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4.如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，那么这个圆锥的底面半径是（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
4.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆圆锥侧面积的相关公式：圆锥的侧面展开图是扇形，侧面积计算公式为$S_{侧}=π r l$，其中$r$是圆锥底面半径，$l$是圆锥的母线长。已知侧面积和母线长，我们只需要将已知数值代入公式，解关于$r$的一元一次方程就能求出底面半径。
【解析】
设这个圆锥的底面半径为$r$，已知母线长$l=5$，侧面积$S_{侧}=15π$。
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π r l$，代入数值可得：
$π × r × 5 = 15π$
两边同时除以$π$，得：$5r=15$
解得：$r=3$
因此这个圆锥的底面半径是3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面积计算；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题关键是牢记公式，准确对应已知量和未知量，计算时注意约分简化即可。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆圆锥侧面积的相关公式：圆锥的侧面展开图是扇形，侧面积计算公式为$S_{侧}=π r l$，其中$r$是圆锥底面半径，$l$是圆锥的母线长。已知侧面积和母线长，我们只需要将已知数值代入公式，解关于$r$的一元一次方程就能求出底面半径。
【解析】
设这个圆锥的底面半径为$r$，已知母线长$l=5$，侧面积$S_{侧}=15π$。
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π r l$，代入数值可得：
$π × r × 5 = 15π$
两边同时除以$π$，得：$5r=15$
解得：$r=3$
因此这个圆锥的底面半径是3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面积计算；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题关键是牢记公式，准确对应已知量和未知量，计算时注意约分简化即可。
【难度系数】
0.9
5.若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为
$15π$
.答案
5.$15π$
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图的面积即圆锥侧面积，需先明确圆锥侧面积的计算公式为$S_{侧}=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）。题目已知底面半径$r=3$，高$h=4$，圆锥的母线、底面半径、高恰好构成直角三角形，母线为斜边，因此先通过勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式即可得解。
【解析】
第一步：求圆锥的母线长$l$
圆锥的底面半径、高、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
第二步：计算圆锥侧面展开图的面积（侧面积）
圆锥侧面积公式为$S=π rl$，将$r=3$，$l=5$代入得：
$S=π×3×5=15π$
【答案】
$15π$
【知识点】
1.圆锥侧面积公式
2.勾股定理
3.圆锥的结构特征
【点评】
本题是圆锥侧面积计算的常规基础题，解题关键是理清圆锥各量之间的对应关系，熟记侧面积公式，计算时注意不要混淆母线长和高的概念。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥侧面展开图的面积即圆锥侧面积，需先明确圆锥侧面积的计算公式为$S_{侧}=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）。题目已知底面半径$r=3$，高$h=4$，圆锥的母线、底面半径、高恰好构成直角三角形，母线为斜边，因此先通过勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式即可得解。
【解析】
第一步：求圆锥的母线长$l$
圆锥的底面半径、高、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
第二步：计算圆锥侧面展开图的面积（侧面积）
圆锥侧面积公式为$S=π rl$，将$r=3$，$l=5$代入得：
$S=π×3×5=15π$
【答案】
$15π$
【知识点】
1.圆锥侧面积公式
2.勾股定理
3.圆锥的结构特征
【点评】
本题是圆锥侧面积计算的常规基础题，解题关键是理清圆锥各量之间的对应关系，熟记侧面积公式，计算时注意不要混淆母线长和高的概念。
【难度系数】
0.8
6.若圆锥的底面半径为3，侧面积为$36π$，则这个圆锥侧面展开图的圆心角的度数是
$90°$
。答案
