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1 [2024 眉山]如图，图①是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形拼成。若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为 （
A.24
B.36
C.40
D.44
D
）A.24
B.36
C.40
D.44
答案
1. D 【解析】设题图中的直角三角形的两直角边的长分别为a,b(a＞b),斜边长为c.
∵题图①中大正方形的面积是24,
∴a²+b²=c²=24.
∵题图①中小正方形的面积是4,
∴(a-b)²=a²+b²-2ab=4,
∴ab=10,
∴题图②中大正方形的面积为c²+4×1/2 ab=24+2×10=44.
∵题图①中大正方形的面积是24,
∴a²+b²=c²=24.
∵题图①中小正方形的面积是4,
∴(a-b)²=a²+b²-2ab=4,
∴ab=10,
∴题图②中大正方形的面积为c²+4×1/2 ab=24+2×10=44.
解析
【分析】
解题时先设直角三角形的两直角边长为a、b（a＞b），斜边长为c。首先结合图①的面积条件：大正方形的边长是直角三角形的斜边，因此大正方形面积对应c²；小正方形的边长是两直角边的差，因此小正方形面积对应(a-b)²。先通过这两个面积关系求出c²和ab的值，再观察图②的大正方形，它的面积可表示为边长为(a+b)的正方形面积，也可表示为中间空白正方形面积加4个直角三角形的面积，代入已得的数值即可求出结果。
【解析】
设直角三角形的两直角边长分别为a、b（a＞b），斜边长为c。
∵ 图①中大正方形的面积为24，大正方形边长等于直角三角形的斜边长，
∴ 根据勾股定理得$a^2+b^2=c^2=24$。
∵ 图①中小正方形的面积为4，小正方形的边长为$a-b$，
∴ $(a-b)^2=4$，
将完全平方展开得：$a^2-2ab+b^2=4$，
把$a^2+b^2=24$代入上式，得$24-2ab=4$，解得$ab=10$。
观察图②，大正方形的面积等于边长为c的正方形面积加上4个直角三角形的面积，因此它的面积为：
$c^2+4×\frac{1}{2}ab=24+2×10=44$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；正方形面积计算
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，需要准确找到图形中边长与面积的对应关系，将几何面积问题转化为代数式运算，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先设直角三角形的两直角边长为a、b（a＞b），斜边长为c。首先结合图①的面积条件：大正方形的边长是直角三角形的斜边，因此大正方形面积对应c²；小正方形的边长是两直角边的差，因此小正方形面积对应(a-b)²。先通过这两个面积关系求出c²和ab的值，再观察图②的大正方形，它的面积可表示为边长为(a+b)的正方形面积，也可表示为中间空白正方形面积加4个直角三角形的面积，代入已得的数值即可求出结果。
【解析】
设直角三角形的两直角边长分别为a、b（a＞b），斜边长为c。
∵ 图①中大正方形的面积为24，大正方形边长等于直角三角形的斜边长，
∴ 根据勾股定理得$a^2+b^2=c^2=24$。
∵ 图①中小正方形的面积为4，小正方形的边长为$a-b$，
∴ $(a-b)^2=4$，
将完全平方展开得：$a^2-2ab+b^2=4$，
把$a^2+b^2=24$代入上式，得$24-2ab=4$，解得$ab=10$。
观察图②，大正方形的面积等于边长为c的正方形面积加上4个直角三角形的面积，因此它的面积为：
$c^2+4×\frac{1}{2}ab=24+2×10=44$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；正方形面积计算
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，需要准确找到图形中边长与面积的对应关系，将几何面积问题转化为代数式运算，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
2[2025泗洪期中]如图所示的图形为一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A，B，C，D的面积分别是5，3，5，7，则最大的正方形E的面积是
20
。答案
2. 20
解析
【分析】
本题可利用勾股定理的几何意义求解：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应到图形中就是以直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。我们可以先分别计算A、B的面积和，C、D的面积和，再将这两个和相加，就能得到最大正方形E的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义可知：
1. 正方形A、B的面积之和等于二者所对直角三角形斜边对应的正方形面积，即$S_{A+B}=S_A+S_B=5+3=8$；
2. 正方形C、D的面积之和等于二者所对直角三角形斜边对应的正方形面积，即$S_{C+D}=S_C+S_D=5+7=12$；
3. 上述两个中间正方形的面积之和等于最大正方形E的面积，因此$S_E=S_{A+B}+S_{C+D}=8+12=20$。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，数形结合思想
【点评】
本题是勾股定理几何应用的典型题型，以勾股树为载体，考查学生对勾股定理与正方形面积关系的理解，解题的核心是抓住直角三角形三边对应的正方形面积满足勾股定理的关系。
【难度系数】
0.8
本题可利用勾股定理的几何意义求解：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应到图形中就是以直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。我们可以先分别计算A、B的面积和，C、D的面积和，再将这两个和相加，就能得到最大正方形E的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义可知：
