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1. (2024·南通期末)已知抛物线$y=(x - 2a)(x - 2)$。
(1)求抛物线的对称轴；(用含$a$的代数式表示)
(2)若点$M(a + 4,m)$，$N(a + 2,n)$在该抛物线上，试比较$m$，$n$的大小；
(3)已知点$A(-1,0)$，$B(4,0)$，若该抛物线与线段$AB$只有一个公共点，求$a$的取值范围。
(1)求抛物线的对称轴；(用含$a$的代数式表示)
(2)若点$M(a + 4,m)$，$N(a + 2,n)$在该抛物线上，试比较$m$，$n$的大小；
(3)已知点$A(-1,0)$，$B(4,0)$，若该抛物线与线段$AB$只有一个公共点，求$a$的取值范围。
答案
1.解:(1)
∵y=(x−2a)(x−2),
∴抛物线与x轴的交点坐标为(2a,0),(2,0),
∴对称轴为直线x=$\frac{2a+2}{2}$=a+1.
(2)
∵抛物线y=(x−2a)(x−2)的开口向上,对称轴为直线x=a+1,
∴当x＞a+1时,y随x的增大而增大,
∵点M(a+4,m),N(a+2,n)在该抛物线上,且a+1＜a+2＜a+4,
∴m＞n.
(3)
∵y=(x−2a)(x−2),
∴抛物线与x轴的交点坐标为(2a,0),(2,0),
∴点(2,0)在线段AB上，
∴点(2a,0)不在线段AB上或点(2a,0)与点(2,0)重合，
∴2a＜−1或2a＞4或2a=2,解得a＜−$\frac{1}{2}$或a＞2或a=1.
∵y=(x−2a)(x−2),
∴抛物线与x轴的交点坐标为(2a,0),(2,0),
∴对称轴为直线x=$\frac{2a+2}{2}$=a+1.
(2)
∵抛物线y=(x−2a)(x−2)的开口向上,对称轴为直线x=a+1,
∴当x＞a+1时,y随x的增大而增大,
∵点M(a+4,m),N(a+2,n)在该抛物线上,且a+1＜a+2＜a+4,
∴m＞n.
(3)
∵y=(x−2a)(x−2),
∴抛物线与x轴的交点坐标为(2a,0),(2,0),
∴点(2,0)在线段AB上，
∴点(2a,0)不在线段AB上或点(2a,0)与点(2,0)重合，
∴2a＜−1或2a＞4或2a=2,解得a＜−$\frac{1}{2}$或a＞2或a=1.
2. (2024·绥化)二次函数$y = ax^2 + bx + c$的部分图像如图所示，对称轴为直线$x = -1$，有下列结论：①$\frac{b}{c} ＞ 0$；②$am^2 + bm ≤ a - b$($m$为任意实数)；③$3a + c ＜ 1$；④若$M(x_1,y)$，$N(x_2,y)$是抛物线上不同的两个点，则$x_1 + x_2 ≤ -3$。其中正确的结论有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
B
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
2.B
解析
解：①由图像开口向下得$a＜0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$，则$b=2a＜0$，抛物线与y轴交于正半轴得$c＞0$，$\frac{b}{c}＜0$，①错误；
②$am^2+bm+c ≤ a-b+c$（当$m=-1$时取等号），即$am^2+bm ≤ a-b$，②正确；
③抛物线过$(0,3)$，则$c=3$，$b=2a$，过$(1,0)$，$a+b+3=0$，$a+2a+3=0$，$a=-1$，$3a+c=0$，$0＜1$，③正确；
④$M(x_1,y)$，$N(x_2,y)$关于$x=-1$对称，$x_1+x_2=-2$，④错误。
正确结论为②③，共2个。
答案：B
②$am^2+bm+c ≤ a-b+c$（当$m=-1$时取等号），即$am^2+bm ≤ a-b$，②正确；
③抛物线过$(0,3)$，则$c=3$，$b=2a$，过$(1,0)$，$a+b+3=0$，$a+2a+3=0$，$a=-1$，$3a+c=0$，$0＜1$，③正确；
④$M(x_1,y)$，$N(x_2,y)$关于$x=-1$对称，$x_1+x_2=-2$，④错误。
正确结论为②③，共2个。
答案：B
3. 如图所示的抛物线是二次函数$y = ax^2 - (a^2 - 1)x + 1$的图像，那么$a$的值是
