登录
21 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F。连接AC，若∠ACD=∠BAD。
（1）求证：DG ⊥ AB。
（2）若AB=6，tan∠FCB=3，求⊙O的半径。
（1）求证：DG ⊥ AB。
（2）若AB=6，tan∠FCB=3，求⊙O的半径。
答案
21.（1）连接$AG$。由圆周角定理,得$∠ ACD = ∠ AGD$。因为$∠ ACD = ∠ BAD$,所以$∠ BAD = ∠ AGD$。因为$DG$为$\odot O$的直径,所以$∠ DAG = 90°$,所以$∠ BAD + ∠ BAG = 90°$,所以$∠ AGD + ∠ BAG = 90°$,所以$∠ AEG = 90°$,即$DG ⊥ AB$。
(2) 因为四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,所以$∠ FCB = ∠ BAD$。因为$\tan ∠ FCB = 3$,所以$\tan ∠ BAD = \frac{DE}{AE}=3$。连接$OA$,由垂径定理得$AE = \frac{1}{2}AB = 3$,所以$DE = 9$。在$\mathrm{Rt}△ OEA$中,$OE^2 + AE^2 = OA^2$,设$\odot O$半径为$r$,则有$(9-r)^2 + 3^2 = r^2$,解得$r=5$,所以$\odot O$的半径为5。
(2) 因为四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,所以$∠ FCB = ∠ BAD$。因为$\tan ∠ FCB = 3$,所以$\tan ∠ BAD = \frac{DE}{AE}=3$。连接$OA$,由垂径定理得$AE = \frac{1}{2}AB = 3$,所以$DE = 9$。在$\mathrm{Rt}△ OEA$中,$OE^2 + AE^2 = OA^2$,设$\odot O$半径为$r$,则有$(9-r)^2 + 3^2 = r^2$,解得$r=5$,所以$\odot O$的半径为5。
解析
【分析】
（1）要证DG⊥AB，即需证∠AEG=90°。已知∠ACD=∠BAD，根据同弧所对圆周角相等，可将∠ACD转化为同弧AD所对的∠AGD，因此先连接AG构造圆周角；再结合DG是直径，直径所对圆周角为直角，可得∠DAG=90°，通过角的等量代换即可推出∠AEG=90°，证明垂直。
（2）求⊙O半径，首先利用圆内接四边形外角等于内对角的性质，可得∠FCB=∠BAD，结合正切值可得到DE与AE的比值；再由（1）的垂直结论，根据垂径定理可得AE的长度，进而求出DE的长；最后连接OA，设半径为r，在Rt△OEA中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：连接AG。
根据圆周角定理，同弧AD所对的圆周角相等，得$∠ ACD = ∠ AGD$。
$\because ∠ ACD = ∠ BAD$，$\therefore ∠ BAD = ∠ AGD$。
$\because DG$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ DAG = 90°$，即$∠ BAD + ∠ BAG = 90°$。
将$∠ BAD$替换为$∠ AGD$，得$∠ AGD + ∠ BAG = 90°$，$\therefore ∠ AEG = 180° - 90° = 90°$，即$DG ⊥ AB$。
（2）解：$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形外角等于内对角的性质，得$∠ FCB = ∠ BAD$。
$\because \tan∠ FCB = 3$，$\therefore \tan∠ BAD = 3$。
由（1）知$DG ⊥ AB$，即$△ AED$为直角三角形，$\therefore \tan∠ BAD = \frac{DE}{AE} = 3$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，得$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
$\therefore DE = 3 × AE = 3 × 3 = 9$。
连接$OA$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OA = r$，$OE = DE - OD = 9 - r$。
在$Rt△ OEA$中，由勾股定理得$OE^2 + AE^2 = OA^2$，代入得：
$(9-r)^2 + 3^2 = r^2$
展开化简得$90 - 18r = 0$，解得$r=5$。
【答案】
（1）$DG ⊥ AB$得证；
（2）$\boxed{5}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题关键是合理添加辅助线构造圆周角和直角三角形，将角的等量关系转化为线段比例关系，再结合勾股定理列方程求解，能有效考查对圆的核心性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证DG⊥AB，即需证∠AEG=90°。已知∠ACD=∠BAD，根据同弧所对圆周角相等，可将∠ACD转化为同弧AD所对的∠AGD，因此先连接AG构造圆周角；再结合DG是直径，直径所对圆周角为直角，可得∠DAG=90°，通过角的等量代换即可推出∠AEG=90°，证明垂直。
