1. (2024·如皋期末)如下表给出了二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 中 $ x,y $ 的一些对应值,则可以估计一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的一个近似解 $ x_{1} $ 的范围为 ()


A.$ 1.2 ＜ x_{1} ＜ 1.3 $
B.$ 1.3 ＜ x_{1} ＜ 1.4 $
C.$ 1.4 ＜ x_{1} ＜ 1.5 $
D.$ 1.5 ＜ x_{1} ＜ 1.6 $

1. C

解：由表格可知，当$x = 1.4$时，$y=-0.24$；当$x = 1.5$时，$y = 0.25$。
因为二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像是连续的曲线，且当$x = 1.4$时，$y＜0$；当$x = 1.5$时，$y＞0$，所以函数图像在$1.4 ＜ x ＜ 1.5$范围内与$x$轴有交点，即一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的一个近似解$x_{1}$的范围为$1.4 ＜ x_{1} ＜ 1.5$。
C

2. 如图,过点 $ (0,1) $ 且平行于 $ x $ 轴的直线与二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a ＞ 0) $ 的图像的交点坐标为 $ (1,1),(3,1) $,则不等式 $ ax^{2}+bx + c - 1 ＞ 0 $ 的解集为 ()

A.$ x ＞ 1 $
B.$ 1 ＜ x ＜ 3 $
C.$ x ＜ 1 $ 或 $ x ＞ 3 $
D.$ x ＞ 3 $

2. C

解：由题意知，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a ＞ 0)$的图像与直线$y=1$交于点$(1,1)$，$(3,1)$。
因为$a＞0$，抛物线开口向上，所以当$y＞1$时，$x＜1$或$x＞3$，即$ax^{2}+bx + c - 1 ＞ 0$的解集为$x＜1$或$x＞3$。
C

3. 若二次函数 $ y = x^{2}+bx - 5 $ 的图像的对称轴为直线 $ x = 2 $,则关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+bx - 5 = 2x - 13 $ 的解为.

3. $x_{1}=2$，$x_{2}=4$

解：因为二次函数$y = x^{2}+bx - 5$的对称轴为直线$x = 2$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=1$，所以$-\frac{b}{2×1}=2$，解得$b=-4$。
将$b=-4$代入方程$x^{2}+bx - 5 = 2x - 13$，得$x^{2}-4x - 5 = 2x - 13$，移项化简为$x^{2}-6x + 8 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - 4)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$。
$x_{1}=2$，$x_{2}=4$

4. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图像全都在 $ x $ 轴下方的条件是.

4. $a＜0$且$b^{2}-4ac＜0$

5. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图像如图所示,根据图像解答下列问题:
(1)写出方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的两个根;
(2)写出不等式 $ ax^{2}+bx + c ＞ 0 $ 的解集;
(3)写出 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小的自变量 $ x $ 的取值范围;
(4)若方程 $ ax^{2}+bx + c = k $ 有两个不相等的实数根,求 $ k $ 的取值范围.

5. 解：(1)$x_{1}=1$，$x_{2}=3$。(2)$1＜x＜3$。(3)$x＞2$。(4)$k＜2$。

6. (2023·常州模拟)在平面直角坐标系中,若点 $ P $ 的横坐标与纵坐标的和为零,则称点 $ P $ 为“零和点”.已知二次函数 $ y = x^{2}+3x + m $ 的图像上有且只有一个“零和点”,则 $ m $ 的值为 ()

A.$ \frac{9}{4} $
B.$ \frac{4}{9} $
C.$ 1 $
D.$ 4 $

6. D

设“零和点”$ P $的坐标为$ (a, -a) $。
因为点$ P $在二次函数$ y = x^{2}+3x + m $的图像上，所以$ -a = a^{2}+3a + m $，整理得$ a^{2}+4a + m = 0 $。
由于二次函数图像上有且只有一个“零和点”，所以方程$ a^{2}+4a + m = 0 $有两个相等的实数根，即判别式$ \Delta = 4^{2}-4×1× m = 0 $。
解得$ 16 - 4m = 0 $，$ m = 4 $。
D

7. (2024·鼓楼区期末)如图,抛物线 $ y = ax^{2}+c $ 与直线 $ y = kx + m $ 交于 $ A(-3,y_{1}) $, $ B(1,y_{2}) $ 两点,则关于 $ x $ 的不等式 $ ax^{2}+kx + c ≥ m $ 的解集是 ()

A.$ x ≤ -3 $ 或 $ x ≥ 1 $
B.$ x ≤ -1 $ 或 $ x ≥ 3 $
C.$ -3 ≤ x ≤ 1 $
D.$ -1 ≤ x ≤ 3 $

7. D

解：由题意，不等式$ax^{2}+kx + c ≥ m$可变形为$ax^{2}+c ≥ -kx + m$。
因为抛物线$y = ax^{2}+c$与直线$y = kx + m$交于$A(-3,y_{1})$，$B(1,y_{2})$两点，所以当$x=-3$时，$y_{1}=a(-3)^{2}+c=9a + c$，且$y_{1}=k(-3)+m=-3k + m$，即$9a + c=-3k + m$；当$x=1$时，$y_{2}=a(1)^{2}+c=a + c$，且$y_{2}=k(1)+m=k + m$，即$a + c=k + m$。
设$y_{3}=-kx + m$，则抛物线$y = ax^{2}+c$与直线$y_{3}=-kx + m$的交点，可通过联立方程$\begin{cases}y = ax^{2}+c\\y=-kx + m\end{cases}$求解。将$y=-kx + m$代入$y = ax^{2}+c$得$ax^{2}+c=-kx + m$，即$ax^{2}+kx + c - m=0$。
由韦达定理，对于方程$ax^{2}+kx + c - m=0$，两根之和$x_{1}+x_{2}=-\frac{k}{a}$，两根之积$x_{1}x_{2}=\frac{c - m}{a}$。
已知抛物线$y = ax^{2}+c$开口向下（由图像可知），即$a＜0$。
因为抛物线$y = ax^{2}+c$与直线$y = kx + m$交于$A(-3,y_{1})$，$B(1,y_{2})$，所以$9a + c=-3k + m$，$a + c=k + m$，两式相减得$8a=-4k$，即$k=-2a$。
将$k=-2a$代入$a + c=k + m$得$m=a + c - k=a + c + 2a=3a + c$。
则方程$ax^{2}+kx + c - m=0$可化为$ax^{2}-2ax + c-(3a + c)=0$，即$ax^{2}-2ax - 3a=0$，因为$a≠0$，两边同时除以$a$得$x^{2}-2x - 3=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。
又因为$a＜0$，抛物线$y = ax^{2}+c$开口向下，所以不等式$ax^{2}+c ≥ -kx + m$的解集为$-1 ≤ x ≤ 3$，即不等式$ax^{2}+kx + c ≥ m$的解集是$-1 ≤ x ≤ 3$。
答案：D