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1.随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成。现对由三个小正方形组成的“
”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（B
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：第一步先计算所有等可能的涂色结果总数：每个小正方形有黑、白2种涂色选择，3个独立的小正方形，总结果数为2×2×2=8种，所有结果出现的可能性相等。第二步计算“恰好两个黑色小正方形和一个白色小正方形”包含的结果数：相当于从3个小正方形中选1个涂为白色，其余2个涂为黑色，共有3种符合条件的结果。第三步根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：每个小正方形可涂黑色或白色，共2种选择，
则3个小正方形的所有等可能涂色结果总数为：$2×2×2=8$种，
分别为：（黑黑黑）、（黑黑白）、（黑白黑）、（白黑黑）、（黑白白）、（白黑白）、（白白黑）、（白白白）。
其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的结果有：（黑黑白）、（黑白黑）、（白黑黑），共3种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{3}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式，列举法求概率，分步计数原理
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，解题核心是不重不漏地统计所有等可能结果和符合要求的结果数量，掌握概率的基本计算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：第一步先计算所有等可能的涂色结果总数：每个小正方形有黑、白2种涂色选择，3个独立的小正方形，总结果数为2×2×2=8种，所有结果出现的可能性相等。第二步计算“恰好两个黑色小正方形和一个白色小正方形”包含的结果数：相当于从3个小正方形中选1个涂为白色，其余2个涂为黑色，共有3种符合条件的结果。第三步根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：每个小正方形可涂黑色或白色，共2种选择，
则3个小正方形的所有等可能涂色结果总数为：$2×2×2=8$种，
分别为：（黑黑黑）、（黑黑白）、（黑白黑）、（白黑黑）、（黑白白）、（白黑白）、（白白黑）、（白白白）。
其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的结果有：（黑黑白）、（黑白黑）、（白黑黑），共3种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{3}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式，列举法求概率，分步计数原理
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，解题核心是不重不漏地统计所有等可能结果和符合要求的结果数量，掌握概率的基本计算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
2.不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1,2,3.三张卡片质地均匀，大小、形状完全相同.摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机抽取一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为
$\frac{4}{9}$
.答案
2.$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
这是一道放回型的等可能概率求解问题，解题思路如下：第一步，明确两次抽取是有放回的，两次抽取结果互不影响，先计算所有等可能的总结果数；第二步，根据“只有奇数×奇数=奇数，只要有一个乘数是偶数，积就为偶数”的性质，得出只有两次抽取的编号均为奇数时，乘积才是奇数，再统计符合条件的结果数；第三步，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
解法1：列表法列举所有等可能结果：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | （1,1）积1 | （1,2）积2 | （1,3）积3 |
| 2 | （2,1）积2 | （2,2）积4 | （2,3）积6 |
| 3 | （3,1）积3 | （3,2）积6 | （3,3）积9 |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两次卡片编号之积为奇数的结果有4种：（1,1）、（1,3）、（3,1）、（3,3）。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{两次编号之积为奇数})=\frac{4}{9}$。
解法2：分步计算，第一次抽取卡片，编号为奇数的有1、3共2种情况，概率为$\frac{2}{3}$；因为是放回抽取，第二次抽取编号为奇数的概率同样为$\frac{2}{3}$，两次抽取相互独立，因此积为奇数的概率为$\frac{2}{3} × \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
概率公式计算、放回型概率问题、奇偶性判断
【点评】
