1. (2024·西湖区期中)将抛物线 $ y = -(x - 3)^2 + 2 $ 进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是()

A.向上平移 3 个单位长度
B.向下平移 2 个单位长度
C.向左平移 2 个单位长度
D.向右平移 3 个单位长度

1.B

原抛物线顶点为$(3,2)$。
选项A：向上平移3个单位，顶点为$(3,5)$，不在坐标轴上。
选项B：向下平移2个单位，顶点为$(3,0)$，在$x$轴上。
选项C：向左平移2个单位，顶点为$(1,2)$，不在坐标轴上。
选项D：向右平移3个单位，顶点为$(6,2)$，不在坐标轴上。
B

2. (2023·宜兴模拟)已知二次函数 $ y = (x - 1)(x - a) $($ a $ 为常数)的图像对称轴为直线 $ x = 2 $，将该二次函数的图像沿 $ y $ 轴向下平移 $ k $ 个单位长度，使其经过点 $ (0,-1) $，则 $ k $ 的值为()

A.3
B.4
C.2
D.6

2.B

二次函数$y=(x - 1)(x - a)$展开得$y=x^{2}-(a + 1)x + a$，其对称轴为$x=-\frac{-(a + 1)}{2}=\frac{a + 1}{2}$。
已知对称轴为直线$x = 2$，则$\frac{a + 1}{2}=2$，解得$a=3$，所以原二次函数为$y=(x - 1)(x - 3)=x^{2}-4x + 3$。
将图像沿$y$轴向下平移$k$个单位长度，得到的新函数解析式为$y=x^{2}-4x + 3 - k$。
因为新函数图像经过点$(0,-1)$，所以把$x = 0$，$y=-1$代入得：$0 - 0 + 3 - k=-1$，解得$k = 4$。
B

3. (2023·昆山模拟)把二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像向左平移 4 个单位长度或向右平移 1 个单位长度后都会经过原点，则二次函数图像的对称轴与 $ x $ 轴的交点坐标是()

A.$ (-2.5,0) $
B.$ (2.5,0) $
C.$ (-1.5,0) $
D.$ (1.5,0) $

3.D

设平移后的函数解析式分别为：
向左平移4个单位：$y=a(x+4)^2 + b(x+4) + c$，
向右平移1个单位：$y=a(x-1)^2 + b(x-1) + c$。
因为平移后都过原点$(0,0)$，代入得：
1. $a(0+4)^2 + b(0+4) + c = 0$，即$16a + 4b + c = 0$；
2. $a(0-1)^2 + b(0-1) + c = 0$，即$a - b + c = 0$。
两式相减：$16a + 4b + c - (a - b + c) = 0$，
化简得：$15a + 5b = 0$，即$b = -3a$。
二次函数对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，将$b = -3a$代入，
得$x = -\frac{-3a}{2a} = \frac{3}{2} = 1.5$。
故对称轴与$x$轴交点坐标是$(1.5, 0)$。
D

4. (2024·江宁区模拟)已知抛物线 $ y = x^2 + ax + b $ 的顶点坐标为 $ (1,2) $。
(1)求 $ a,b $ 的值；
(2)将抛物线 $ y = x^2 + ax + b $ 向下平移 $ m $ 个单位长度后得到抛物线 $ C_1 $，存在点 $ (c,1) $ 在抛物线 $ C_1 $ 上，求 $ m $ 的取值范围；
(3)抛物线 $ C_2:y = (x - 3)^2 + k $ 经过点 $ (1,2) $，直线 $ y = n(n ＞ 2) $ 与抛物线 $ y = x^2 + ax + b $ 相交于点 $ A,B $（点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧），与抛物线 $ C_2 $ 相交于点 $ C,D $（点 $ C $ 在点 $ D $ 的左侧），求 $ AD - BC $ 的值。

