1. 在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（）

A.使每组数据量相等
B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
C.减少计算复杂度
D.保证组间均值相等

1.B

2.［2026南通如皋期末］在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12，要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）.

根据“组内离差平方和最小”原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是 （）

A.$\{7\}$和$\{9,12,13,15\}$
B.$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$
C.$\{7,9,12\}$和$\{13,15\}$
D.$\{7,9,12,13\}$和$\{15\}$

2.B $\because 6.7 ＜ 14.7 ＜ 18.8 ＜ 22.8,\therefore$ 选项 B 的组内离差平方和最小.

3. 把数据2,8,10,4,12按大小顺序分成两组,能使组内离差平方和达到最小的是 ()

A.$\{2\},\{4,8,10,12\}$
B.$\{2,4\},\{8,10,12\}$
C.$\{2,4,8\},\{10,12\}$
D.$\{2,4,8,10\},\{12\}$

3.B 选项 A 中,$S_{\mathbb{1}}^2 = (2-2)^2 = 0. \because \frac{1}{4} × (4 + 8 + 10 + 12) = 8.5,\therefore S_{\mathbb{2}}^2 = (4 - 8.5)^2 + (8 - 8.5)^2 + (10 - 8.5)^2 + (12 - 8.5)^2 = 35,\therefore S_{\mathbb{1}}^2 + S_{\mathbb{2}}^2 = 0 + 35 = 35.$ 选项 B 中,$\because \frac{1}{2} × (2 + 4) = 3,\therefore S_{\mathbb{1}}^2 = (2 - 3)^2 + (4 - 3)^2 = 2. \because \frac{1}{3} × (8 + 10 + 12) = 10,\therefore S_{\mathbb{2}}^2 = (8 - 10)^2 + (10 - 10)^2 + (12 - 10)^2 = 8,\therefore S_{\mathbb{1}}^2 + S_{\mathbb{2}}^2 = 2 + 8 = 10.$ 选项 C 中,$\because \frac{1}{3} × (2 + 4 + 8) = \frac{14}{3},\therefore S_{\mathbb{1}}^2 = (2 - \frac{14}{3})^2 + (4 - \frac{14}{3})^2 + (8 - \frac{14}{3})^2 = \frac{56}{3}. \because \frac{1}{2} × (10 + 12) = 11,\therefore S_{\mathbb{2}}^2 = (10 - 11)^2 + (12 - 11)^2 = 2,\therefore S_{\mathbb{1}}^2 + S_{\mathbb{2}}^2 = \frac{56}{3} + 2 = \frac{62}{3}.$
选项 D 中,$\because \frac{1}{4} × (2 + 4 + 8 + 10) = 6,\therefore S_{\mathbb{1}}^2 = (2 - 6)^2 + (4 - 6)^2 + (8 - 6)^2 + (10 - 6)^2 = 40. \because S_{\mathbb{2}}^2 = (12 - 12)^2 = 0,$
$\therefore S_{\mathbb{1}}^2 + S_{\mathbb{2}}^2 = 40 + 0 = 40. \because 10 ＜ \frac{62}{3} ＜ 35 ＜ 40,\therefore$ 能使“组内离差平方和达到最小”的是选项 B.

4. [2026杭州期中]将一组数据1,2,3,4,5,6分成前3个一组,后3个一组,则这组数据的组内离差平方和是.

4.4 $\because \frac{1}{3} × (1 + 2 + 3) = 2,\therefore S_{\mathbb{1}}^2 = (1 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 2)^2 = 2. \because \frac{1}{3} × (4 + 5 + 6) = 5,\therefore S_{\mathbb{2}}^2 = (4 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (6 - 5)^2 = 2,\therefore S_{\mathbb{1}}^2 + S_{\mathbb{2}}^2 = 2 + 2 = 4.$

5.将数据5,7,9,13,11按从小到大排序后,将数据分成两组,使得组内离差平方和最小,则数据的分组情况共有种.

5.2 可能的分法有4种,分别为①第一组:5,第二组:7,9,11,13;②第一组:5,7,第二组:9,11,13;③第一组:5,7,9,第二组:11,13;④第一组:5,7,9,11,第二组:13.计算每组的离差平方和,分别为20,10,10,20,
∴离差平方和最小为10,对应的分组为②第一组:5,7,第二组:9,11,13;③第一组:5,7,9,第二组:11,13,共2种.

6. 教材习题变式 已知有8个苹果,它们的直径(单位:mm)分别为:71,72,73,76,78,80,80,81.
(1)直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和第三四分位数.
(2)现要将这8个苹果按直径大小分成两组,使得每组苹果的“个头”差不多,如表是两种不同的分法,请按照“组内离差平方和最小”原则,判断下表哪种分法更合理.
|分法|第一组苹果直径/mm|第二组苹果直径/mm|组内离差平方和|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|第一种分法|71,72,73,76|,80,80,81|18.75|
|第二种分法|71,72,73|76,78,80,80,81|a|

6. 解:(1)众数为80,中位数为77,第三四分位数为80.
(2)在第二种分法中,第一组的平均数 $\bar{x}_1 = \frac{1}{3} × (71 + 72 + 73) = 72$,
第二组的平均数 $\bar{x}_2 = \frac{1}{5} × (76 + 78 + 80 + 80 + 81) = 79$.
$\therefore S_{\mathbb{1}}^2 = (71 - 72)^2 + (72 - 72)^2 + (73 - 72)^2 = 2$,
$S_{\mathbb{2}}^2 = (76 - 79)^2 + (78 - 79)^2 + (80 - 79)^2 + (80 - 79)^2 + (81 - 79)^2 = 16$,
$\therefore a = S_{\mathbb{1}}^2 + S_{\mathbb{2}}^2 = 2 + 16 = 18$.
$\because 18 ＜ 18.75,\therefore$ 第二种分法更合理.