登录
7.(2025·南京鼓楼区二模)【材料阅读】算盘是中国传统的计算工具,是由早在春秋时期便已普通使用的筹算逐渐演变而来的,它不但是中国古代的一项重要发明,而且是在阿拉伯数字出现之前曾被人们广为使用的一种计算工具.
【数学应用】把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数,例如,如图摆放的算珠表示数210.
(1)若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上,则构成的数是三位数的概率是
(2)现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上,先放一颗算珠,再放另一颗,请用列表或画树状图的方法,求构成的数是三位数的概率.
【数学应用】把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数,例如,如图摆放的算珠表示数210.
(1)若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上,则构成的数是三位数的概率是
$\frac{1}{3}$
;(2)现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上,先放一颗算珠,再放另一颗,请用列表或画树状图的方法,求构成的数是三位数的概率.
答案
7.(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:画树状图如答图.
共有9种等可能的结果,其中构成的数是三位数的结果有5个,
∴构成的数是三位数的概率为$\frac{5}{9}$.
解析
【分析】
(1) 单颗算珠摆放时，共有放在百位、十位、个位3种等可能的情况，要构成三位数需要保证百位不为0，即算珠放在百位，仅1种符合条件的情况，直接用概率公式计算即可。
(2) 两颗算珠分先后摆放，第一步放第一颗时有百、十、个3种选择，第二步放第二颗时也有3种选择，通过画树状图列出所有等可能的结果，再筛选出百位至少有1颗算珠（即构成三位数）的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 将1颗算珠摆放在3根插棒上，共有3种等可能的结果：放在百位、放在十位、放在个位，其中只有放在百位时能构成三位数，符合条件的结果共1种，
∴ $P(\mathrm{构成三位数})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{1}{3}$。
(2) 根据题意分步分析：第一颗算珠的放置位置有百、十、个3种可能，对应每一种第一颗的放置位置，第二颗算珠也有百、十、个3种放置可能，画出树状图后统计可得总结果数，再筛选百位有算珠的结果数代入公式计算。
由树状图可知，共有$3×3=9$种等可能的结果，其中构成三位数（即百位至少有1颗算珠）的结果共5种，
∴ $P(\mathrm{构成三位数})=\frac{5}{9}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:画树状图如答图.
共有9种等可能的结果,其中构成的数是三位数的结果有5个,
∴构成的数是三位数的概率为$\frac{5}{9}$.
【知识点】
概率计算，树状图法，数位认识
【点评】
本题结合中国传统算盘的背景考查等可能事件概率的求解，解题的关键是明确所有等可能的结果，抓住“构成三位数的核心是百位有算珠”这一要点筛选符合条件的结果，既巩固了概率求解的方法，也渗透了传统文化知识。
【难度系数】
0.7
(1) 单颗算珠摆放时，共有放在百位、十位、个位3种等可能的情况，要构成三位数需要保证百位不为0，即算珠放在百位，仅1种符合条件的情况，直接用概率公式计算即可。
(2) 两颗算珠分先后摆放，第一步放第一颗时有百、十、个3种选择，第二步放第二颗时也有3种选择，通过画树状图列出所有等可能的结果，再筛选出百位至少有1颗算珠（即构成三位数）的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 将1颗算珠摆放在3根插棒上，共有3种等可能的结果：放在百位、放在十位、放在个位，其中只有放在百位时能构成三位数，符合条件的结果共1种，
∴ $P(\mathrm{构成三位数})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{1}{3}$。
(2) 根据题意分步分析：第一颗算珠的放置位置有百、十、个3种可能，对应每一种第一颗的放置位置，第二颗算珠也有百、十、个3种放置可能，画出树状图后统计可得总结果数，再筛选百位有算珠的结果数代入公式计算。
由树状图可知，共有$3×3=9$种等可能的结果，其中构成三位数（即百位至少有1颗算珠）的结果共5种，
∴ $P(\mathrm{构成三位数})=\frac{5}{9}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:画树状图如答图.