4.解:(1)由题意,得$\{\begin{array}{l} -\frac {a}{2}=1,\\ 1+a+b=2,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=-2,\\ b=3.\end{array} $
(2)由(1)知,抛物线$y=x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}+2$,将其向下平移m个单位长度后得到抛物线$C_{1}$,
∴抛物线$C_{1}$的函数表达式为$y=(x-1)^{2}+2-m.$
∵存在点$(c,1)$在抛物线$C_{1}$上,
∴$(c-1)^{2}+2-m=1$,即$(c-1)^{2}=m-1$有实数根,
∴$m-1≥0$,解得$m≥1$,
∴m的取值范围为$m≥1.$
(3)
∵抛物线$C_{2}:y=(x-3)^{2}+k$经过点$(1,2),\therefore (1-3)^{2}+k=2$,解得$k=-2$,
∴抛物线$C_{2}$的函数表达式为$y=(x-3)^{2}-2.$
把$y=n(n＞2)$代入$y=(x-1)^{2}+2$,得$n=(x-1)^{2}+2$,解得$x=1-\sqrt {n-2}$或$x=1+\sqrt {n-2}$,
∴$A(1-\sqrt {n-2},n),B(1+\sqrt {n-2},n).$
把$y=n(n＞2)$代入$y=(x-3)^{2}-2$,得$n=(x-3)^{2}-2$,解得$x=3-\sqrt {n+2}$或$x=3+\sqrt {n+2}$,
∴$C(3-\sqrt {n+2},n),D(3+\sqrt {n+2},n).$
∴$AD=(3+\sqrt {n+2})-(1-\sqrt {n-2})=2+\sqrt {n+2}+\sqrt {n-2}$,$BC=(1+\sqrt {n-2})-(3-\sqrt {n+2})=-2+\sqrt {n-2}+\sqrt {n+2}$,
∴$AD - BC=(2+\sqrt {n+2}+\sqrt {n-2})-(-2+\sqrt {n-2}+\sqrt {n+2})=4.$

5. 已知抛物线 $ L:y = ax^2 + bx + c $ 与抛物线 $ L':y = x^2 - 2mx + 4m + 1 $ 关于直线 $ x = 2 $ 对称，且抛物线 $ L' $ 交 $ y $ 轴于点 $ P(0,21) $，则方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个根为()

A.$ x_1 = 0,x_2 = 3 $
B.$ x_1 = 1,x_2 = -3 $
C.$ x_1 = 3,x_2 = 7 $
D.$ x_1 = -7,x_2 = -3 $

5.C

因为抛物线$L'$交$y$轴于点$P(0,21)$，将$x=0$，$y=21$代入$L':y = x^2 - 2mx + 4m + 1$，得$21=0 - 0 + 4m + 1$，解得$m=5$，所以$L':y=x^2 - 10x + 21$。
令$y=0$，则$x^2 - 10x + 21=0$，解得$x_1=3$，$x_2=7$，即抛物线$L'$与$x$轴交点为$(3,0)$，$(7,0)$。
因为抛物线$L$与$L'$关于直线$x=2$对称，所以$L$与$x$轴交点是$(3,0)$，$(7,0)$关于直线$x=2$的对称点。
设点$(3,0)$关于$x=2$的对称点为$(x_3,0)$，则$\frac{3 + x_3}{2}=2$，解得$x_3=1$；设点$(7,0)$关于$x=2$的对称点为$(x_4,0)$，则$\frac{7 + x_4}{2}=2$，解得$x_4=-3$。
所以方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根为$x_1=1$，$x_2=-3$。
1

6. (2024·启东期中)在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数 $ y_1 = a_1(x + h_1)^2 + k_1 $ 与 $ y_2 = a_2(x + h_2)^2 + k_2 $ 的图像的形状相同，并且对称轴关于 $ y $ 轴对称，那么我们称这两个二次函数互为“梦函数”。如二次函数 $ y = (x + 1)^2 - 1 $ 与 $ y = (x - 1)^2 + 3 $ 互为“梦函数”，写出二次函数 $ y = 2(x + 3)^2 + 2 $ 的一个“梦函数”为。

6.$y=2(x-3)^{2}+2$(答案不唯一)

$y=2(x-3)^{2}+2$（答案不唯一）