本题属于基础概率题，解题的关键是明确放回抽样的特征，熟练掌握等可能事件概率的计算方法，同时巧用奇偶性的运算性质可以快速缩小符合条件的结果范围，提高解题效率，解题时要注意区分放回和不放回两种抽样的差异，避免计算总结果数时出错。
【难度系数】
0.7
这是一道放回型的等可能概率求解问题，解题思路如下：第一步，明确两次抽取是有放回的，两次抽取结果互不影响，先计算所有等可能的总结果数；第二步，根据“只有奇数×奇数=奇数，只要有一个乘数是偶数，积就为偶数”的性质，得出只有两次抽取的编号均为奇数时，乘积才是奇数，再统计符合条件的结果数；第三步，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
解法1：列表法列举所有等可能结果：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | （1,1）积1 | （1,2）积2 | （1,3）积3 |
| 2 | （2,1）积2 | （2,2）积4 | （2,3）积6 |
| 3 | （3,1）积3 | （3,2）积6 | （3,3）积9 |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两次卡片编号之积为奇数的结果有4种：（1,1）、（1,3）、（3,1）、（3,3）。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{两次编号之积为奇数})=\frac{4}{9}$。
解法2：分步计算，第一次抽取卡片，编号为奇数的有1、3共2种情况，概率为$\frac{2}{3}$；因为是放回抽取，第二次抽取编号为奇数的概率同样为$\frac{2}{3}$，两次抽取相互独立，因此积为奇数的概率为$\frac{2}{3} × \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
概率公式计算、放回型概率问题、奇偶性判断
【点评】
本题属于基础概率题，解题的关键是明确放回抽样的特征，熟练掌握等可能事件概率的计算方法，同时巧用奇偶性的运算性质可以快速缩小符合条件的结果范围，提高解题效率，解题时要注意区分放回和不放回两种抽样的差异，避免计算总结果数时出错。
【难度系数】
0.7
3.某校开展以“我和我的祖国”为主题的大合唱活动，九年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是
$\frac{1}{6}$
。答案
3.$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
本题是求两步随机事件的概率，解题思路如下：第一步，明确事件的两个步骤：先选1名男生，再选1名女生，两个选择互不影响；第二步，用枚举法或列表法列出所有等可能的结果，确保不重复不遗漏；第三步，找出“小聪和小慧同时被选中”的结果数；第四步，根据等可能事件的概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数，计算即可得到答案。
【解析】
首先枚举所有随机选出1名男生和1名女生的等可能结果：
1. 小明、小红；2. 小明、小慧；3. 小东、小红；4. 小东、小慧；5. 小聪、小红；6. 小聪、小慧。
总共有6种等可能的结果，其中小聪和小慧被同时选中的结果只有1种。
根据等可能事件概率公式可得，小聪和小慧被同时选中的概率为 $\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算 2. 枚举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查两步随机事件的概率求解方法，解题的关键是准确列出所有等可能的结果，只要掌握列表、枚举或树状图的分析方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题是求两步随机事件的概率，解题思路如下：第一步，明确事件的两个步骤：先选1名男生，再选1名女生，两个选择互不影响；第二步，用枚举法或列表法列出所有等可能的结果，确保不重复不遗漏；第三步，找出“小聪和小慧同时被选中”的结果数；第四步，根据等可能事件的概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数，计算即可得到答案。
【解析】
首先枚举所有随机选出1名男生和1名女生的等可能结果：
1. 小明、小红；2. 小明、小慧；3. 小东、小红；4. 小东、小慧；5. 小聪、小红；6. 小聪、小慧。
总共有6种等可能的结果，其中小聪和小慧被同时选中的结果只有1种。
根据等可能事件概率公式可得，小聪和小慧被同时选中的概率为 $\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算 2. 枚举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查两步随机事件的概率求解方法，解题的关键是准确列出所有等可能的结果，只要掌握列表、枚举或树状图的分析方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
4.(2025·徐州沛县二模)“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大板块课程(依次记为A,B,C,D).若该校小丽和小慧两名同学随机选择一个板块课程.
(1)小慧选择科普活动课程的概率是
(2)用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个板块课程的概率.
(1)小慧选择科普活动课程的概率是
$\frac{1}{4}$
；(2)用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个板块课程的概率.
答案
4.(1)$\frac{1}{4}$
(2)解:画树状图如答图.
