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6[2025青岛]如图,正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成的,AF=a,BF=b,且$a＞b$.若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为26和16,则$\frac{ab}{a+b}$的值为
$\dfrac{5}{6}$
.答案
6. $\dfrac{5}{6}$ 【解析】
∵正方形ABCD的面积为26,AF=a,BF=b,
∴$AB^2=a^2+b^2=26$.
∵四个直角三角形全等,
∴AE=BF=b,
∴EF=AF-AE=a-b.
∵正方形EFGH的面积为16,
∴$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=16$,即26-2ab=16,解得ab=5,
∴$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=16+4×5=36$,
∴a+b=6(负值舍去),
∴$\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{5}{6}$.
∵正方形ABCD的面积为26,AF=a,BF=b,
∴$AB^2=a^2+b^2=26$.
∵四个直角三角形全等,
∴AE=BF=b,
∴EF=AF-AE=a-b.
∵正方形EFGH的面积为16,
∴$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=16$,即26-2ab=16,解得ab=5,
∴$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=16+4×5=36$,
∴a+b=6(负值舍去),
∴$\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{5}{6}$.
解析
【分析】
解题时首先结合赵爽弦图的特征，利用正方形面积和勾股定理得到$a^2+b^2$的值；再根据全等直角三角形的边长关系得到小正方形的边长为$a-b$，结合小正方形面积得到$(a-b)^2$的值；接下来利用完全平方公式的变形，先求出$ab$的值，再求出$a+b$的值，最后代入代数式$\frac{ab}{a+b}$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为26，$AF=a$，$BF=b$，$△ ABF$是直角三角形，
∴由勾股定理得$AB^2=a^2+b^2=26$。
∵四个直角三角形全等，
∴$AE=BF=b$，
∴小正方形EFGH的边长$EF=AF-AE=a-b$。
∵正方形EFGH的面积为16，
∴$(a-b)^2=16$，
将完全平方展开得：$a^2+b^2-2ab=16$，
把$a^2+b^2=26$代入得：$26-2ab=16$，
解得：$ab=5$。
再根据完全平方公式变形得：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，
代入数值计算：$(a+b)^2=16+4×5=36$，
∵a、b均为线段长度，为正数，
∴$a+b=6$（负值舍去），
∴$\frac{ab}{a+b}=\frac{5}{6}$。
【答案】
$\dfrac{5}{6}$
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形的性质
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，解题的关键是结合赵爽弦图的特征找到a、b与两个正方形面积的关联，灵活运用完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握相关公式能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合赵爽弦图的特征，利用正方形面积和勾股定理得到$a^2+b^2$的值；再根据全等直角三角形的边长关系得到小正方形的边长为$a-b$，结合小正方形面积得到$(a-b)^2$的值；接下来利用完全平方公式的变形，先求出$ab$的值，再求出$a+b$的值，最后代入代数式$\frac{ab}{a+b}$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为26，$AF=a$，$BF=b$，$△ ABF$是直角三角形，
∴由勾股定理得$AB^2=a^2+b^2=26$。
∵四个直角三角形全等，
∴$AE=BF=b$，
∴小正方形EFGH的边长$EF=AF-AE=a-b$。
∵正方形EFGH的面积为16，
∴$(a-b)^2=16$，
将完全平方展开得：$a^2+b^2-2ab=16$，
把$a^2+b^2=26$代入得：$26-2ab=16$，
解得：$ab=5$。
再根据完全平方公式变形得：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，
代入数值计算：$(a+b)^2=16+4×5=36$，
∵a、b均为线段长度，为正数，
∴$a+b=6$（负值舍去），
∴$\frac{ab}{a+b}=\frac{5}{6}$。
【答案】
$\dfrac{5}{6}$
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形的性质
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，解题的关键是结合赵爽弦图的特征找到a、b与两个正方形面积的关联，灵活运用完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握相关公式能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
7已知直角三角形的三边长$a,b,c$满足$c＞a＞b$，分别以$a,b,c$为边长作三个正方形，如图，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，设三个正方形无重叠部分的面积为$S_1$，重叠部分的面积为$S_2$，则$S_1$
=
$S_2$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
7. = 【解析】
∵直角三角形的三边长a,b,c满足c＞a＞b,
∴该直角三角形的斜边长为c,
∴$c^2=a^2+b^2$,即$c^2-a^2-b^2=0$.根据题意,得$S_1=c^2-a^2-b^2+b(a+b-c)=ab+b^2-bc$,$S_2=b(a+b-c)=ab+b^2-bc$,$\therefore S_1=S_2$.