6.$90°$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：第一步，先利用已知的底面半径和侧面积求出圆锥的母线长，因为圆锥侧面积公式包含底面半径、母线长两个量，已知其中两个即可求出第三个；第二步，结合圆锥侧面展开图是扇形的性质，利用扇形面积公式（或弧长公式），代入母线长、侧面积就能求出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $，侧面展开图的圆心角度数为$ n° $。
1. 求母线长$ l $：
根据圆锥侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}}=π rl $（$ r $为底面半径），已知$ r=3 $，$ S_{\mathrm{侧}}=36π $，代入得：
$ π × 3 × l = 36π $
两边同时约去$ π $，解得$ l=12 $。
2. 求圆心角$ n $：
圆锥侧面展开图为扇形，扇形面积公式为$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ l^2}{360} $，其面积与圆锥侧面积相等，代入$ S_{\mathrm{扇}}=36π $、$ l=12 $得：
$ \frac{nπ × 12^2}{360}=36π $
两边约去$ π $后化简：
$ \frac{144n}{360}=36 $
解得$ n=90 $。
【答案】
$ 90° $
【知识点】
圆锥侧面积公式；圆锥侧面展开图性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础题型，解题核心是明确圆锥各参数和其侧面展开扇形参数的对应关系，熟记相关公式即可顺利求解，是该考点的常考典型题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分两步思考：第一步，先利用已知的底面半径和侧面积求出圆锥的母线长，因为圆锥侧面积公式包含底面半径、母线长两个量，已知其中两个即可求出第三个；第二步，结合圆锥侧面展开图是扇形的性质，利用扇形面积公式（或弧长公式），代入母线长、侧面积就能求出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $，侧面展开图的圆心角度数为$ n° $。
1. 求母线长$ l $：
根据圆锥侧面积公式$ S_{\mathrm{侧}}=π rl $（$ r $为底面半径），已知$ r=3 $，$ S_{\mathrm{侧}}=36π $，代入得：
$ π × 3 × l = 36π $
两边同时约去$ π $，解得$ l=12 $。
2. 求圆心角$ n $：
圆锥侧面展开图为扇形，扇形面积公式为$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ l^2}{360} $，其面积与圆锥侧面积相等，代入$ S_{\mathrm{扇}}=36π $、$ l=12 $得：
$ \frac{nπ × 12^2}{360}=36π $
两边约去$ π $后化简：
$ \frac{144n}{360}=36 $
解得$ n=90 $。
【答案】
$ 90° $
【知识点】
圆锥侧面积公式；圆锥侧面展开图性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础题型，解题核心是明确圆锥各参数和其侧面展开扇形参数的对应关系，熟记相关公式即可顺利求解，是该考点的常考典型题。
【难度系数】
0.7
7. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是
$60π$
cm².答案
7.$60π$
解析
【分析】
要计算围成圆锥侧面的扇形面积，首先明确该扇形的面积与圆锥的侧面积相等。解题时先回忆圆锥侧面积的计算公式，公式需要用到圆锥底面半径和母线长两个量，题目已经直接给出这两个量，将数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 扇形纸片恰好围成圆锥的侧面，
∴ 扇形的面积等于圆锥的侧面积。
圆锥侧面积计算公式为 $ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，其中 $ r $ 为圆锥底面半径，$ l $ 为圆锥母线长。
由题意知 $ r=5\ \mathrm{cm} $，$ l=12\ \mathrm{cm} $，代入公式得：
$ S = π × 5 × 12 = 60π\ (\mathrm{cm}^2) $
【答案】
$ 60π $
【知识点】
1. 圆锥侧面积计算
2. 圆锥与侧面展开图的关系
【点评】
本题是基础类题目，重点考查圆锥侧面展开图和圆锥各参数的对应关系，解题关键是熟记圆锥侧面积公式，准确对应已知条件中的数值代入计算即可，注意不要混淆底面半径和母线长的概念。
【难度系数】
0.9
要计算围成圆锥侧面的扇形面积，首先明确该扇形的面积与圆锥的侧面积相等。解题时先回忆圆锥侧面积的计算公式，公式需要用到圆锥底面半径和母线长两个量，题目已经直接给出这两个量，将数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 扇形纸片恰好围成圆锥的侧面，
∴ 扇形的面积等于圆锥的侧面积。
圆锥侧面积计算公式为 $ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，其中 $ r $ 为圆锥底面半径，$ l $ 为圆锥母线长。
由题意知 $ r=5\ \mathrm{cm} $，$ l=12\ \mathrm{cm} $，代入公式得：
$ S = π × 5 × 12 = 60π\ (\mathrm{cm}^2) $
【答案】
$ 60π $
【知识点】
1. 圆锥侧面积计算
2. 圆锥与侧面展开图的关系
【点评】