共有16种等可能的结果,其中小丽和小慧选同一个板块课程的结果有4种，
∴小丽和小慧选同一个板块课程的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
（1）第一问属于单步等可能事件的概率计算，总共有4种等可能的课程选择，科普活动是其中1种，直接用符合条件的情况数除以总情况数就能得到结果。
（2）第二问是两步试验的概率问题，小丽和小慧各自独立选课程，我们可以通过画树状图的方法不重不漏地列举出所有等可能的结果，再从中筛选出两人选择同一板块的结果，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）总共有A、B、C、D4种等可能的课程板块，小慧选择科普活动（即D板块）的情况只有1种，因此概率为$\frac{1}{4}$。
（2）画树状图如下：
由树状图可得，所有等可能的结果共有$4×4=16$种，其中小丽和小慧选择同一个板块课程的结果有（A,A）、（B,B）、（C,C）、（D,D）共4种。
根据概率公式，小丽和小慧选择同一个板块课程的概率为$\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$
(2)解:画树状图如答图.
共有16种等可能的结果,其中小丽和小慧选同一个板块课程的结果有4种，
∴小丽和小慧选同一个板块课程的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
【知识点】
概率公式，树状图法，等可能事件
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，分别考查了单步、两步等可能事件的概率计算，解题核心是正确统计总结果数和符合条件的结果数，掌握列举法（树状图、列表）梳理所有情况是解题关键。
【难度系数】
0.8
（1）第一问属于单步等可能事件的概率计算，总共有4种等可能的课程选择，科普活动是其中1种，直接用符合条件的情况数除以总情况数就能得到结果。
（2）第二问是两步试验的概率问题，小丽和小慧各自独立选课程，我们可以通过画树状图的方法不重不漏地列举出所有等可能的结果，再从中筛选出两人选择同一板块的结果，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）总共有A、B、C、D4种等可能的课程板块，小慧选择科普活动（即D板块）的情况只有1种，因此概率为$\frac{1}{4}$。
（2）画树状图如下：
由树状图可得，所有等可能的结果共有$4×4=16$种，其中小丽和小慧选择同一个板块课程的结果有（A,A）、（B,B）、（C,C）、（D,D）共4种。
根据概率公式，小丽和小慧选择同一个板块课程的概率为$\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$
(2)解:画树状图如答图.
共有16种等可能的结果,其中小丽和小慧选同一个板块课程的结果有4种，
∴小丽和小慧选同一个板块课程的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
【知识点】
概率公式，树状图法，等可能事件
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，分别考查了单步、两步等可能事件的概率计算，解题核心是正确统计总结果数和符合条件的结果数，掌握列举法（树状图、列表）梳理所有情况是解题关键。
【难度系数】
0.8
5.(2025·徐州沛县开学)经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口,则至少一辆车向右转的概率是 (
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
D
)A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
答案
5.D
解析
【分析】
要计算两辆汽车经过十字路口至少一辆右转的概率，首先明确每辆车有直行、左转、右转3种等可能的选择，总共有9种等可能的结果。解题可选用两种思路：一是用列表法或树状图法列举所有结果，数出至少一辆右转的结果数，再用符合条件的结果数除以总结果数得到概率；二是利用对立事件简化计算，“至少一辆右转”的对立事件是“两辆车都不右转”，先算出对立事件的概率，再用1减去该概率即可得到所求结果。
【解析】
方法一：列举法
每辆车的行驶方向有直行、左转、右转3种等可能的情况，两辆汽车的所有行驶情况如下：
(直,直)、(直,左)、(直,右)、(左,直)、(左,左)、(左,右)、(右,直)、(右,左)、(右,右)，共9种等可能的结果。
其中至少有一辆车向右转的情况有(直,右)、(左,右)、(右,直)、(右,左)、(右,右)，共5种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{5}{9}$。
方法二：对立事件法
“至少一辆车向右转”的对立事件为“两辆车都不向右转”，即两辆车均选择直行或左转。
每辆车不右转的概率为$\frac{2}{3}$，因此两辆车都不右转的概率为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$。
则至少一辆车向右转的概率为$1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率，对立事件概率
【点评】
本题是概率的常规考查题型，核心是明确事件的等可能性，对于“至少”“至多”类的概率问题，优先考虑用对立事件求解可减少运算量，降低列举出错的概率。
【难度系数】
0.7
要计算两辆汽车经过十字路口至少一辆右转的概率，首先明确每辆车有直行、左转、右转3种等可能的选择，总共有9种等可能的结果。解题可选用两种思路：一是用列表法或树状图法列举所有结果，数出至少一辆右转的结果数，再用符合条件的结果数除以总结果数得到概率；二是利用对立事件简化计算，“至少一辆右转”的对立事件是“两辆车都不右转”，先算出对立事件的概率，再用1减去该概率即可得到所求结果。
【解析】
方法一：列举法