∵直角三角形的三边长a,b,c满足c＞a＞b,
∴该直角三角形的斜边长为c,
∴$c^2=a^2+b^2$,即$c^2-a^2-b^2=0$.根据题意,得$S_1=c^2-a^2-b^2+b(a+b-c)=ab+b^2-bc$,$S_2=b(a+b-c)=ab+b^2-bc$,$\therefore S_1=S_2$.
解析
【分析】
解题时首先根据直角三角形斜边最长的性质，确定c为斜边，联想到勾股定理得到$c^2=a^2+b^2$；接下来观察图形，明确$S_2$是两个小正方形的重叠部分，为长方形，可表示出$S_2$的面积表达式；再通过面积的和差关系表示出$S_1$的面积，最后代入勾股定理的结论化简，即可比较$S_1$和$S_2$的大小。
【解析】
∵直角三角形的三边长$a,b,c$满足$c＞a＞b$，
∴该直角三角形的斜边长为$c$，
由勾股定理得：$c^2=a^2+b^2$，即$c^2-a^2-b^2=0$。
根据图形可得：重叠部分$S_2$是长为$b$，宽为$a+b-c$的长方形，
∴$S_2=b(a+b-c)=ab+b^2-bc$，
无重叠部分的面积$S_1=c^2-a^2-b^2 + b(a+b-c)$，
将$c^2-a^2-b^2=0$代入得：$S_1=0 + ab+b^2-bc=ab+b^2-bc$，
∴$S_1=S_2$。
【答案】
=
【知识点】
勾股定理；面积和差计算；正方形的性质
【点评】
本题结合图形面积考查勾股定理的应用，解题的核心是正确用边长表示出两个待比较的面积，再利用勾股定理的结论化简即可，能有效考查学生的图形观察能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先根据直角三角形斜边最长的性质，确定c为斜边，联想到勾股定理得到$c^2=a^2+b^2$；接下来观察图形，明确$S_2$是两个小正方形的重叠部分，为长方形，可表示出$S_2$的面积表达式；再通过面积的和差关系表示出$S_1$的面积，最后代入勾股定理的结论化简，即可比较$S_1$和$S_2$的大小。
【解析】
∵直角三角形的三边长$a,b,c$满足$c＞a＞b$，
∴该直角三角形的斜边长为$c$，
由勾股定理得：$c^2=a^2+b^2$，即$c^2-a^2-b^2=0$。
根据图形可得：重叠部分$S_2$是长为$b$，宽为$a+b-c$的长方形，
∴$S_2=b(a+b-c)=ab+b^2-bc$，
无重叠部分的面积$S_1=c^2-a^2-b^2 + b(a+b-c)$，
将$c^2-a^2-b^2=0$代入得：$S_1=0 + ab+b^2-bc=ab+b^2-bc$，
∴$S_1=S_2$。
【答案】
=
【知识点】
勾股定理；面积和差计算；正方形的性质
【点评】
本题结合图形面积考查勾股定理的应用，解题的核心是正确用边长表示出两个待比较的面积，再利用勾股定理的结论化简即可，能有效考查学生的图形观察能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.65
8 图①为用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图②为以c为直角边长的等腰直角三角形。请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（不添加其他辅助线）。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的示意图（不要求证明）。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的示意图（不要求证明）。
答案
8. (1) 如图①,是直角梯形
(2) $\because S_{\mathrm{梯形}}=\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)=\dfrac{1}{2}(a+b)^2$,又$\because S_{\mathrm{梯形}}=2×\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^2=ab+\dfrac{1}{2}c^2$,$\therefore \dfrac{1}{2}(a+b)^2=ab+\dfrac{1}{2}c^2$,即$a^2+b^2=c^2$
(3) 能 答案不唯一,如图②所示
解析
【分析】
（1）要拼接出可证明勾股定理的图形，可将两个全等直角三角形的斜边分别与等腰直角三角形的两条直角边对齐，使两个直角三角形长为a、b的直角边分别在同一直线上，即可得到目标图形；（2）勾股定理证明常用面积法：对同一图形用两种不同方法计算面积，所得结果相等，建立等式化简即可推导出勾股定理；（3）我们熟知的赵爽弦图就是用4个全等的直角三角形拼接而成，也可用于证明勾股定理，按该结构拼接即可。
【解析】
（1）将两个全等直角三角形的直角分别朝向外侧，斜边分别和等腰直角三角形的两条直角边c重合，使得两个直角三角形的直角边a、b共线，最终拼成的图形为直角梯形。
（2）通过两种方法计算该直角梯形的面积：
① 根据梯形面积公式：梯形上底为a，下底为b，高为$(a+b)$，因此
