1 鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线.设切8刀最多可将鸡蛋饼分成m块，最少分成n块，则$m-n$的值为 （）

A.28
B.26
C.24
D.22

1. A 【解析】根据题意可知,$n=1+8=9$.因为求最多块数时,切1刀可将鸡蛋饼分成的块数为$2=1+1$;切2刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为$4=1+1+2$;切3刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为$7=1+1+2+3$;…,所以切$k$($k$ 为正整数)刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为 $1+1+2+3+\dots +k=\frac{k(k+1)}{2}+1$.所以切8刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为$\frac{8×(8+1)}{2}+1=37$,即 $m=37$.所以 $m-n=37-9=28$.

【分析】
要解决这道题，需分别求出切8刀时鸡蛋饼被分成的最多块数m和最少块数n，再计算二者差值。首先分析最少块数的情况：要让分割块数最少，每一刀都和之前的所有刀平行，每切一刀仅新增1块，可直接算出n。再分析最多块数的情况：要让分割块数最多，每新切的1刀都要和之前所有刀相交，且无3条及以上直线交于同一点，此时切第k刀就会新增k块，通过列举前几刀的块数找到规律，推导通用公式后代入k=8算出m，最后求m-n即可。
【解析】
①计算最少块数n：
初始状态鸡蛋饼为1块，每切1刀且与之前所有刀平行时，仅新增1块，因此切8刀最少分成的块数为$n=1+8=9$。
②计算最多块数m：
通过列举找规律：
切1刀最多分：$2=1+1$块；
切2刀最多分：$4=1+1+2$块；
切3刀最多分：$7=1+1+2+3$块；
……
由此可得，切k刀最多可分成的块数为$1+1+2+3+\dots +k=\frac{k(k+1)}{2}+1$。
当$k=8$时，$m=\frac{8×(8+1)}{2}+1=36+1=37$。
③计算差值：$m-n=37-9=28$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线分割平面规律，归纳探究规律
【点评】
本题属于几何分割类规律探究题，需要明确最多、最少两种分割情况的前提条件，通过从简单情形入手归纳通用规律，再代入数值求解，能有效考察逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7

2 鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线. 如图①，切1刀将饼分成2块；如图②，切2刀可将饼分成3块；如图③，若切2刀在饼内有1个交点（不含边界），最多可将饼分成4块；如图④，切3刀在饼内最多有3个交点（不含边界），最多可将饼分成7块. 若切a刀在饼内最多有b个交点（不含边界），最多可将饼分成c块，则a，b，c之间的数量关系是.

2. $c=a+b+1$ 【解析】由题知,切1刀在饼内的交点个数为0,可将饼分成的块数为$2=1+1$;切2刀在饼内最多的交点个数为1,可将饼分成的最多块数为$4=1+2+1$;切3刀在饼内最多的交点个数为$3=1+2$,可将饼分成的最多块数为$7=1+2+3+1$;切4刀在饼内最多的交点个数为$6=1+2+3$,可将饼分成的最多块数为$11=1+2+3+4+1$;…,所以切$a$ 刀在饼内最多的交点个数为 $1+2+3+\dots +a-1=\frac{a(a-1)}{2}$,可将饼分成的最多块数为 $1+2+3+\dots +a+1=\frac{a(a+1)}{2}+1$. 所以 $b=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}a$,$c=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}a+1$.所以 $c=a+b+1$.

【分析】
解题时先从给出的具体分割实例入手，先整理不同刀数$a$对应的最多交点数$b$、最多分块数$c$的具体数值，先通过具体数值初步观察三个量的关联，再分别推导$b$和$a$的数量关系、$c$和$a$的数量关系，最终整理得到$a$、$b$、$c$三者的通用关系，也可直接代入每组具体数值验证归纳结论。
【解析】
首先整理已知的对应数值：
1. 切1刀时，$a=1$，饼内最多交点$b=0$，最多分块$c=2$，满足$2=1+0+1$；
2. 切2刀时，$a=2$，饼内最多交点$b=1$，最多分块$c=4$，满足$4=2+1+1$；
3. 切3刀时，$a=3$，饼内最多交点$b=3$，最多分块$c=7$，满足$7=3+3+1$。
再推导通用规律：
① 最多交点$b$的规律：要使交点最多，每新增1条直线都要和之前所有直线相交且交点不重合，因此$a$刀的最多交点总数为$1+2+3+\dots+(a-1)$，即$b=\frac{a(a-1)}{2}$；
② 最多分块$c$的规律：要使分块最多，每新增1条直线都要和之前所有直线相交，新增块数等于当前刀数，因此$a$刀的最多总块数为$1+(1+2+3+\dots+a)$，即$c=1+\frac{a(a+1)}{2}$。
将$b=\frac{a(a-1)}{2}$代入$c$的表达式：
$c=1+\frac{a(a+1)}{2}=1+\frac{a(a-1)}{2}+a=1+b+a$，即$c=a+b+1$。
【答案】
$c=a+b+1$
【知识点】
规律探究，直线相交交点，图形分割
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要结合图形分割的特点，从具体实例出发归纳通用数量关系，重点考查观察、归纳能力和简单的整式推导能力，也可通过代入具体数值验证的方法快速得到结论。
【难度系数】
0.65

