10. 用计算器求271,315,263,289,300,277,286,293,297,280的平均数,结果为,方差为.(结果精确到0.1)

287.1 207.5

11. [2026温州期中]某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班(班级人数相同)学生得分的箱线图(如图),根据该图能判断得分方差最小的班级是 ()


A.甲
B.乙
C.丙
D.无法判断

A 由箱线图可知,甲的数据最集中,波动最小,$\therefore$得分方差最小的班级是甲.

12. [2025苏州模拟]已知一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数是4，方差是3，那么另一组数据$2x_1 - 3,2x_2 - 3,2x_3 - 3,2x_4 - 3,2x_5 - 3$的平均数和方差分别是（）

A.5,12
B.5,3
C.6,12
D.6,3

A $\because$ 数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数是4,$\therefore$ 数据$2x_1 - 3,2x_2 - 3,2x_3 - 3,2x_4 - 3,2x_5 - 3$的平均数是$2×4 - 3 = 5$. $\because$ 数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的方差是3,$\therefore$ 数据$2x_1 - 3,2x_2 - 3,2x_3 - 3,2x_4 - 3,2x_5 - 3$的方差是$2^2×3 = 12$.

13. 新考向·结论开放 若一组数据2,3,4,5,x(x为整数)的方差比另一组数据5,6,7,8,9的方差小,则x可以为.(写出一个满足条件的值即可)

2(答案不唯一) 数据5,6,7,8,9中,相邻2个数相差1,数据2,3,4,5,x中,前4个数中相邻的2个数也相差1. 若x=1或x=6,则两组数据的方差相等,而数据2,3,4,5,x的方差比另一组数据5,6,7,8,9的方差小,所以x可以取2或3或4或5.

14. [2026合肥肥东模拟]已知A,B,C,D,E五个数的平均数为6，方差为3，那么A,B,C,D,E,6这六个数的方差为。

$\because A,B,C,D,E$五个数的平均数为6,$\therefore A+B+C+D+E=5×6=30$,$\therefore A,B,C,D,E,6$的平均数为$\frac{30+6}{6}=6$. $\because A,B,C,D,E$五个数的方差为3,$\therefore (A-6)^2+(B-6)^2+(C-6)^2+(D-6)^2+(E-6)^2=5×3=15$,$\therefore A,B,C,D,E,6$这六个数的方差为$\frac{1}{6}[(A-6)^2+(B-6)^2+(C-6)^2+(D-6)^2+(E-6)^2+(6-6)^2]=\frac{5}{2}$.

15. [2026南京科利华中学月考]若一组数据$m,m+1,m+2,m+3,x$的方差与另一组数据$m+5,m+6,m+7,m+8,m+9$的方差相等,则$x$的值为.(用含$m$的代数式表示)

$m+4$或$m-1$ $\because$ 数据$m+5,m+6,m+7,m+8,m+9$的方差与5,6,7,8,9的方差相等,数据$m,m+1,m+2,m+3,x$的方差与另一组数据$m+5,m+6,m+7,m+8,m+9$的方差相等,$\therefore m,m+1,m+2,m+3,x$的方差与5,6,7,8,9的方差相等. $\because 5$个连续整数的方差都相等,$\therefore m,m+1,m+2,m+3,x$中不含字母m的部分是连续整数,$\therefore 0,1,2,3,x-m$是连续整数,$\therefore x-m=4$或$-1$,$\therefore x=m+4$或$m-1$.

16. 运算能力 [2023北京中考]某校舞蹈队共16名学生,测量并获取了所有学生的身高(单位:cm),数据整理如下:
a.16名学生的身高:161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175.
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数:
| 平均数 | 中位数 | 众数 |
| ---- | ---- | ---- |
| 166.75 | m | n |
(1)求表中$m,n$的值.
(2)对于不同组的学生,如果一组学生的身高的方差越小,则认为该组舞台呈现效果越好,据此推断:在下列两组学生中,舞台呈现效果更好的是.(填“甲组”或“乙组”)
| 甲组学生的身高 | 162 | 165 | 165 | 166 | 166 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 乙组学生的身高 | 161 | 162 | 164 | 165 | 175 |
(3)该舞蹈队要选5名学生参加比赛,已确定3名学生参赛,他们的身高分别为168 cm,168 cm,172 cm,他们的身高的方差为$\frac{32}{9}\ \mathrm{cm}^2$.在选另外2名学生时,首先要求所选的2名学生与已确定的3名学生所组成的5名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}\ \mathrm{cm}^2$,其次要求所选的2名学生与已确定的3名学生所组成的5名学生的身高的平均数尽可能大,则选出的另外2名学生的身高分别为和.

解:(1)数据按由小到大的顺序排列如下:161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175,
则舞蹈队16名学生身高的中位数$m=\frac{166+166}{2}=166$,众数$n=165$.
(2)甲组
甲组学生身高的平均数是$\frac{162 + 165 + 165 + 166 + 166}{5}=164.8(\mathrm{cm})$,甲组学生身高的方差是$\frac{1}{5}×[(162 - 164.8)^2 + (165 - 164.8)^2 + (165 - 164.8)^2 + (166 - 164.8)^2 + (166 - 164.8)^2] = 2.16(\mathrm{cm}^2).$
乙组学生身高的平均数是$\frac{161 + 162 + 164 + 165 + 175}{5}=165.4(\mathrm{cm})$,乙组学生身高的方差是$\frac{1}{5}×[(161 - 165.4)^2 + (162 - 165.4)^2 + (164 - 165.4)^2 + (165 - 165.4)^2 + (175 - 165.4)^2] = 25.04(\mathrm{cm}^2).$ $\because 25.04 ＞ 2.16$,$\therefore$甲组舞台呈现效果更好.
(3)170 cm 172 cm
$\because 168\ \mathrm{cm},168\ \mathrm{cm},172\ \mathrm{cm}$ 的平均数为$\frac{1}{3}×(168 + 168 + 172)=169\frac{1}{3}(\mathrm{cm})$,且所选的2名学生与已确定的3名学生所组成的5名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}\ \mathrm{cm}^2$,$\therefore$数据的差别较小,可供选择的有170 cm,172 cm,此时平均数为$\frac{1}{5}×(168 + 168 + 170 + 172 + 172) = 170(\mathrm{cm})$,方差为$\frac{1}{5}×[(168 - 170)^2 + (168 - 170)^2 + (170 - 170)^2 + (172 - 170)^2 + (172 - 170)^2] = 3.2(\mathrm{cm}^2).$ $\because 3.2 ＜ \frac{32}{9}$,$\therefore$选出的另外2名学生的身高分别为170 cm 和172 cm.