（2）求⊙O半径，首先利用圆内接四边形外角等于内对角的性质，可得∠FCB=∠BAD，结合正切值可得到DE与AE的比值；再由（1）的垂直结论，根据垂径定理可得AE的长度，进而求出DE的长；最后连接OA，设半径为r，在Rt△OEA中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：连接AG。
根据圆周角定理，同弧AD所对的圆周角相等，得$∠ ACD = ∠ AGD$。
$\because ∠ ACD = ∠ BAD$，$\therefore ∠ BAD = ∠ AGD$。
$\because DG$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ DAG = 90°$，即$∠ BAD + ∠ BAG = 90°$。
将$∠ BAD$替换为$∠ AGD$，得$∠ AGD + ∠ BAG = 90°$，$\therefore ∠ AEG = 180° - 90° = 90°$，即$DG ⊥ AB$。
（2）解：$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形外角等于内对角的性质，得$∠ FCB = ∠ BAD$。
$\because \tan∠ FCB = 3$，$\therefore \tan∠ BAD = 3$。
由（1）知$DG ⊥ AB$，即$△ AED$为直角三角形，$\therefore \tan∠ BAD = \frac{DE}{AE} = 3$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，得$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
$\therefore DE = 3 × AE = 3 × 3 = 9$。
连接$OA$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OA = r$，$OE = DE - OD = 9 - r$。
在$Rt△ OEA$中，由勾股定理得$OE^2 + AE^2 = OA^2$，代入得：
$(9-r)^2 + 3^2 = r^2$
展开化简得$90 - 18r = 0$，解得$r=5$。
【答案】
（1）$DG ⊥ AB$得证；
（2）$\boxed{5}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题关键是合理添加辅助线构造圆周角和直角三角形，将角的等量关系转化为线段比例关系，再结合勾股定理列方程求解，能有效考查对圆的核心性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.6
22 如图①，正方形ABCD内接于$\odot O$，E为$\overset{\frown}{CD}$上任意一点，连接DE、AE。
（1）求$∠ AED$的度数。
（2）如图②，过点B作$BF // DE$交$\odot O$于点F，连接AF。若$AF=1$，$AE=4$，求DE的长度。
（1）求$∠ AED$的度数。
（2）如图②，过点B作$BF // DE$交$\odot O$于点F，连接AF。若$AF=1$，$AE=4$，求DE的长度。
答案
22.（1）连接$OA$、$OD$。因为四边形$ABCD$是正方形,所以$∠ AOD = 90°$,由圆周角定理,可得$∠ AED = \frac{1}{2}∠ AOD = 45°$。
(2) 如图,连接$CF$、$CE$、$CA$、$BD$,作$DH ⊥ AE$于点$H$。因为$BF // DE$,$AB // CD$,所以$∠ BDE = ∠ DBF$,$∠ BDC = ∠ ABD$,所以$∠ ABF = ∠ CDE$。因为$∠ CFA = ∠ AEC = 90°$,所以$∠ DEC = ∠ AFB = 135°$。因为$CD = AB$,所以$△ CDE ≌ △ ABF$,所以$AF = CE = 1$,所以$AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{17}$,所以$AD = \frac{\sqrt{2}}{2}AC = \frac{\sqrt{34}}{2}$。因为$∠ DHE = 90°$,所以$∠ HDE = ∠ HED = 45°$,所以$DH = HE$。设$DH = EH = x$。在$\mathrm{Rt}△ ADH$中,因为$AD^2 = AH^2 + DH^2$,所以$\frac{34}{4}=(4-x)^2 + x^2$,解得$x = \frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$(舍),所以$DE = \sqrt{2}DH = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
（1）要计算∠AED的度数，首先观察到∠AED是$\odot O$中$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据圆周角定理，只需求出$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角即可。正方形内接于圆时，相邻顶点与圆心连线的夹角（中心角）为90°，代入圆周角定理即可得结果。
（2）求DE的长度时，首先利用BF//DE和正方形对边平行的性质推导角相等，证明△CDE≌△ABF，将AF的长度转化为CE的长度；再结合AC是$\odot O$的直径，得到△AEC为直角三角形，用勾股定理求出AC，进而得到正方形的边长AD；最后过D作AE的垂线，构造等腰直角三角形和直角三角形，设未知数列勾股方程求解，舍去不合理的解后即可得到DE的长度。
【解析】
（1）连接$OA$、$OD$。
∵ 四边形ABCD是正方形，内接于$\odot O$，