3【问题情境】课本196页有这样一个数学探究:鸡蛋饼的分割.小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题:鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面,分割的每一刀都可以抽象为一条直线,鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题.
【数学问题】分割线的条数、分割线的最多交点个数、分割出的最多平面区域个数之间存在什么样的数量关系?
【问题探究】为了解决这个问题,我们利用图①②③④,并借助表格探索圆中分割线的条数$m$、分割线的最多交点个数$n$、分割出的最多平面区域个数$t$之间的一般规律.

【问题解决】
（1）请在图④中用四条分割线将圆面分割出最多的平面区域,并画出分割后的图形.
（2）将表格中的数据补充完整:$x=$,$y=$.
（3）猜想:圆中分割线的条数$m$、分割线的最多交点个数$n$、分割出的最多平面区域个数$t$之间的数量关系为.
（4）根据以上规律,你能用10条分割线将一个圆面分割出57个平面区域吗?请说明理由.

3.（1） （2）6 11 （3）$t-m-n=1$ （4）不能 理由:2条分割线最多有1个交点,3条分割线最多有 $1+2=3$(个)交点,4条分割线最多有 $1+2+3=6$(个)交点,5条分割线最多有$1+2+3+4=10$(个)交点,6条分割线最多有 $1+2+3+4+5=15$(个)交点,…,10 条分割线最多有 $1+2+3+\dots +9=\frac{1}{2}×(1+9)×9=45$(个)交点. 根据(3)中的结论,得 10 条分割线将圆面分割出的平面区域个数最多为 $10+45+1=56$. 因为 $56＜57$,所以不能用 10 条分割线将一个圆面分割出 57 个平面区域.

【分析】
本题属于直线分平面的规律探究题，解题思路如下：1. 要使分割的区域最多，需保证每新增一条分割线都和之前所有的分割线相交，且不存在三条及以上分割线交于同一点的情况，据此完成第(1)问作图；2. 从少量分割线的情况入手，分别计算最多交点数和最多区域数，总结规律填写第(2)问的x、y；3. 对比多组m、n、t的数值，推导三者的数量关系；4. 先计算10条分割线的最多交点数，再代入得到的数量关系求出最多区域数，和57比较即可判断是否可行。
【解析】
(1) 作图要求：画出4条两两相交，且任意三条不共点的直线即可，此时分割的区域最多。
(2) 计算最多交点数：2条分割线最多1个交点，3条分割线最多$1+2=3$个交点，4条分割线最多$1+2+3=6$个交点，故$x=6$；
计算最多区域数：1条线分2个区域，2条线最多分4个区域，3条线最多分7个区域，4条线最多分$7+4=11$个区域，故$y=11$。
(3) 代入多组数据验证：$m=1$时$n=0、t=2$，$m=2$时$n=1、t=4$，$m=3$时$n=3、t=7$，$m=4$时$n=6、t=11$，均满足$t=m+n+1$，整理可得$t-m-n=1$。
(4) 首先计算10条分割线的最多交点数：10条分割线最多交点数为$1+2+3+\dots+9=\frac{1}{2}×(1+9)×9=45$个；代入(3)的结论得最多区域数为$10+45+1=56$，因为$56＜57$，因此无法分割出57个区域。
【答案】
（1）
（2）$6$；$11$
（3）$t-m-n=1$（或$t=m+n+1$）
（4）不能，理由：2条分割线最多有1个交点，3条分割线最多有 $1+2=3$(个)交点，4条分割线最多有 $1+2+3=6$(个)交点，5条分割线最多有$1+2+3+4=10$(个)交点，6条分割线最多有 $1+2+3+4+5=15$(个)交点,…,10 条分割线最多有 $1+2+3+\dots +9=\frac{1}{2}×(1+9)×9=45$(个)交点。 根据(3)中的结论,得 10 条分割线将圆面分割出的平面区域个数最多为 $10+45+1=56$. 因为 $56＜57$,所以不能用 10 条分割线将一个圆面分割出 57 个平面区域。
【知识点】
直线分区域规律，归纳猜想，代数式求值
【点评】
本题以生活中的切鸡蛋饼为背景，考查规律探究类问题的解法，需要从简单情形出发归纳一般规律，再应用规律解决问题，能有效锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6