本题是基础类题目，重点考查圆锥侧面展开图和圆锥各参数的对应关系，解题关键是熟记圆锥侧面积公式，准确对应已知条件中的数值代入计算即可，注意不要混淆底面半径和母线长的概念。
【难度系数】
0.9
8. 已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的一条直角边$AB=12\ \mathrm{cm}$，另一条直角边$BC=5\ \mathrm{cm}$，则以$AB$所在直线为轴旋转一周，所得到的圆锥的全面积是
$90π\ \mathrm{cm^2}$
.答案
8.$90π\ \mathrm{cm^2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确直角三角形绕直角边旋转得到的圆锥的各参数对应关系：以AB为轴旋转时，AB是圆锥的高，另一条直角边BC是圆锥的底面半径，斜边AC是圆锥的母线。解题步骤为：①用勾股定理求出斜边AC的长度（即母线长）；②分别计算圆锥的侧面积和底面积；③将侧面积与底面积相加得到全面积。
【解析】
由题意可知，将Rt△ABC以AB所在直线为轴旋转一周得到圆锥：
1. 确定圆锥各参数：
底面半径 $ r = BC = 5\ \mathrm{cm} $，圆锥的高 $ h = AB = 12\ \mathrm{cm} $
2. 求圆锥母线长 $ l $：
由勾股定理得，母线长 $ l = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{cm} $
3. 计算圆锥侧面积：
$ S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 5 × 13 = 65π\ \mathrm{cm^2} $
4. 计算圆锥底面积：
$ S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 5^2 = 25π\ \mathrm{cm^2} $
5. 计算全面积：
$ S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 65π + 25π = 90π\ \mathrm{cm^2} $
【答案】
$ 90π\ \mathrm{cm^2} $
【知识点】
勾股定理；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥面积计算的常规题型，解题核心是准确匹配旋转后圆锥的底面半径、母线长与原直角三角形边长的对应关系，熟练掌握圆锥侧面积、全面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确直角三角形绕直角边旋转得到的圆锥的各参数对应关系：以AB为轴旋转时，AB是圆锥的高，另一条直角边BC是圆锥的底面半径，斜边AC是圆锥的母线。解题步骤为：①用勾股定理求出斜边AC的长度（即母线长）；②分别计算圆锥的侧面积和底面积；③将侧面积与底面积相加得到全面积。
【解析】
由题意可知，将Rt△ABC以AB所在直线为轴旋转一周得到圆锥：
1. 确定圆锥各参数：
底面半径 $ r = BC = 5\ \mathrm{cm} $，圆锥的高 $ h = AB = 12\ \mathrm{cm} $
2. 求圆锥母线长 $ l $：
由勾股定理得，母线长 $ l = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{cm} $
3. 计算圆锥侧面积：
$ S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 5 × 13 = 65π\ \mathrm{cm^2} $
4. 计算圆锥底面积：
$ S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 5^2 = 25π\ \mathrm{cm^2} $
5. 计算全面积：
$ S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底}} = 65π + 25π = 90π\ \mathrm{cm^2} $
【答案】
$ 90π\ \mathrm{cm^2} $
【知识点】
勾股定理；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥面积计算的常规题型，解题核心是准确匹配旋转后圆锥的底面半径、母线长与原直角三角形边长的对应关系，熟练掌握圆锥侧面积、全面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9.(教材变式)如图,在矩形纸片ABCD中,AD=12 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,可分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,且恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则该圆锥的全面积为
$20π$
cm²(结果保留π).答案
9.$20π$
【解析】设$AB=BF=x\ \mathrm{cm}$,则$FC=(12-x)\mathrm{cm}$.根据题意,得$\frac{90π · x}{180}=π(12-x)$,解得$x=8$,
$\therefore AB=BF=8\ \mathrm{cm},\therefore FC=4\ \mathrm{cm},\therefore S_\mathrm{全}=S_\mathrm{侧}+S_\mathrm{底}=$$\frac{1}{4}×π×8^2+π×(4÷2)^2=20π(\mathrm{cm^2}).$