−1
。答案
3.−1
解析
解：由图像可知抛物线开口向下，所以$a ＜ 0$。
抛物线与$x$轴有两个交点，且关于$y$轴对称，所以对称轴为$x = 0$。
二次函数对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，其中$b = -(a^2 - 1)$，则：
$-\frac{-(a^2 - 1)}{2a} = 0$
$\frac{a^2 - 1}{2a} = 0$
因为$a ≠ 0$，所以$a^2 - 1 = 0$，解得$a = 1$或$a = -1$。
又因为$a ＜ 0$，所以$a = -1$。
$-1$
抛物线与$x$轴有两个交点，且关于$y$轴对称，所以对称轴为$x = 0$。
二次函数对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，其中$b = -(a^2 - 1)$，则：
$-\frac{-(a^2 - 1)}{2a} = 0$
$\frac{a^2 - 1}{2a} = 0$
因为$a ≠ 0$，所以$a^2 - 1 = 0$，解得$a = 1$或$a = -1$。
又因为$a ＜ 0$，所以$a = -1$。
$-1$
4. 如图，抛物线$y = ax^2 + bx + c(a ＞ 0)$的对称轴是过点$(1,0)$且平行于$y$轴的直线，若点$P(5,0)$在抛物线上，则$9a - 3b + c$的值是
0
。答案
4.0
解析
解：
∵抛物线对称轴为直线$x=1$，点$P(5,0)$在抛物线上，
∴点$P(5,0)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(-3,0)$，
将$(-3,0)$代入$y=ax^2 + bx + c$，得$a(-3)^2 + b(-3) + c = 0$，
即$9a - 3b + c = 0$。
0
∵抛物线对称轴为直线$x=1$，点$P(5,0)$在抛物线上，
∴点$P(5,0)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(-3,0)$，
将$(-3,0)$代入$y=ax^2 + bx + c$，得$a(-3)^2 + b(-3) + c = 0$，
即$9a - 3b + c = 0$。
0
5. (2024·鼓楼区二模)二次函数$y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)$的图像如图所示，且关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c - m = 0$没有实数根，有下列结论：①$b^2 - 4ac ＞ 0$；②$abc ＜ 0$；③$m ＜ -4$；④$3a + b ＞ 0$。其中正确结论的序号是
①④
。答案
5.①④
解析
解：①由图像知二次函数与x轴有两个交点，故$b^2 - 4ac ＞ 0$，①正确；
②抛物线开口向上，$a ＞ 0$；对称轴$x = 1$，即$-\frac{b}{2a} = 1$，得$b = -2a ＜ 0$；与y轴交于负半轴，$c ＜ 0$，则$abc = a(-2a)c = -2a^2c$，$a^2 ＞ 0$，$c ＜ 0$，所以$-2a^2c ＞ 0$，即$abc ＞ 0$，②错误；
③方程$ax^2 + bx + c - m = 0$无实根，即$ax^2 + bx + c = m$无实根，抛物线顶点纵坐标为$-3$，则$m ＜ -3$，③错误；
④对称轴$x = 1$，$b = -2a$，$3a + b = 3a - 2a = a ＞ 0$，④正确。
综上，正确结论的序号是①④。
②抛物线开口向上，$a ＞ 0$；对称轴$x = 1$，即$-\frac{b}{2a} = 1$，得$b = -2a ＜ 0$；与y轴交于负半轴，$c ＜ 0$，则$abc = a(-2a)c = -2a^2c$，$a^2 ＞ 0$，$c ＜ 0$，所以$-2a^2c ＞ 0$，即$abc ＞ 0$，②错误；
③方程$ax^2 + bx + c - m = 0$无实根，即$ax^2 + bx + c = m$无实根，抛物线顶点纵坐标为$-3$，则$m ＜ -3$，③错误；
④对称轴$x = 1$，$b = -2a$，$3a + b = 3a - 2a = a ＞ 0$，④正确。
综上，正确结论的序号是①④。