1. 正方形A、B的面积之和等于二者所对直角三角形斜边对应的正方形面积，即$S_{A+B}=S_A+S_B=5+3=8$；
2. 正方形C、D的面积之和等于二者所对直角三角形斜边对应的正方形面积，即$S_{C+D}=S_C+S_D=5+7=12$；
3. 上述两个中间正方形的面积之和等于最大正方形E的面积，因此$S_E=S_{A+B}+S_{C+D}=8+12=20$。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，数形结合思想
【点评】
本题是勾股定理几何应用的典型题型，以勾股树为载体，考查学生对勾股定理与正方形面积关系的理解，解题的核心是抓住直角三角形三边对应的正方形面积满足勾股定理的关系。
【难度系数】
0.8
3[2025西宁改编]如图，“赵爽弦图”中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△DAE是四个全等的直角三角形。若EF=2，DE=8，则AB的长为
10
。答案
3. 10
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据已知的全等三角形性质，得到直角三角形对应边的等量关系，再结合小正方形的边长求出直角三角形的两条直角边长度，最后在直角三角形中利用勾股定理计算斜边AB的长度。第一步，由△ABF和△DAE全等，可得AF=DE，BF=AE；第二步，利用小正方形EFGH的边长EF=2，可求出短直角边BF的长度；第三步，在Rt△ABF中代入勾股公式计算AB的长。
【解析】
解：
∵△ABF，△BCG，△CDH，△DAE是四个全等的直角三角形
∴AF=DE=8，BF=AE
∵四边形EFGH是正方形，EF=2
∴AE=AF - EF=8 - 2=6，即BF=6
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：
$AB^2=AF^2+BF^2=8^2+6^2=64+36=100$
∵AB为边长，是正数
∴AB=10
【答案】
10
【知识点】
全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为背景，考查几何性质的综合应用，解题的核心是通过全等和正方形的性质确定直角三角形的直角边长，再结合勾股定理求解，需要熟练掌握常见几何模型的边的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据已知的全等三角形性质，得到直角三角形对应边的等量关系，再结合小正方形的边长求出直角三角形的两条直角边长度，最后在直角三角形中利用勾股定理计算斜边AB的长度。第一步，由△ABF和△DAE全等，可得AF=DE，BF=AE；第二步，利用小正方形EFGH的边长EF=2，可求出短直角边BF的长度；第三步，在Rt△ABF中代入勾股公式计算AB的长。
【解析】
解：
∵△ABF，△BCG，△CDH，△DAE是四个全等的直角三角形
∴AF=DE=8，BF=AE
∵四边形EFGH是正方形，EF=2
∴AE=AF - EF=8 - 2=6，即BF=6
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：
$AB^2=AF^2+BF^2=8^2+6^2=64+36=100$
∵AB为边长，是正数
∴AB=10
【答案】
10
【知识点】
全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为背景，考查几何性质的综合应用，解题的核心是通过全等和正方形的性质确定直角三角形的直角边长，再结合勾股定理求解，需要熟练掌握常见几何模型的边的数量关系。
【难度系数】
0.7
4（1）如图①所示的图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的长之和是5，求中间小正方形的面积.
（2）如图②，现有一张长为6.5、宽为2的长方形纸片，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形（要求：先在图②中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）.
（2）如图②，现有一张长为6.5、宽为2的长方形纸片，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形（要求：先在图②中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）.
答案
4. (1) 设直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a＞b).由题意,得$\begin{cases} a+b=5, \\ a^2+b^2=13, \end{cases}$ $\therefore (a+b)^2=25=a^2+b^2+2ab,\therefore ab=6,\therefore (a-b)^2=(a+b)^2-4ab=1$,
$\therefore$ 中间小正方形的面积为1
(2) 如图所示(画分割线不唯一)
解析
【分析】
（1）求小正方形的面积需先确定其边长，观察图形可知小正方形的边长为直角三角形较长直角边与较短直角边的差，因此只要算出$(a-b)^2$即可。已知大正方形面积为13，根据勾股定理可得直角三角形两直角边的平方和$a^2+b^2=13$，结合题目给出的两直角边和$a+b=5$，利用完全平方公式变形先求出$ab$的值，再计算$(a-b)^2$就能得到小正方形的面积。
（2）先计算长方形纸片的面积，拼成的正方形面积和长方形面积相等，由此得到正方形的边长，结合第（1）问的图形结构对长方形进行分割，再拼接即可。
【解析】
（1）设直角三角形的两条直角边的长分别为$a,b(a＞b)$。
由题意可得方程组：
$\begin{cases} a+b=5 \\ a^2+b^2=13 \end{cases}$
将$a+b=5$两边平方得：$(a+b)^2=25$，根据完全平方公式展开得$a^2+b^2+2ab=25$，把$a^2+b^2=13$代入得$13+2ab=25$，解得$ab=6$。