【解析】设$AB=BF=x\ \mathrm{cm}$,则$FC=(12-x)\mathrm{cm}$.根据题意,得$\frac{90π · x}{180}=π(12-x)$,解得$x=8$,
$\therefore AB=BF=8\ \mathrm{cm},\therefore FC=4\ \mathrm{cm},\therefore S_\mathrm{全}=S_\mathrm{侧}+S_\mathrm{底}=$$\frac{1}{4}×π×8^2+π×(4÷2)^2=20π(\mathrm{cm^2}).$
解析
【分析】
解题的核心是利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先设正方形ABFE的边长为x cm，可表示出扇形ABF的弧长、右侧矩形EFCD中最大圆的周长，根据二者相等列方程求出x的值，再分别计算扇形面积（圆锥侧面积）和小圆面积（圆锥底面积），求和即可得到圆锥的全面积。
【解析】
设$AB=BF=x\ \mathrm{cm}$，则$FC=AD-BF=(12-x)\mathrm{cm}$。
∵ 扇形ABF为圆锥的侧面，矩形EFCD内最大的圆为圆锥的底面，
∴ 扇形ABF的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此列方程：
$\frac{90π · x}{180}=π(12-x)$
化简得：$\frac{1}{2}π x=π(12-x)$，约去$π$后解得$x=8$。
∴ $AB=BF=8\ \mathrm{cm}$，$FC=12-8=4\ \mathrm{cm}$，即底面圆的半径为$4÷2=2\ \mathrm{cm}$。
圆锥的全面积为侧面积加底面积：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=\frac{1}{4}×π×8^2+π×2^2=16π+4π=20π(\mathrm{cm^2})$
【答案】
$20π$
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、面积计算
【点评】
本题是几何与方程结合的典型题，解题关键是抓住圆锥侧面展开图与底面圆的周长等量关系，考察了对图形性质的理解和方程思想的运用，综合性适中。
【难度系数】
0.6
解题的核心是利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先设正方形ABFE的边长为x cm，可表示出扇形ABF的弧长、右侧矩形EFCD中最大圆的周长，根据二者相等列方程求出x的值，再分别计算扇形面积（圆锥侧面积）和小圆面积（圆锥底面积），求和即可得到圆锥的全面积。
【解析】
设$AB=BF=x\ \mathrm{cm}$，则$FC=AD-BF=(12-x)\mathrm{cm}$。
∵ 扇形ABF为圆锥的侧面，矩形EFCD内最大的圆为圆锥的底面，
∴ 扇形ABF的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此列方程：
$\frac{90π · x}{180}=π(12-x)$
化简得：$\frac{1}{2}π x=π(12-x)$，约去$π$后解得$x=8$。
∴ $AB=BF=8\ \mathrm{cm}$，$FC=12-8=4\ \mathrm{cm}$，即底面圆的半径为$4÷2=2\ \mathrm{cm}$。
圆锥的全面积为侧面积加底面积：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=\frac{1}{4}×π×8^2+π×2^2=16π+4π=20π(\mathrm{cm^2})$
【答案】
$20π$
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、面积计算
【点评】
本题是几何与方程结合的典型题，解题关键是抓住圆锥侧面展开图与底面圆的周长等量关系，考察了对图形性质的理解和方程思想的运用，综合性适中。
【难度系数】
0.6
10.如右图，在△ABC中，AB=4，$AC=2\sqrt{2}$，∠B=30°，0°＜∠C＜90°。
(1)求点A到直线BC的距离及BC的长度.
(2)将△ABC绕线段BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积.
(1)求点A到直线BC的距离及BC的长度.
(2)将△ABC绕线段BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积.
答案
10. 解:(1)过点 A 作$AD ⊥ BC$于点 D,如图.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$∠ B=30°$,
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2,\therefore BD=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$CD=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-2^2}=2$,
$\therefore BC=BD+CD=2\sqrt{3}+2$.
故点 A 到直线 BC 的距离为 2,BC 的长度为$2\sqrt{3}$+2.
(2)根据题意知,所得几何体为两个圆锥的组合体,
$\therefore$该几何体的表面积为$π×2×4+π×2×2\sqrt{2}=(8+$$4\sqrt{2})π$.