共有9种等可能的结果,其中构成的数是三位数的结果有5个,
∴构成的数是三位数的概率为$\frac{5}{9}$.
【知识点】
概率计算，树状图法，数位认识
【点评】
本题结合中国传统算盘的背景考查等可能事件概率的求解，解题的关键是明确所有等可能的结果，抓住“构成三位数的核心是百位有算珠”这一要点筛选符合条件的结果，既巩固了概率求解的方法，也渗透了传统文化知识。
【难度系数】
0.7
8.(2025·泰州二模)甲、乙、丙三位同学参加学校演讲比赛，三人通过抽签决定比赛顺序.
(1)甲抽中1号签的概率是
(2)请用列表法或画树状图法求甲、乙、丙三位同学恰好分别抽中1号签，2号签，3号签的概率.
(1)甲抽中1号签的概率是
$\frac{1}{3}$
；(2)请用列表法或画树状图法求甲、乙、丙三位同学恰好分别抽中1号签，2号签，3号签的概率.
答案
8.(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:画树状图如答图.
由树状图可知:甲、乙、丙三位同学恰好分别抽中1号签，2号签,3号签的概率为$\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
(1) 第一问属于一步等可能概率计算，总共有3个签，甲抽中每个签的可能性相等，直接用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
(2) 第二问是不放回的三步抽签问题，适合用树状图法列举所有等可能结果：先列出1号签的所有可能情况，再对应每个1号签的情况列出2号签的剩余可能，最后对应列出3号签的剩余可能，找到“甲抽1号、乙抽2号、丙抽3号”的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 抽签共有3种等可能的结果，其中甲抽中1号签的结果有1种，因此甲抽中1号签的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：
由树状图可知，总共有6种等可能的结果，其中甲、乙、丙三位同学恰好分别抽中1号签、2号签、3号签的结果有1种，因此该事件的概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)画树状图如答图.
甲、乙、丙三位同学恰好分别抽中1号签，2号签,3号签的概率为$\frac{1}{6}$.
【知识点】
概率公式，树状图法，等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问直接考查概率公式的简单应用，第二问考查用树状图法求解不放回事件的概率，解题时注意不要重复、遗漏列举所有等可能结果即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问属于一步等可能概率计算，总共有3个签，甲抽中每个签的可能性相等，直接用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
(2) 第二问是不放回的三步抽签问题，适合用树状图法列举所有等可能结果：先列出1号签的所有可能情况，再对应每个1号签的情况列出2号签的剩余可能，最后对应列出3号签的剩余可能，找到“甲抽1号、乙抽2号、丙抽3号”的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 抽签共有3种等可能的结果，其中甲抽中1号签的结果有1种，因此甲抽中1号签的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：
由树状图可知，总共有6种等可能的结果，其中甲、乙、丙三位同学恰好分别抽中1号签、2号签、3号签的结果有1种，因此该事件的概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)画树状图如答图.
甲、乙、丙三位同学恰好分别抽中1号签，2号签,3号签的概率为$\frac{1}{6}$.
【知识点】
概率公式，树状图法，等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问直接考查概率公式的简单应用，第二问考查用树状图法求解不放回事件的概率，解题时注意不要重复、遗漏列举所有等可能结果即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
9. 跨学科题 小明学习了九年级物理电学知识后，他选取了四个开关、一个电源、一个小灯泡和若干导线，设计了如图所示的电路图(四个开关都处于断开状态).
(1)若闭合$\mathrm{K}_1$，则任意闭合其余三个开关中的一个，小灯泡能发光的概率为
(2)同时闭合其中的两个开关，求小灯泡能发光的概率.
(1)若闭合$\mathrm{K}_1$，则任意闭合其余三个开关中的一个，小灯泡能发光的概率为
$\frac{1}{3}$
；(2)同时闭合其中的两个开关，求小灯泡能发光的概率.
答案
9.(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:画出树状图如答图.
