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6. (2023·鼓楼区期末)一次函数$y = ax - 1$与二次函数$y = ax^2 - x$在同一平面直角坐标系中的图像可能是(
C
)答案
6.C
7. 二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像如图所示，则一次函数$y = ax + b$与反比例函数$y = \frac{c}{x}$在同一平面直角坐标系中的图像可能是(
D
)答案
7.D
解析
解：由二次函数图像开口向上，得$a＞0$；
对称轴在$y$轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，又$a＞0$，则$b＜0$；
图像与$y$轴交于正半轴，得$c＞0$。
一次函数$y=ax+b$，$a＞0$，$b＜0$，图像经过第一、三、四象限；
反比例函数$y=\frac{c}{x}$，$c＞0$，图像在第一、三象限。
综上，图像可能是D。
D
对称轴在$y$轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，又$a＞0$，则$b＜0$；
图像与$y$轴交于正半轴，得$c＞0$。
一次函数$y=ax+b$，$a＞0$，$b＜0$，图像经过第一、三、四象限；
反比例函数$y=\frac{c}{x}$，$c＞0$，图像在第一、三象限。
综上，图像可能是D。
D
8. (2024·天宁区模拟)如图，直线$y = kx + h$与抛物线$y = ax^2 + bx + c$交于$A(-1,m)$，$B(5,n)$两点，则关于$x$的不等式$ax^2 + (b - k)x + c ＞ h$的解集是
−1＜x＜5
。答案
8.−1＜x＜5
解析
解：
∵直线$y = kx + h$与抛物线$y = ax^2 + bx + c$交于$A(-1,m)$，$B(5,n)$两点，
∴当$x=-1$或$x=5$时，$ax^2 + bx + c=kx + h$，即$ax^2 + (b - k)x + c - h=0$。
由抛物线开口向下及图像可知，当$-1＜x＜5$时，抛物线在直线上方，
∴$ax^2 + bx + c＞kx + h$，即$ax^2 + (b - k)x + c＞h$。
故不等式$ax^2 + (b - k)x + c＞h$的解集是$-1＜x＜5$。
$-1＜x＜5$
∵直线$y = kx + h$与抛物线$y = ax^2 + bx + c$交于$A(-1,m)$，$B(5,n)$两点，
∴当$x=-1$或$x=5$时，$ax^2 + bx + c=kx + h$，即$ax^2 + (b - k)x + c - h=0$。
由抛物线开口向下及图像可知，当$-1＜x＜5$时，抛物线在直线上方，
∴$ax^2 + bx + c＞kx + h$，即$ax^2 + (b - k)x + c＞h$。
故不等式$ax^2 + (b - k)x + c＞h$的解集是$-1＜x＜5$。
$-1＜x＜5$
9. 在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^2 + bx + c$的部分图像如图所示，直线$x = 1$是它的对称轴。若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的一个根$x_1$的取值范围是$2 ＜ x_1 ＜ 3$，则它的另一个根$x_2$的取值范围是
−1＜x₂＜0
。答案
9.−1＜x₂＜0
解析
解：
∵抛物线$y = ax^2 + bx + c$的对称轴为直线$x = 1$，
∴由抛物线的对称性可知，一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根$x_1$，$x_2$满足$\frac{x_1 + x_2}{2}=1$，即$x_1 + x_2 = 2$。
∵$2 ＜ x_1 ＜ 3$，
∴$2 - 3 ＜ x_2 ＜ 2 - 2$，
即$-1 ＜ x_2 ＜ 0$。
$-1 ＜ x_2 ＜ 0$
∵抛物线$y = ax^2 + bx + c$的对称轴为直线$x = 1$，
∴由抛物线的对称性可知，一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根$x_1$，$x_2$满足$\frac{x_1 + x_2}{2}=1$，即$x_1 + x_2 = 2$。
∵$2 ＜ x_1 ＜ 3$，
∴$2 - 3 ＜ x_2 ＜ 2 - 2$，
即$-1 ＜ x_2 ＜ 0$。
$-1 ＜ x_2 ＜ 0$
10. (2024·宿城区期末)已知直线$y_1 = ax - 4a$经过抛物线$y_2 = bx^2 - 4bx$的顶点，且当$x ＜ 0$时，$y_1 ＞ y_2$，则当$y_1 ＜ y_2$时，$x$的取值范围是
2＜r＜4
。答案
10.2＜r＜4
11. 已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过$A$，$B$，$C$三点，当$x ≥ 0$时，其图像如图所示。
(1)求抛物线的函数表达式，并写出抛物线的顶点坐标；
(2)画出抛物线$y = ax^2 + bx + c$当$x ＜ 0$时的图像；
(3)结合图像，写出当$x$为何值时，$y ＞ 0$。
(1)求抛物线的函数表达式，并写出抛物线的顶点坐标；
(2)画出抛物线$y = ax^2 + bx + c$当$x ＜ 0$时的图像；
(3)结合图像，写出当$x$为何值时，$y ＞ 0$。
答案
11.解:(1)由图像可知,点A(0,2),B(4,0),C(5,−3)在抛物线上,代入y=ax²+bx+c,
得$\begin{cases}2=c, \\0=16a+4b+c, \\-3=25a+5b+c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}, \\b=\frac{3}{2}, \\c=2,\end{cases}$
所以抛物线的函数表达式为y=−$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2,顶点坐标为($\frac{3}{2}$,$\frac{25}{8}$).
(2)所画图像如答图所示.
(3)由答图可知,当−1＜x＜4时,y＞0.