解析
【分析】
(1)要求点A到直线BC的距离，可过点A作BC的垂线AD构造直角三角形。先利用Rt△ABD中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AD的长度，再通过勾股定理分别计算BD、CD的长度，二者相加即可得到BC的长。(2)△ABC绕BC旋转一周得到的是两个底面半径均为AD、母线长分别为AB和AC的同底圆锥组合体，其表面积为两个圆锥侧面积的和，代入圆锥侧面积公式计算即可。
【解析】
(1) 过点A作$AD ⊥ BC$于点D，如图。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，$AB=4$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=2\sqrt{2}$，$AD=2$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-2^2}=\sqrt{8-4}=2$，
$\therefore BC=BD+CD=2\sqrt{3}+2$。
(2) 将$△ ABC$绕BC所在直线旋转一周，所得几何体是两个底面重合的圆锥的组合体，两个圆锥的底面半径均为$AD=2$，母线长分别为$AB=4$、$AC=2\sqrt{2}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（r为底面半径，l为母线长），该几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和：
$S=π × 2 × 4 + π × 2 × 2\sqrt{2}=(8+4\sqrt{2})π$。
【答案】
(1) 点A到直线BC的距离为2，BC的长度为$2\sqrt{3}+2$；
(2) 所得几何体的表面积为$(8+4\sqrt{2})π$。
【知识点】
直角三角形的性质，勾股定理，圆锥侧面积计算
【点评】
本题是解直角三角形与旋转体表面积的综合应用题，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形，准确判断旋转后所得几何体的形状，注意该组合体的表面积仅为两个圆锥侧面积之和，无需额外计算底面面积。
【难度系数】
0.7
(1)要求点A到直线BC的距离，可过点A作BC的垂线AD构造直角三角形。先利用Rt△ABD中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AD的长度，再通过勾股定理分别计算BD、CD的长度，二者相加即可得到BC的长。(2)△ABC绕BC旋转一周得到的是两个底面半径均为AD、母线长分别为AB和AC的同底圆锥组合体，其表面积为两个圆锥侧面积的和，代入圆锥侧面积公式计算即可。
【解析】
(1) 过点A作$AD ⊥ BC$于点D，如图。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，$AB=4$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=2\sqrt{2}$，$AD=2$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-2^2}=\sqrt{8-4}=2$，
$\therefore BC=BD+CD=2\sqrt{3}+2$。
(2) 将$△ ABC$绕BC所在直线旋转一周，所得几何体是两个底面重合的圆锥的组合体，两个圆锥的底面半径均为$AD=2$，母线长分别为$AB=4$、$AC=2\sqrt{2}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（r为底面半径，l为母线长），该几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和：
$S=π × 2 × 4 + π × 2 × 2\sqrt{2}=(8+4\sqrt{2})π$。
【答案】
(1) 点A到直线BC的距离为2，BC的长度为$2\sqrt{3}+2$；
(2) 所得几何体的表面积为$(8+4\sqrt{2})π$。
【知识点】
直角三角形的性质，勾股定理，圆锥侧面积计算
【点评】
本题是解直角三角形与旋转体表面积的综合应用题，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形，准确判断旋转后所得几何体的形状，注意该组合体的表面积仅为两个圆锥侧面积之和，无需额外计算底面面积。
【难度系数】
0.7
11.应用意识 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图①),它底面圆的直径ED与母线AD的长度之比为1:2.制作这种外包装需要用如图②所示的等腰三角形材料,其中$AB=AC$,$AD⊥BC$.将扇形$AEF$围成圆锥时,$AE$,$AF$恰好重合.
(1)求这种加工材料的顶角$∠BAC$的度数.
(2)若圆锥的底面圆的直径$ED$为5 cm,求加工材料剩余部分(图②中阴影部分)的面积.
(1)求这种加工材料的顶角$∠BAC$的度数.
(2)若圆锥的底面圆的直径$ED$为5 cm,求加工材料剩余部分(图②中阴影部分)的面积.
答案
11. 解:(1)设$∠ BAC=n°$.由题意可知,圆锥的底面圆的周长等于$\overset{\frown}{EF}$的长,即$π· ED=\frac{nπ· AD}{180}$.
$\because ED$与$AD$的长度之比为$1:2$,
$\therefore n=90,\therefore ∠ BAC=90°$.
(2)$\because ED=5\ \mathrm{cm},∠ BAC=90°,AB=AC,AD⊥ BC$,$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{2}$,
$\therefore AD=CD=BD=10\ \mathrm{cm},\therefore BC=20\ \mathrm{cm}$.
