴$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{60π × 3}{180}=π$。
设圆锥的底面圆的半径为r，
∵圆锥底面圆周长等于扇形弧长，
∴$2π r=π$，解得$r=\frac{1}{2}$。
∵圆锥的母线长为3，
∴此圆锥的高为$\sqrt{3^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{35}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{35}}{2}$
【知识点】
菱形的性质，弧长计算，圆锥的相关计算
【点评】
本题综合考查了菱形、扇形、圆锥的相关知识，解题的突破口是通过菱形的性质求出扇形的圆心角，再利用圆锥底面周长与扇形弧长的等量关系求解，需要熟练掌握几何图形的性质及相关公式的灵活应用。
【难度系数】
0.6
要求圆锥的高，需先明确圆锥的母线长和底面圆半径，已知母线长等于扇形半径3，因此解题核心是求出底面圆半径。圆锥底面圆周长与扇形ODE的弧长相等，因此需要先求扇形的圆心角：可通过连接菱形的对角线OB、AC，利用菱形对角线垂直平分的性质，结合已知边长求出AC的长度，证明△OAC为等边三角形得到圆心角∠DOE的度数，再计算弧长，进而求出底面半径，最后用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
解：如图，连接OB，AC，相交于点F。
∵四边形OABC是菱形，
∴$AC ⊥ BO,CF=AF,FO=BF$，
∵扇形ODE的半径为3，菱形OABC的边长为$\sqrt{3}$，
∴$OB=3,OC=OA=\sqrt{3}$，
∴$FO=BF=\frac{1}{2}OB=\frac{3}{2}$，
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：$CF=\sqrt{OC^2-FO^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$AC=2CF=\sqrt{3}$，
∴$OC=OA=AC$，即$△ OAC$为等边三角形，
∴$∠COA=60°$，即扇形ODE的圆心角为$60°$，
∴$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{60π × 3}{180}=π$。
设圆锥的底面圆的半径为r，
∵圆锥底面圆周长等于扇形弧长，
∴$2π r=π$，解得$r=\frac{1}{2}$。
∵圆锥的母线长为3，
∴此圆锥的高为$\sqrt{3^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{35}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{35}}{2}$
【知识点】
菱形的性质，弧长计算，圆锥的相关计算
【点评】
本题综合考查了菱形、扇形、圆锥的相关知识，解题的突破口是通过菱形的性质求出扇形的圆心角，再利用圆锥底面周长与扇形弧长的等量关系求解，需要熟练掌握几何图形的性质及相关公式的灵活应用。
【难度系数】
0.6