∴ 圆心角$∠ AOD = \frac{360°}{4}=90°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ $∠ AED = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2}×90°=45°$。
（2）连接$CF$、$CE$、$CA$、$BD$，作$DH ⊥ AE$于点$H$。
∵ $BF // DE$，$AB // CD$，
∴ $∠ BDE = ∠ DBF$，$∠ BDC = ∠ ABD$，
两式相加得$∠ CDE = ∠ ABF$。
∵ AC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CFA = ∠ AEC = 90°$，
结合$∠ AED=45°$，可得$∠ DEC = ∠ AFB = 135°$。
又
∵ $CD = AB$，
∴ $△ CDE ≌ △ ABF$（AAS），
∴ $CE = AF = 1$。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
∵ 正方形对角线$AC=\sqrt{2}AD$，
∴ $AD = \frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{34}}{2}$。
∵ $DH⊥ AE$，$∠ AED=45°$，
∴ $△ DHE$是等腰直角三角形，即$DH=HE$。
设$DH=HE=x$，则$AH=4-x$，
在$\mathrm{Rt}△ ADH$中，由勾股定理得$AD^2=AH^2+DH^2$，
代入得：$\frac{34}{4}=(4-x)^2+x^2$，
解得$x=\frac{3}{2}$或$x=\frac{5}{2}$（舍去），
∴ $DE = \sqrt{2}DH=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{45°}$
（2）$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 正方形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的综合题，解题核心是合理添加辅助线，通过圆周角定理转化角度关系，结合全等三角形、勾股定理完成线段长度计算，能够较好地考察几何综合分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.5
（1）要计算∠AED的度数，首先观察到∠AED是$\odot O$中$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据圆周角定理，只需求出$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角即可。正方形内接于圆时，相邻顶点与圆心连线的夹角（中心角）为90°，代入圆周角定理即可得结果。
（2）求DE的长度时，首先利用BF//DE和正方形对边平行的性质推导角相等，证明△CDE≌△ABF，将AF的长度转化为CE的长度；再结合AC是$\odot O$的直径，得到△AEC为直角三角形，用勾股定理求出AC，进而得到正方形的边长AD；最后过D作AE的垂线，构造等腰直角三角形和直角三角形，设未知数列勾股方程求解，舍去不合理的解后即可得到DE的长度。
【解析】
（1）连接$OA$、$OD$。
∵ 四边形ABCD是正方形，内接于$\odot O$，
∴ 圆心角$∠ AOD = \frac{360°}{4}=90°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ $∠ AED = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2}×90°=45°$。
（2）连接$CF$、$CE$、$CA$、$BD$，作$DH ⊥ AE$于点$H$。
∵ $BF // DE$，$AB // CD$，
∴ $∠ BDE = ∠ DBF$，$∠ BDC = ∠ ABD$，
两式相加得$∠ CDE = ∠ ABF$。
∵ AC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CFA = ∠ AEC = 90°$，
结合$∠ AED=45°$，可得$∠ DEC = ∠ AFB = 135°$。
又
∵ $CD = AB$，
∴ $△ CDE ≌ △ ABF$（AAS），
∴ $CE = AF = 1$。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
∵ 正方形对角线$AC=\sqrt{2}AD$，
∴ $AD = \frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{34}}{2}$。
∵ $DH⊥ AE$，$∠ AED=45°$，
∴ $△ DHE$是等腰直角三角形，即$DH=HE$。
设$DH=HE=x$，则$AH=4-x$，
在$\mathrm{Rt}△ ADH$中，由勾股定理得$AD^2=AH^2+DH^2$，
代入得：$\frac{34}{4}=(4-x)^2+x^2$，
解得$x=\frac{3}{2}$或$x=\frac{5}{2}$（舍去），
∴ $DE = \sqrt{2}DH=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{45°}$