$S_{\mathrm{梯形}}=\dfrac{1}{2}(上底+下底)×高=\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)=\dfrac{1}{2}(a+b)^2$
② 根据三个三角形的面积和计算：梯形由2个全等的直角三角形和1个等腰直角三角形组成，单个直角三角形面积为$\dfrac{1}{2}ab$，等腰直角三角形面积为$\dfrac{1}{2}c^2$，因此
$S_{\mathrm{梯形}}=2×\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^2=ab+\dfrac{1}{2}c^2$
两式均为梯形面积，因此相等：
$\dfrac{1}{2}(a+b)^2=ab+\dfrac{1}{2}c^2$
展开化简后可得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
（3）可以拼出，取4个图①中的全等直角三角形，拼成赵爽弦图结构即可，答案不唯一。
【答案】
(1) 如图①,是直角梯形
(2) $\because S_{\mathrm{梯形}}=\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)=\dfrac{1}{2}(a+b)^2$,又$\because S_{\mathrm{梯形}}=2×\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^2=ab+\dfrac{1}{2}c^2$,$\therefore \dfrac{1}{2}(a+b)^2=ab+\dfrac{1}{2}c^2$,即$a^2+b^2=c^2$
(3) 能 答案不唯一,如图②所示
【知识点】
1. 勾股定理的证明
2. 面积法
3. 图形拼接
【点评】
本题是勾股定理证明的经典题型，通过动手拼接几何图形，利用面积恒等的思路推导定理，既考查了图形拼接的动手能力，也考查了利用面积法解决几何问题的逻辑推导能力，掌握面积法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）要拼接出可证明勾股定理的图形，可将两个全等直角三角形的斜边分别与等腰直角三角形的两条直角边对齐，使两个直角三角形长为a、b的直角边分别在同一直线上，即可得到目标图形；（2）勾股定理证明常用面积法：对同一图形用两种不同方法计算面积，所得结果相等，建立等式化简即可推导出勾股定理；（3）我们熟知的赵爽弦图就是用4个全等的直角三角形拼接而成，也可用于证明勾股定理，按该结构拼接即可。
【解析】
（1）将两个全等直角三角形的直角分别朝向外侧，斜边分别和等腰直角三角形的两条直角边c重合，使得两个直角三角形的直角边a、b共线，最终拼成的图形为直角梯形。
（2）通过两种方法计算该直角梯形的面积：
① 根据梯形面积公式：梯形上底为a，下底为b，高为$(a+b)$，因此
$S_{\mathrm{梯形}}=\dfrac{1}{2}(上底+下底)×高=\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)=\dfrac{1}{2}(a+b)^2$
② 根据三个三角形的面积和计算：梯形由2个全等的直角三角形和1个等腰直角三角形组成，单个直角三角形面积为$\dfrac{1}{2}ab$，等腰直角三角形面积为$\dfrac{1}{2}c^2$，因此
$S_{\mathrm{梯形}}=2×\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^2=ab+\dfrac{1}{2}c^2$
两式均为梯形面积，因此相等：
$\dfrac{1}{2}(a+b)^2=ab+\dfrac{1}{2}c^2$
展开化简后可得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
（3）可以拼出，取4个图①中的全等直角三角形，拼成赵爽弦图结构即可，答案不唯一。
【答案】
(1) 如图①,是直角梯形
(2) $\because S_{\mathrm{梯形}}=\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)=\dfrac{1}{2}(a+b)^2$,又$\because S_{\mathrm{梯形}}=2×\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^2=ab+\dfrac{1}{2}c^2$,$\therefore \dfrac{1}{2}(a+b)^2=ab+\dfrac{1}{2}c^2$,即$a^2+b^2=c^2$
(3) 能 答案不唯一,如图②所示
【知识点】
1. 勾股定理的证明
2. 面积法
3. 图形拼接
【点评】
本题是勾股定理证明的经典题型，通过动手拼接几何图形，利用面积恒等的思路推导定理，既考查了图形拼接的动手能力，也考查了利用面积法解决几何问题的逻辑推导能力，掌握面积法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
9 如图,在$5×5$的正方形网格中,小正方形的边长都为1,线段$ED$与$AD$的端点都在小正方形的顶点(称为格点)上.