每辆车的行驶方向有直行、左转、右转3种等可能的情况，两辆汽车的所有行驶情况如下：
(直,直)、(直,左)、(直,右)、(左,直)、(左,左)、(左,右)、(右,直)、(右,左)、(右,右)，共9种等可能的结果。
其中至少有一辆车向右转的情况有(直,右)、(左,右)、(右,直)、(右,左)、(右,右)，共5种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{5}{9}$。
方法二：对立事件法
“至少一辆车向右转”的对立事件为“两辆车都不向右转”，即两辆车均选择直行或左转。
每辆车不右转的概率为$\frac{2}{3}$，因此两辆车都不右转的概率为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$。
则至少一辆车向右转的概率为$1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率，对立事件概率
【点评】
本题是概率的常规考查题型，核心是明确事件的等可能性，对于“至少”“至多”类的概率问题，优先考虑用对立事件求解可减少运算量，降低列举出错的概率。
【难度系数】
0.7
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC这三个条件中任意选取两个，能使$□ ABCD$是正方形的概率为（
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$
A
）A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$
答案
6.A
解析
【分析】
本题是概率计算与特殊平行四边形判定的综合题，解题思路分为两步：首先列举出从3个条件中任选2个的所有等可能情况，再根据正方形的判定规则判断每种组合是否能让平行四边形ABCD成为正方形，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到概率。需要明确相关判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，同时是矩形和菱形的平行四边形是正方形，以此为依据逐一判断组合是否满足要求。
【解析】
解：从3个条件中任选2个，共有3种等可能的组合，分别为①②、①③、②③，逐一判断如下：
1. 选组合①②：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴ABCD是矩形；
又
∵AC⊥BD，
∴ABCD是菱形；
既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，该组合符合要求。
2. 选组合①③：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴ABCD是矩形；
又
∵AB=BC，
∴ABCD是菱形；
既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，该组合符合要求。
3. 选组合②③：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ABCD是菱形；
又
∵AB=BC，仍只能判定ABCD是菱形，无法判定是正方形，该组合不符合要求。
综上，符合要求的组合共2种，总组合共3种，因此所求概率为$\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
概率计算，正方形的判定，特殊平行四边形的性质
【点评】
本题将概率计算和特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理，准确列举所有选法并正确筛选符合条件的情况，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
本题是概率计算与特殊平行四边形判定的综合题，解题思路分为两步：首先列举出从3个条件中任选2个的所有等可能情况，再根据正方形的判定规则判断每种组合是否能让平行四边形ABCD成为正方形，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到概率。需要明确相关判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，同时是矩形和菱形的平行四边形是正方形，以此为依据逐一判断组合是否满足要求。
【解析】
解：从3个条件中任选2个，共有3种等可能的组合，分别为①②、①③、②③，逐一判断如下：
1. 选组合①②：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴ABCD是矩形；
又
∵AC⊥BD，
∴ABCD是菱形；
既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，该组合符合要求。
2. 选组合①③：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴ABCD是矩形；
又
∵AB=BC，
∴ABCD是菱形；
既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，该组合符合要求。
3. 选组合②③：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ABCD是菱形；
又
∵AB=BC，仍只能判定ABCD是菱形，无法判定是正方形，该组合不符合要求。
综上，符合要求的组合共2种，总组合共3种，因此所求概率为$\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
概率计算，正方形的判定，特殊平行四边形的性质
【点评】
本题将概率计算和特殊四边形的判定结合考查，解题的核心是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理，准确列举所有选法并正确筛选符合条件的情况，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