（2）$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 正方形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的综合题，解题核心是合理添加辅助线，通过圆周角定理转化角度关系，结合全等三角形、勾股定理完成线段长度计算，能够较好地考察几何综合分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.5
23 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，连接BD交AC于点P。
（1）求∠EDC的度数。
（2）若$AC=2\sqrt{5}DE$，求$\tan∠ ABD$的值。
（3）若$∠ DPC=45°$，$PD^2+PB^2=8$，求AC的长。
第23题图
（1）求∠EDC的度数。
（2）若$AC=2\sqrt{5}DE$，求$\tan∠ ABD$的值。
（3）若$∠ DPC=45°$，$PD^2+PB^2=8$，求AC的长。
第23题图答案
23.（1）因为$AC$是$\odot O$的直径,所以$∠ ADC = 90°$,因为$∠ ADC + ∠ EDC = 180°$,所以$∠ EDC = 90°$。
(2) 因为$∠ CAE + ∠ E = 90°$,$∠ CAE + ∠ ACD = 90°$,所以$∠ E = ∠ ACD$。又因为$∠ ACE = ∠ ADC = 90°$,所以$△ ACE ∽ △ ADC$,所以$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}$,即$AC^2 = AD · AE$。设$DE = x$,则$AC = 2\sqrt{5}x$,即$(2\sqrt{5}x)^2 = AD(AD + x)$,得$AD^2 + AD · x - 20x^2 = 0$,解得$AD = 4x$或$AD = -5x$(舍),所以$DC = \sqrt{(2\sqrt{5}x)^2 - (4x)^2} = 2x$。由圆周角定理,得$∠ ABD = ∠ ACD$,所以$\tan ∠ ABD = \tan ∠ ACD = \frac{AD}{DC} = \frac{4x}{2x} = 2$。
(3) 过点$O$作$OG ⊥ BD$于点$G$。由垂径定理,得$BG = DG$。设$BG = DG = m$,则$PD = m + PG$,$PB = m - PG$。因为$PD^2 + PB^2 = 8$,所以$(m + PG)^2 + (m - PG)^2 = 8$,整理得$2m^2 + 2PG^2 = 8$,即$m^2 + PG^2 = 4$。因为$∠ DPC = 45°$,所以$OG = PG$,所以$OD^2 = DG^2 + OG^2 = 4$,所以$\odot O$的半径为2,所以$AC = 4$。
(2) 因为$∠ CAE + ∠ E = 90°$,$∠ CAE + ∠ ACD = 90°$,所以$∠ E = ∠ ACD$。又因为$∠ ACE = ∠ ADC = 90°$,所以$△ ACE ∽ △ ADC$,所以$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}$,即$AC^2 = AD · AE$。设$DE = x$,则$AC = 2\sqrt{5}x$,即$(2\sqrt{5}x)^2 = AD(AD + x)$,得$AD^2 + AD · x - 20x^2 = 0$,解得$AD = 4x$或$AD = -5x$(舍),所以$DC = \sqrt{(2\sqrt{5}x)^2 - (4x)^2} = 2x$。由圆周角定理,得$∠ ABD = ∠ ACD$,所以$\tan ∠ ABD = \tan ∠ ACD = \frac{AD}{DC} = \frac{4x}{2x} = 2$。
(3) 过点$O$作$OG ⊥ BD$于点$G$。由垂径定理,得$BG = DG$。设$BG = DG = m$,则$PD = m + PG$,$PB = m - PG$。因为$PD^2 + PB^2 = 8$,所以$(m + PG)^2 + (m - PG)^2 = 8$,整理得$2m^2 + 2PG^2 = 8$,即$m^2 + PG^2 = 4$。因为$∠ DPC = 45°$,所以$OG = PG$,所以$OD^2 = DG^2 + OG^2 = 4$,所以$\odot O$的半径为2,所以$AC = 4$。
解析
【分析】
（1）第一问先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，再根据邻补角的定义即可求出∠EDC的度数。
（2）第二问先通过同角的余角相等推出∠E=∠ACD，结合两个直角证明△ACE∽△ADC，得到等积式$AC^2=AD·AE$；再设$DE=x$，将AC用含x的式子表示后代入等积式，求解得到AD的长度，再用勾股定理求出DC的长度；最后根据圆周角定理将∠ABD转化为∠ACD，计算正切值即可。
（3）第三问遇到线段平方和的条件，先作辅助线OG⊥BD，利用垂径定理得到BG=DG，将PD、PB用含DG、PG的式子表示，代入$PD^2+PB^2=8$化简，再结合∠DPC=45°得到OG=PG，用勾股定理求出圆的半径，即可得到直径AC的长度。
【解析】
（1）
∵AC是⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角∠ADC=90°，
又
∵∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠EDC=180°-90°=90°。
（2）
∵CE⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠E=90°，
又
∵∠ADC=90°，
∴∠CAE+∠ACD=90°，
∴∠E=∠ACD，
又