(1) 以线段$AD$为边画正方形$ABCD$,再以线段$DE$为斜边画等腰直角三角形$DEF$,其中,顶点$F$在正方形$ABCD$外;
(2) 在(1)中所画图形的基础上,以$B$为其中一个顶点画一个新正方形,使新正方形的面积为正方形$ABCD$与$△ DEF$的面积之和,且其他顶点也在格点上;
(3) 证明(2)中你所画的图形是正确的.
(1) 以线段$AD$为边画正方形$ABCD$,再以线段$DE$为斜边画等腰直角三角形$DEF$,其中,顶点$F$在正方形$ABCD$外;
(2) 在(1)中所画图形的基础上,以$B$为其中一个顶点画一个新正方形,使新正方形的面积为正方形$ABCD$与$△ DEF$的面积之和,且其他顶点也在格点上;
(3) 证明(2)中你所画的图形是正确的.
答案
9. (1) 如图,正方形$ABCD$,$△ DEF$即为所求
(2) 如图,正方形$BKFG$即为所求
(3) $\because S_{\mathrm{正方形}ABCD}=3×3=9$,$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}×2×1=1$,$\therefore S_{\mathrm{正方形}ABCD}+S_{△ DEF}=9+1=10$. $\because BK^2=BA^2+AK^2=3^2+1^2=10$,$\therefore S_{\mathrm{正方形}BKFG}=BK^2=10$,$\therefore$ 所画的图形是正确的
解析
【分析】
解题思路分三步推进：
1. 解决第(1)问：首先观察线段AD为竖直方向，长度为3，要画以AD为边的正方形，只需过A作与AD垂直的水平线段AB，长度为3，再依次作出BC、CD即可得到正方形ABCD；DE是长度为2的水平线段，要作以DE为斜边的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，直角顶点F到D、E的距离相等，且∠DFE=90°，结合“F在正方形外”的要求在格点上找对应点即可。
2. 解决第(2)问：先计算正方形ABCD和△DEF的面积和，得到新正方形的面积为10，因此新正方形的边长平方为10，根据勾股定理，网格中直角边为1和3的直角三角形斜边平方为10，据此找到对应长度的线段，再以B为顶点作正方形，其余顶点落在格点上即可。
3. 解决第(3)问：分别计算原两个图形的面积和，再计算新正方形边长的平方（即面积），验证二者相等即可证明作图正确。
【解析】
(1) ① 画正方形ABCD：线段AD长度为3，过点A向左作水平线段AB，使AB=3且AB⊥AD，过点B向上作竖直线段BC，使BC=3且BC⊥AB，连接CD，即可得到正方形ABCD；
② 画等腰直角三角形DEF：DE长度为2，在DE上方的格点取点F，使FD=FE，且∠DFE=90°，同时F在正方形ABCD外，连接FD、FE，即可得到等腰Rt△DEF。
(2) 先计算面积和：正方形ABCD面积为$3×3=9$，等腰直角三角形DEF的面积为$\frac{1}{2}×2×1=1$，二者面积和为10，即新正方形的面积为10。根据勾股定理，取格点K，使得BK的水平距离为3、竖直距离为1，则$BK^2=3^2+1^2=10$，再依次找到另外两个格点G、F，使四条边长均为$\sqrt{10}$且相邻边垂直，即可得到正方形BKFG。
(3) 证明：
$\because S_{\mathrm{正方形}ABCD}=3×3=9$，$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}×2×1=1$，
$\therefore S_{\mathrm{正方形}ABCD}+S_{△ DEF}=9+1=10$。
$\because BK^2=BA^2+AK^2=3^2+1^2=10$，