共有12种等可能的结果,其中小灯泡能发光的结果有6种,所以小灯泡能发光的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
解题首先要明确电路导通让小灯泡发光的条件：干路开关$\mathrm{K_4}$必须闭合，且并联的$\mathrm{K_1}$、$\mathrm{K_2}$、$\mathrm{K_3}$中至少有一个闭合。
(1) 已知已闭合$\mathrm{K_1}$，此时只需再闭合$\mathrm{K_4}$灯泡就能发光。需要从剩余的$\mathrm{K_2}$、$\mathrm{K_3}$、$\mathrm{K_4}$三个开关中选一个闭合，共3种等可能结果，符合发光条件的只有闭合$\mathrm{K_4}$这1种，直接用符合条件的结果数除以总结果数即可得概率。
(2) 同时闭合两个开关属于不放回的等可能事件，用树状图可以枚举所有等可能的结果，再从中筛选出满足灯泡发光条件的结果，用符合条件的结果数除以总结果数就能得到概率。
【解析】
(1) 已闭合$\mathrm{K_1}$，从$\mathrm{K_2}$、$\mathrm{K_3}$、$\mathrm{K_4}$中任意闭合一个开关，共有3种等可能的结果，其中只有闭合$\mathrm{K_4}$时小灯泡能发光，符合条件的结果有1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 同时闭合两个开关，通过树状图枚举所有情况：总共有$4×3=12$种等可能的结果，其中满足小灯泡发光的情况为：两个开关中包含$\mathrm{K_4}$，且另一个开关是$\mathrm{K_1}$、$\mathrm{K_2}$、$\mathrm{K_3}$中的一个，共有6种符合条件的结果，因此小灯泡能发光的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:画出树状图如答图.
共有12种等可能的结果,其中小灯泡能发光的结果有6种,所以小灯泡能发光的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
【知识点】
概率计算；电路通路判断；树状图法求概率
【点评】
本题为跨学科综合题，结合了简单电路知识和概率计算，需要先准确判断电路导通的条件，再利用枚举法统计相关结果计算概率，能够考查学生知识融合应用的能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确电路导通让小灯泡发光的条件：干路开关$\mathrm{K_4}$必须闭合，且并联的$\mathrm{K_1}$、$\mathrm{K_2}$、$\mathrm{K_3}$中至少有一个闭合。
(1) 已知已闭合$\mathrm{K_1}$，此时只需再闭合$\mathrm{K_4}$灯泡就能发光。需要从剩余的$\mathrm{K_2}$、$\mathrm{K_3}$、$\mathrm{K_4}$三个开关中选一个闭合，共3种等可能结果，符合发光条件的只有闭合$\mathrm{K_4}$这1种，直接用符合条件的结果数除以总结果数即可得概率。
(2) 同时闭合两个开关属于不放回的等可能事件，用树状图可以枚举所有等可能的结果，再从中筛选出满足灯泡发光条件的结果，用符合条件的结果数除以总结果数就能得到概率。
【解析】
(1) 已闭合$\mathrm{K_1}$，从$\mathrm{K_2}$、$\mathrm{K_3}$、$\mathrm{K_4}$中任意闭合一个开关，共有3种等可能的结果，其中只有闭合$\mathrm{K_4}$时小灯泡能发光，符合条件的结果有1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 同时闭合两个开关，通过树状图枚举所有情况：总共有$4×3=12$种等可能的结果，其中满足小灯泡发光的情况为：两个开关中包含$\mathrm{K_4}$，且另一个开关是$\mathrm{K_1}$、$\mathrm{K_2}$、$\mathrm{K_3}$中的一个，共有6种符合条件的结果，因此小灯泡能发光的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:画出树状图如答图.
共有12种等可能的结果,其中小灯泡能发光的结果有6种,所以小灯泡能发光的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
【知识点】
概率计算；电路通路判断；树状图法求概率
【点评】
本题为跨学科综合题，结合了简单电路知识和概率计算，需要先准确判断电路导通的条件，再利用枚举法统计相关结果计算概率，能够考查学生知识融合应用的能力。
【难度系数】
0.7