∵∠ACE=∠ADC=90°，
∴△ACE∽△ADC，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}$，即$AC^2=AD·AE$。
设$DE=x$，由题意得$AC=2\sqrt{5}x$，$AE=AD+DE=AD+x$，
代入得：$(2\sqrt{5}x)^2=AD(AD+x)$，
整理得：$AD^2+AD·x-20x^2=0$，
解得$AD=4x$或$AD=-5x$（线段长度为正，舍去），
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{5}x)^2-(4x)^2}=\sqrt{20x^2-16x^2}=2x$，
由圆周角定理得：∠ABD=∠ACD，
∴$\tan∠ABD=\tan∠ACD=\frac{AD}{DC}=\frac{4x}{2x}=2$。
（3）过点O作OG⊥BD于点G，
由垂径定理得：BG=DG，
设$BG=DG=m$，$PG=n$，
则$PD=DG+PG=m+n$，$PB=BG-PG=m-n$，
∵$PD^2+PB^2=8$，
∴$(m+n)^2+(m-n)^2=8$，
展开得：$m^2+2mn+n^2+m^2-2mn+n^2=8$，
整理得：$2m^2+2n^2=8$，即$m^2+n^2=4$。
∵∠DPC=45°，OG⊥BD，
∴△OGP是等腰直角三角形，
∴OG=PG=n，
在Rt△ODG中，由勾股定理得：
$OD^2=DG^2+OG^2=m^2+n^2=4$，
∴$OD=2$（半径为正），
∴⊙O的直径$AC=2OD=4$。
【答案】
（1）$\boxed{90°}$；（2）$\boxed{2}$；（3）$\boxed{4}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理
【点评】
本题是圆的综合题，将圆的性质与相似三角形、勾股定理相结合，解题时注意利用圆周角定理实现角的转化，第三问通过作垂线结合垂径定理和完全平方公式变形简化计算，考查了转化思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
（1）第一问先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，再根据邻补角的定义即可求出∠EDC的度数。
（2）第二问先通过同角的余角相等推出∠E=∠ACD，结合两个直角证明△ACE∽△ADC，得到等积式$AC^2=AD·AE$；再设$DE=x$，将AC用含x的式子表示后代入等积式，求解得到AD的长度，再用勾股定理求出DC的长度；最后根据圆周角定理将∠ABD转化为∠ACD，计算正切值即可。
（3）第三问遇到线段平方和的条件，先作辅助线OG⊥BD，利用垂径定理得到BG=DG，将PD、PB用含DG、PG的式子表示，代入$PD^2+PB^2=8$化简，再结合∠DPC=45°得到OG=PG，用勾股定理求出圆的半径，即可得到直径AC的长度。
【解析】
（1）
∵AC是⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角∠ADC=90°，
又
∵∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠EDC=180°-90°=90°。
（2）
∵CE⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠E=90°，
又
∵∠ADC=90°，
∴∠CAE+∠ACD=90°，
∴∠E=∠ACD，
又
∵∠ACE=∠ADC=90°，
∴△ACE∽△ADC，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}$，即$AC^2=AD·AE$。
设$DE=x$，由题意得$AC=2\sqrt{5}x$，$AE=AD+DE=AD+x$，
代入得：$(2\sqrt{5}x)^2=AD(AD+x)$，
整理得：$AD^2+AD·x-20x^2=0$，
解得$AD=4x$或$AD=-5x$（线段长度为正，舍去），
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{5}x)^2-(4x)^2}=\sqrt{20x^2-16x^2}=2x$，
由圆周角定理得：∠ABD=∠ACD，
∴$\tan∠ABD=\tan∠ACD=\frac{AD}{DC}=\frac{4x}{2x}=2$。
（3）过点O作OG⊥BD于点G，
由垂径定理得：BG=DG，
设$BG=DG=m$，$PG=n$，
则$PD=DG+PG=m+n$，$PB=BG-PG=m-n$，
∵$PD^2+PB^2=8$，
∴$(m+n)^2+(m-n)^2=8$，
展开得：$m^2+2mn+n^2+m^2-2mn+n^2=8$，
整理得：$2m^2+2n^2=8$，即$m^2+n^2=4$。
∵∠DPC=45°，OG⊥BD，
∴△OGP是等腰直角三角形，
∴OG=PG=n，
在Rt△ODG中，由勾股定理得：
$OD^2=DG^2+OG^2=m^2+n^2=4$，
∴$OD=2$（半径为正），
∴⊙O的直径$AC=2OD=4$。
【答案】
（1）$\boxed{90°}$；（2）$\boxed{2}$；（3）$\boxed{4}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理
【点评】
本题是圆的综合题，将圆的性质与相似三角形、勾股定理相结合，解题时注意利用圆周角定理实现角的转化，第三问通过作垂线结合垂径定理和完全平方公式变形简化计算，考查了转化思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
