9. 已知函数 $ y = m x ^ { 2 } + 3 m x + m - 1 $ 的图像与坐标轴恰有两个公共点，则实数 $ m $ 的值为.

9. 1或$ - \frac{4}{5} $

解：分两种情况讨论：
情况一：函数为一次函数
当 $ m = 0 $ 时，函数化为 $ y = -1 $，与坐标轴只有一个公共点 $(0, -1)$，不符合题意，舍去。
情况二：函数为二次函数（$ m ≠ 0 $）
1. 图像过原点：此时常数项 $ m - 1 = 0 $，解得 $ m = 1 $。此时函数为 $ y = x^2 + 3x $，与坐标轴交于 $(0, 0)$ 和 $(-3, 0)$，共两个公共点，符合题意。
2. 图像与x轴只有一个交点且不过原点：判别式 $ \Delta = (3m)^2 - 4m(m - 1) = 0 $，即 $ 9m^2 - 4m^2 + 4m = 0 $，化简得 $ 5m^2 + 4m = 0 $，解得 $ m = -\frac{4}{5} $（$ m = 0 $ 已舍去）。此时函数与坐标轴交于 $(0, -\frac{9}{5})$ 和唯一x轴交点，共两个公共点，符合题意。
综上，$ m = 1 $ 或 $ m = -\frac{4}{5} $。
1或$-\frac{4}{5}$

10. (2023·巴中)规定：如果两个函数的图像关于 $ y $ 轴对称，那么称这两个函数互为“$ Y $ 函数”. 例如：函数 $ y = x + 3 $ 与 $ y = - x + 3 $ 互为“$ Y $ 函数”. 若函数 $ y = \frac { k } { 4 } x ^ { 2 } + ( k - 1 ) x + k - 3 $ 的图像与 $ x $ 轴只有一个交点，则它的“$ Y $ 函数”图像与 $ x $ 轴的交点坐标为.

10. $(3,0)$或$(4,0)$

当函数为一次函数时，$\frac{k}{4}=0$，即$k=0$，函数为$y=-x - 3$，其“$Y$函数”为$y=x - 3$，与$x$轴交点为$(3,0)$；当函数为二次函数时，$\frac{k}{4}≠0$，即$k≠0$，由$\Delta=(k - 1)^2 - 4×\frac{k}{4}×(k - 3)=0$，解得$k=4$，函数为$y=x^2 + 3x + 1$，其“$Y$函数”为$y=x^2 - 3x + 1$，与$x$轴交点为$(4,0)$。
$(3,0)$或$(4,0)$

11. (2023·吴中区期中)已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 m x + m ^ { 2 } - m + 1 $.
(1) 求此二次函数图像的对称轴；（用含 $ m $ 的字母表示）
(2) 若二次函数的图像与 $ x $ 轴有两个不同的交点，求 $ m $ 的取值范围；
(3) 选取一个你喜欢的 $ m $ 的值，求此二次函数图像与 $ x $ 轴的交点坐标.

11. 解：(1)抛物线的对称轴为直线$ x = - \frac{ - 2m}{2} = m $。
(2)由题意，得$( - 2m)^{2} - 4(m^{2} - m + 1) ＞ 0 $，解得$ m ＞ 1 $。
(3)答案不唯一。当$ m = 5 $时，$ y = x^{2} - 10x + 21 $，令$ y = 0 $，
即$ x^{2} - 10x + 21 = 0 $，解得$ x_{1} = 3 $，$ x_{2} = 7 $。即二次函数图
像与$ x $轴的交点坐标为$(3,0)$和$(7,0)$。

12. 已知二次函数 $ y = 2 ( x - 1 ) ( x - m - 3 ) $（$ m $ 为常数）.
(1) 求证：不论 $ m $ 为何值，该函数的图像与 $ x $ 轴总有公共点；
(2) 当 $ m $ 取什么值时，该函数的图像与 $ y $ 轴的交点在 $ x $ 轴的上方？

12. (1)证明：当$ y = 0 $时，$ 2(x - 1)(x - m - 3) = 0 $，
解得$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = m + 3 $。
所以，不论$ m $为何值，该函数的图像与$ x $轴总有公共点。
(2)解：当$ x = 0 $时，$ y = 2m + 6 $，即该函数的图像与$ y $轴交
点的纵坐标是$ 2m + 6 $。
当$ 2m + 6 ＞ 0 $，即$ m ＞ - 3 $时，该函数的图像与$ y $轴的交
点在$ x $轴的上方。

13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ m x ^ { 2 } + ( 1 - 5 m ) x - 5 = 0 $.
(1) 求证：无论 $ m $ 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2) 若抛物线 $ y = m x ^ { 2 } + ( 1 - 5 m ) x - 5 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A ( x _ { 1 }, 0 ) $，$ B ( x _ { 2 }, 0 ) $ 两点，且 $ | x _ { 1 } - x _ { 2 } | = 6 $，求 $ m $ 的值；
(3) 若 $ m ＞ 0 $，点 $ P ( a, b ) $ 与 $ Q ( a + n, b ) $ 在(2)中的抛物线上（点 $ P $，$ Q $ 不重合），求代数式 $ 4 a ^ { 2 } - n ^ { 2 } + 8 n $ 的值.

13. (1)证明：由题意，得$ b^{2} - 4ac = (1 - 5m)^{2} - 4m × ( - 5) = $
$ 1 + 25m^{2} - 10m + 20m = 25m^{2} + 10m + 1 = (5m + 1)^{2} ≥ 0 $，
$ \therefore $无论$ m $为任何非零实数，此方程总有两个实数根。
(2)解：令$ mx^{2} + (1 - 5m)x - 5 = 0 $，
则$(x - 5)(mx + 1) = 0 $，
解得$ x_{1} = - \frac{1}{m} $，$ x_{2} = 5 $，由$ |x_{1} - x_{2}| = 6 $，
得$ | - \frac{1}{m} - 5| = 6 $，解得$ m = 1 $或$ m = - \frac{1}{11} $。
(3)解：由(2)得当$ m ＞ 0 $时，$ m = 1 $，
此时抛物线的函数表达式为$ y = x^{2} - 4x - 5 $，其对称轴为
直线$ x = 2 $。
由题意可知，点$ P $，$ Q $关于直线$ x = 2 $对称，
$ \therefore \frac{a + a + n}{2} = 2 $，即$ 2a = 4 - n $，
$ \therefore 4a^{2} - n^{2} + 8n = (4 - n)^{2} - n^{2} + 8n = 16 $。