小正方形的边长为$a-b$，因此小正方形面积为$(a-b)^2$，由完全平方公式变形得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=25-4×6=1$
（2）长方形面积为$6.5×2=13$，因此拼成的正方形面积为13，边长为$\sqrt{13}$，和第（1）问的大正方形边长一致，按要求分割拼接即可。
【答案】
(1) 中间小正方形的面积为1；
(2)
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，图形剪拼
【点评】
本题将代数计算与几何图形相结合，既考查了勾股定理、完全平方公式的灵活运用，又考查了图形剪拼的实践操作能力，第一问的结论为第二问的拼接提供了思路，很好地体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
（1）求小正方形的面积需先确定其边长，观察图形可知小正方形的边长为直角三角形较长直角边与较短直角边的差，因此只要算出$(a-b)^2$即可。已知大正方形面积为13，根据勾股定理可得直角三角形两直角边的平方和$a^2+b^2=13$，结合题目给出的两直角边和$a+b=5$，利用完全平方公式变形先求出$ab$的值，再计算$(a-b)^2$就能得到小正方形的面积。
（2）先计算长方形纸片的面积，拼成的正方形面积和长方形面积相等，由此得到正方形的边长，结合第（1）问的图形结构对长方形进行分割，再拼接即可。
【解析】
（1）设直角三角形的两条直角边的长分别为$a,b(a＞b)$。
由题意可得方程组：
$\begin{cases} a+b=5 \\ a^2+b^2=13 \end{cases}$
将$a+b=5$两边平方得：$(a+b)^2=25$，根据完全平方公式展开得$a^2+b^2+2ab=25$，把$a^2+b^2=13$代入得$13+2ab=25$，解得$ab=6$。
小正方形的边长为$a-b$，因此小正方形面积为$(a-b)^2$，由完全平方公式变形得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=25-4×6=1$
（2）长方形面积为$6.5×2=13$，因此拼成的正方形面积为13，边长为$\sqrt{13}$，和第（1）问的大正方形边长一致，按要求分割拼接即可。
【答案】
(1) 中间小正方形的面积为1；
(2)
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，图形剪拼
【点评】
本题将代数计算与几何图形相结合，既考查了勾股定理、完全平方公式的灵活运用，又考查了图形剪拼的实践操作能力，第一问的结论为第二问的拼接提供了思路，很好地体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
5 新情境 数学文化 我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的长方形由两个这样的图形拼成.若$a=3$，$b=4$，则该长方形的面积为（
A.20
B.24
C.$\dfrac{99}{4}$
D.$\dfrac{53}{2}$
B
）A.20
B.24
C.$\dfrac{99}{4}$
D.$\dfrac{53}{2}$
答案
5. B
解析
【分析】
首先设小正方形的边长为x，观察图形可得原直角三角形的两条直角边长分别为a+x、b+x，斜边长为a+b，而拼成的长方形的长和宽正好是原直角三角形的两条直角边。我们可以先利用勾股定理列出关于x的方程，化简得到x²+7x的值，再将其整体代入长方形面积公式即可求出结果，不需要计算x的具体值，简化计算步骤。
【解析】
设小正方形的边长为$ x $。
由图可知，原直角三角形的两条直角边长分别为$ x+a=x+3 $、$ x+b=x+4 $，斜边长为$ a+b=3+4=7 $。
根据勾股定理可得：
$(x+3)^2 + (x+4)^2 = 7^2$
展开并整理等式左边：
$x^2 + 6x + 9 + x^2 + 8x + 16 = 49$
$2x^2 + 14x + 25 = 49$
化简得：
$x^2 + 7x = 12$
长方形的面积为长×宽，即$ (x+3)(x+4) $，展开得：
$S = x^2 + 7x + 12$
将$ x^2+7x=12 $整体代入上式：
$S = 12 + 12 = 24$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；整式的化简求值；面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景，考查勾股定理与整式运算的综合应用，解题时运用整体代入的思想，无需计算未知量的具体值，可有效降低计算量。
【难度系数】
0.7
首先设小正方形的边长为x，观察图形可得原直角三角形的两条直角边长分别为a+x、b+x，斜边长为a+b，而拼成的长方形的长和宽正好是原直角三角形的两条直角边。我们可以先利用勾股定理列出关于x的方程，化简得到x²+7x的值，再将其整体代入长方形面积公式即可求出结果，不需要计算x的具体值，简化计算步骤。
【解析】
设小正方形的边长为$ x $。
由图可知，原直角三角形的两条直角边长分别为$ x+a=x+3 $、$ x+b=x+4 $，斜边长为$ a+b=3+4=7 $。
根据勾股定理可得：
$(x+3)^2 + (x+4)^2 = 7^2$
展开并整理等式左边：
$x^2 + 6x + 9 + x^2 + 8x + 16 = 49$
$2x^2 + 14x + 25 = 49$
化简得：
$x^2 + 7x = 12$
长方形的面积为长×宽，即$ (x+3)(x+4) $，展开得：
$S = x^2 + 7x + 12$
将$ x^2+7x=12 $整体代入上式：
$S = 12 + 12 = 24$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；整式的化简求值；面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景，考查勾股定理与整式运算的综合应用，解题时运用整体代入的思想，无需计算未知量的具体值，可有效降低计算量。
【难度系数】
0.7
