8. (2023·衡阳)已知 $ m ＞ n ＞ 0 $,若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+2x - 3 - m = 0 $ 的解为 $ x_{1},x_{2}(x_{1} ＜ x_{2}) $,关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+2x - 3 - n = 0 $ 的解为 $ x_{3},x_{4}(x_{3} ＜ x_{4}) $,则下列结论正确的是 ()

A.$ x_{3} ＜ x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{4} $
B.$ x_{1} ＜ x_{3} ＜ x_{4} ＜ x_{2} $
C.$ x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{3} ＜ x_{4} $
D.$ x_{3} ＜ x_{4} ＜ x_{1} ＜ x_{2} $

8. B

对于方程$x^{2}+2x - 3 - m = 0$，由求根公式可得$x=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 4(3 + m)}}{2}=-1\pm\sqrt{4 + m}$，因为$x_{1}＜x_{2}$，所以$x_{1}=-1 - \sqrt{4 + m}$，$x_{2}=-1 + \sqrt{4 + m}$。
对于方程$x^{2}+2x - 3 - n = 0$，同理可得$x=-1\pm\sqrt{4 + n}$，因为$x_{3}＜x_{4}$，所以$x_{3}=-1 - \sqrt{4 + n}$，$x_{4}=-1 + \sqrt{4 + n}$。
因为$m＞n＞0$，所以$\sqrt{4 + m}＞\sqrt{4 + n}＞0$。
则$-1 - \sqrt{4 + m}＜-1 - \sqrt{4 + n}$，即$x_{1}＜x_{3}$；$-1 + \sqrt{4 + n}＜-1 + \sqrt{4 + m}$，即$x_{4}＜x_{2}$。
综上可得$x_{1}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{2}$。
B

9. (2023·南京期末)如图是二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图像,则不等式 $ ax^{2}+bx + c ＜ 3 $ 的解集是.

9. $x＜0$或$x＞2$

解：由图像可知二次函数对称轴为直线$x=1$，与$y$轴交于点$(0,3)$。
因为二次函数图像关于对称轴对称，所以点$(0,3)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(2,3)$。
又因为抛物线开口向下，所以不等式$ax^{2}+bx + c ＜ 3$的解集是$x＜0$或$x＞2$。
$x＜0$或$x＞2$

10. 如图,二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a,b,c $ 为常数)的图像的顶点为 $ P(1,m) $,经过点 $ A(2,1) $,有以下结论:① $ a ＜ 0 $;② $ abc ＞ 0 $;③ $ 4a + 2b + c = 1 $;④ $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小;⑤对于任意实数 $ t $,总有 $ at^{2}+bt ≤ a + b $.其中正确的有.(填序号)

10. ①③④⑤

解：①
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$，正确；
②
∵对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，
∴$b=-2a＞0$，抛物线与$y$轴交于正半轴，$c＞0$，$abc＜0$，错误；
③
∵抛物线过点$A(2,1)$，
∴$4a + 2b + c=1$，正确；
④
∵对称轴$x=1$且开口向下，
∴$x＞1$时，$y$随$x$增大而减小，正确；
⑤
∵顶点$P(1,m)$为最大值点，
∴$at^2 + bt + c≤ a + b + c$，即$at^2 + bt≤ a + b$，正确。
综上，正确的有①③④⑤。

11. (2024·高邮三模)在平面直角坐标系中,设函数 $ y = ax^{2}+bx + 1(a,b $ 是常数,$ a ≠ 0) $.
(1)若点 $ (1,0) $ 和 $ (2,1) $ 在该函数的图像上,则函数图像的顶点坐标是;
(2)若点 $ (2,1) $ 在该函数的图像上,且该函数图像与 $ x $ 轴有两个不同的交点 $ A,B $(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左边),$ OB = 3OA $,则 $ a = $;
(3)已知 $ a = b = 1 $,当 $ x = m,x = n(m,n $ 是实数,$ m ≠ n) $ 时,该函数对应的函数值分别为 $ M,N $. 若 $ m + n = 1 $,求证:$ M + N ＞ \frac{7}{2} $.

11. (1)$(1,0)$ (2)$-\frac{1}{3}$或$\frac{4}{3}$
(3)证明：当$a=b=1$时，$y=x^{2}+x+1$，
$\because m+n=1$，$m ≠ n$，$\therefore n=1 - m$，$m ≠ \frac{1}{2}$。
$\because M=m^{2}+m+1$，$N=n^{2}+n+1=(1 - m)^{2}+(1 - m)+1$，$\therefore M + N=m^{2}+m+1+(1 - m)^{2}+(1 - m)+1=2m^{2}-2m + 4=2(m - \frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{2}$。
$\because m ≠ \frac{1}{2}$，$\therefore 2(m - \frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{2}＞\frac{7}{2}$，$\therefore M + N＞\frac{7}{2}$。

12. 二次函数 $ y = x^{2}+x $ 的图像如图所示.
(1)根据方程的根与函数图像之间的关系,将方程 $ x^{2}+x = 1 $ 的根在图上近似地表示出来(描点),并写出方程 $ x^{2}+x = 1 $ 的近似根;(结果精确到 $ 0.1 $)
(2)画出一次函数 $ y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} $ 的图像,自变量 $ x $ 取值在什么范围时,一次函数的值小于二次函数的值?
(3)如图,$ P $ 是平面直角坐标系内的一点,并在网格的格点上,请选择一种适当的平移方法,使平移后图像的顶点落在点 $ P $ 处,写出平移后图像的函数表达式,并判断点 $ P $ 是否在函数 $ y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} $ 的图像上,请说明理由.

12. 解：(1)$\because$令$y = 0$，得$x^{2}+x = 0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$，
$\therefore$抛物线与$x$轴的交点坐标为$(0,0)$，$(-1,0)$。
如答图，作直线$y = 1$，交抛物线于$A$，$B$两点，分别过$A$，$B$两点作$AC ⊥ x$轴，垂足为$C$，$BD ⊥ x$轴，垂足为$D$，点$C$和点$D$的横坐标即为方程$x^{2}+x = 1$的根。
根据图像，可知方程的根为$x_{1} \approx -1.6$，$x_{2} \approx 0.6$。

(2)$\because$将$x = 0$代入$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，得$y=\frac{3}{2}$，
将$x = 1$代入$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，得$y = 2$，
$\therefore$直线$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$经过点$(0,\frac{3}{2})$，$(1,2)$。
直线$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$如答图所示。
由函数图像可知，当$x ＜ -1.5$或$x ＞ 1$时，一次函数的值小于二次函数的值。
(3)先向上平移$\frac{5}{4}$个单位长度，再向左平移$\frac{1}{2}$个单位长度，平移后的图像的顶点坐标为$P(-1,1)$。平移后的图像的函数表达式为$y=(x + 1)^{2}+1$，即$y=x^{2}+2x + 2$。
点$P$在函数$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$的图像上。
理由：$\because$把$x = -1$代入$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，得$y = 1$，
$\therefore$点$P$在函数$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$的图像上。