$\therefore S_{\mathrm{正方形}BKFG}=BK^2=10$，即新正方形面积等于正方形ABCD与△DEF的面积之和，
$\therefore$ 所画的图形是正确的。
【答案】
(1) 如图,正方形$ABCD$,$△ DEF$即为所求
(2) 如图,正方形$BKFG$即为所求
(3) 所画图形正确，证明过程见解析
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合网格作图考查几何图形的性质与勾股定理的应用，既需要掌握基础图形的作图方法，也需要能通过勾股定理计算网格中线段的长度和图形面积，锻炼了动手操作能力和逻辑证明能力。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步推进：
1. 解决第(1)问：首先观察线段AD为竖直方向，长度为3，要画以AD为边的正方形，只需过A作与AD垂直的水平线段AB，长度为3，再依次作出BC、CD即可得到正方形ABCD；DE是长度为2的水平线段，要作以DE为斜边的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，直角顶点F到D、E的距离相等，且∠DFE=90°，结合“F在正方形外”的要求在格点上找对应点即可。
2. 解决第(2)问：先计算正方形ABCD和△DEF的面积和，得到新正方形的面积为10，因此新正方形的边长平方为10，根据勾股定理，网格中直角边为1和3的直角三角形斜边平方为10，据此找到对应长度的线段，再以B为顶点作正方形，其余顶点落在格点上即可。
3. 解决第(3)问：分别计算原两个图形的面积和，再计算新正方形边长的平方（即面积），验证二者相等即可证明作图正确。
【解析】
(1) ① 画正方形ABCD：线段AD长度为3，过点A向左作水平线段AB，使AB=3且AB⊥AD，过点B向上作竖直线段BC，使BC=3且BC⊥AB，连接CD，即可得到正方形ABCD；
② 画等腰直角三角形DEF：DE长度为2，在DE上方的格点取点F，使FD=FE，且∠DFE=90°，同时F在正方形ABCD外，连接FD、FE，即可得到等腰Rt△DEF。
(2) 先计算面积和：正方形ABCD面积为$3×3=9$，等腰直角三角形DEF的面积为$\frac{1}{2}×2×1=1$，二者面积和为10，即新正方形的面积为10。根据勾股定理，取格点K，使得BK的水平距离为3、竖直距离为1，则$BK^2=3^2+1^2=10$，再依次找到另外两个格点G、F，使四条边长均为$\sqrt{10}$且相邻边垂直，即可得到正方形BKFG。
(3) 证明：
$\because S_{\mathrm{正方形}ABCD}=3×3=9$，$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}×2×1=1$，
$\therefore S_{\mathrm{正方形}ABCD}+S_{△ DEF}=9+1=10$。
$\because BK^2=BA^2+AK^2=3^2+1^2=10$，
$\therefore S_{\mathrm{正方形}BKFG}=BK^2=10$，即新正方形面积等于正方形ABCD与△DEF的面积之和，
$\therefore$ 所画的图形是正确的。
【答案】
(1) 如图,正方形$ABCD$,$△ DEF$即为所求
(2) 如图,正方形$BKFG$即为所求
(3) 所画图形正确，证明过程见解析
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合网格作图考查几何图形的性质与勾股定理的应用，既需要掌握基础图形的作图方法，也需要能通过勾股定理计算网格中线段的长度和图形面积，锻炼了动手操作能力和逻辑证明能力。
【难度系数】
0.7