由题意,得$S_\mathrm{阴影}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}BC· AD-$$\frac{90π· AD^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm^2}$,
$\therefore$加工材料剩余部分的面积为$(100-25π)\mathrm{cm^2}$.
$\because ED$与$AD$的长度之比为$1:2$,
$\therefore n=90,\therefore ∠ BAC=90°$.
(2)$\because ED=5\ \mathrm{cm},∠ BAC=90°,AB=AC,AD⊥ BC$,$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{2}$,
$\therefore AD=CD=BD=10\ \mathrm{cm},\therefore BC=20\ \mathrm{cm}$.
由题意,得$S_\mathrm{阴影}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}BC· AD-$$\frac{90π· AD^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm^2}$,
$\therefore$加工材料剩余部分的面积为$(100-25π)\mathrm{cm^2}$.
解析
【分析】
（1）求顶角∠BAC的度数时，首先要明确圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长这一核心等量关系。已知ED与AD的长度比为1:2，设∠BAC为n°，结合弧长公式列等式即可求出n的值。
（2）阴影部分的面积等于等腰△ABC的面积减去扇形AEF的面积。先根据ED的长度求出AD的长度，再结合∠BAC=90°、AD⊥BC的条件求出△ABC的底和高，分别计算三角形和扇形的面积后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 设$∠ BAC=n°$。
根据圆锥的性质，圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，因此可得：
$π· ED=\frac{nπ· AD}{180}$
已知$ED:AD=1:2$，即$AD=2ED$，代入上式得：
$π· ED=\frac{nπ· 2ED}{180}$
两边同时约去$π· ED$，解得$n=90$，即$∠ BAC=90°$。
(2) 已知$ED=5\ \mathrm{cm}$，由$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{2}$可得$AD=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
因为$AB=AC$，$AD⊥ BC$，$∠ BAC=90°$，所以$∠ B=∠ C=45°$，因此$BD=AD=CD=10\ \mathrm{cm}$，则$BC=BD+CD=20\ \mathrm{cm}$。
阴影部分面积为三角形面积减去扇形面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}$
其中$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×20×10=100\ \mathrm{cm^2}$
$S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{90π× AD^2}{360}=\frac{90π×10^2}{360}=25π\ \mathrm{cm^2}$
因此$S_{\mathrm{阴影}}=(100-25π)\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
(1) $∠ BAC=90°$
(2) 加工材料剩余部分的面积为$(100-25π)\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算公式、扇形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了圆锥与侧面展开图的对应关系，以及弧长、面积公式的综合运用，解题的关键是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长”这一等量关系，是几何应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
（1）求顶角∠BAC的度数时，首先要明确圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长这一核心等量关系。已知ED与AD的长度比为1:2，设∠BAC为n°，结合弧长公式列等式即可求出n的值。
（2）阴影部分的面积等于等腰△ABC的面积减去扇形AEF的面积。先根据ED的长度求出AD的长度，再结合∠BAC=90°、AD⊥BC的条件求出△ABC的底和高，分别计算三角形和扇形的面积后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 设$∠ BAC=n°$。
根据圆锥的性质，圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，因此可得：
$π· ED=\frac{nπ· AD}{180}$
已知$ED:AD=1:2$，即$AD=2ED$，代入上式得：
$π· ED=\frac{nπ· 2ED}{180}$
两边同时约去$π· ED$，解得$n=90$，即$∠ BAC=90°$。
(2) 已知$ED=5\ \mathrm{cm}$，由$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{2}$可得$AD=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
因为$AB=AC$，$AD⊥ BC$，$∠ BAC=90°$，所以$∠ B=∠ C=45°$，因此$BD=AD=CD=10\ \mathrm{cm}$，则$BC=BD+CD=20\ \mathrm{cm}$。
阴影部分面积为三角形面积减去扇形面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}$
其中$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×20×10=100\ \mathrm{cm^2}$
$S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{90π× AD^2}{360}=\frac{90π×10^2}{360}=25π\ \mathrm{cm^2}$
因此$S_{\mathrm{阴影}}=(100-25π)\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
(1) $∠ BAC=90°$
(2) 加工材料剩余部分的面积为$(100-25π)\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算公式、扇形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了圆锥与侧面展开图的对应关系，以及弧长、面积公式的综合运用，解题的关键是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长”这一等量关系，是几何应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
