登录
16 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D=120°，直径CE垂直于弦AB于点F，若AB=6√3，则⊙O的半径长为
6
。答案
16.6
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：第一步，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠D的度数求出∠ABC的度数；第二步，根据垂径定理，由直径CE垂直AB得出BF的长度，同时得到Rt△BFC；第三步，在Rt△BFC中求出∠BCF的度数，再利用圆周角定理得到对应圆心角∠BOF的度数；第四步，在Rt△BOF中通过三角函数或勾股定理求解圆的半径即可。
【解析】
1. 求∠ABC的度数
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ 对角互补，即∠D + ∠ABC = 180°
已知∠D=120°，代入得∠ABC = 180° - 120° = 60°
2. 由垂径定理求BF的长度
∵ 直径CE垂直弦AB于点F，AB=6√3
∴ BF = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×6√3 = 3√3，且∠BFC=90°
3. 求∠BCF的度数
在Rt△BFC中，∠ABC=60°，∠BFC=90°
∴ ∠BCF = 90° - 60° = 30°
4. 求圆心角∠BOF的度数
连接OB，∠BCF是弧BE对应的圆周角，∠BOF是弧BE对应的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴ ∠BOF = 2∠BCF = 2×30° = 60°
5. 求解半径
设⊙O的半径为r，则OB=r，在Rt△BOF中：
sin∠BOF = $\frac{BF}{OB}$，即sin60° = $\frac{3√3}{r}$
∵ sin60°=$\frac{√3}{2}$，代入得$\frac{√3}{2}$ = $\frac{3√3}{r}$
解得r=6
【答案】
6
【知识点】
圆内接四边形的性质；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是将圆的性质和直角三角形的计算结合，解题时要熟练掌握圆的相关基础定理，准确找到角和边的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按照以下思路推导：第一步，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠D的度数求出∠ABC的度数；第二步，根据垂径定理，由直径CE垂直AB得出BF的长度，同时得到Rt△BFC；第三步，在Rt△BFC中求出∠BCF的度数，再利用圆周角定理得到对应圆心角∠BOF的度数；第四步，在Rt△BOF中通过三角函数或勾股定理求解圆的半径即可。
【解析】
1. 求∠ABC的度数
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ 对角互补，即∠D + ∠ABC = 180°
已知∠D=120°，代入得∠ABC = 180° - 120° = 60°
2. 由垂径定理求BF的长度
∵ 直径CE垂直弦AB于点F，AB=6√3
∴ BF = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×6√3 = 3√3，且∠BFC=90°
3. 求∠BCF的度数
在Rt△BFC中，∠ABC=60°，∠BFC=90°
∴ ∠BCF = 90° - 60° = 30°
4. 求圆心角∠BOF的度数
连接OB，∠BCF是弧BE对应的圆周角，∠BOF是弧BE对应的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴ ∠BOF = 2∠BCF = 2×30° = 60°
5. 求解半径
设⊙O的半径为r，则OB=r，在Rt△BOF中：
sin∠BOF = $\frac{BF}{OB}$，即sin60° = $\frac{3√3}{r}$
∵ sin60°=$\frac{√3}{2}$，代入得$\frac{√3}{2}$ = $\frac{3√3}{r}$
解得r=6
【答案】
6
【知识点】
圆内接四边形的性质；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是将圆的性质和直角三角形的计算结合，解题时要熟练掌握圆的相关基础定理，准确找到角和边的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
17 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$AC ⊥ BD$。若$∠ AOD = 120°$，$AD = \sqrt{3}$，BC的长为
1
。答案
17.1
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先利用已知的圆心角∠AOD和边AD的长度求出⊙O的半径，△AOD是等腰三角形，通过作高用三角函数即可求出半径；第二步结合AC⊥BD的条件，利用直角三角形两锐角互余、圆周角与弧的度数关系，推导出弧BC对应的圆心角度数；第三步根据圆心角和半径判断△BOC的形状，即可求出BC的长度。
【解析】
连接OB、OC，设AC、BD交于点P。
1. 求⊙O的半径：
∵OA、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD。
过O作OE⊥AD于E，根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在$Rt△ AOE$中，$\sin∠ AOE=\frac{AE}{OA}$，代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$AE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{OA}$，解得$OA=1$，即⊙O的半径为1。
2. 求$∠ BOC$的度数：
∵AC⊥BD，
∴$∠ APB=90°$，在$Rt△ ABP$中，$∠ BAC+∠ ABD=90°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，可得$∠ BAC=\frac{1}{2}×$弧BC的度数，$∠ ABD=\frac{1}{2}×$弧AD的度数。
代入$∠ BAC+∠ ABD=90°$，得：$\frac{1}{2}×$弧BC的度数$+\frac{1}{2}×$弧AD的度数$=90°$，即弧BC的度数+弧AD的度数$=180°$。
∵$∠ AOD=120°$，
∴弧AD的度数为$120°$，则弧BC的度数$=180°-120°=60°$，对应的圆心角$∠ BOC=60°$。
3. 求BC的长度：
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC=1，又
∵$∠ BOC=60°$，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=OB=1。
【答案】
1
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，等边三角形判定
【点评】
本题是圆的性质综合应用题，核心是掌握圆心角、圆周角、弧的度数之间的转化关系，结合垂直条件推导所求弦对应的圆心角是解题的关键，对圆内角度和弧的转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步先利用已知的圆心角∠AOD和边AD的长度求出⊙O的半径，△AOD是等腰三角形，通过作高用三角函数即可求出半径；第二步结合AC⊥BD的条件，利用直角三角形两锐角互余、圆周角与弧的度数关系，推导出弧BC对应的圆心角度数；第三步根据圆心角和半径判断△BOC的形状，即可求出BC的长度。
【解析】
连接OB、OC，设AC、BD交于点P。
1. 求⊙O的半径：
∵OA、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD。
过O作OE⊥AD于E，根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在$Rt△ AOE$中，$\sin∠ AOE=\frac{AE}{OA}$，代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$AE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{OA}$，解得$OA=1$，即⊙O的半径为1。
2. 求$∠ BOC$的度数：
∵AC⊥BD，
∴$∠ APB=90°$，在$Rt△ ABP$中，$∠ BAC+∠ ABD=90°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，可得$∠ BAC=\frac{1}{2}×$弧BC的度数，$∠ ABD=\frac{1}{2}×$弧AD的度数。
代入$∠ BAC+∠ ABD=90°$，得：$\frac{1}{2}×$弧BC的度数$+\frac{1}{2}×$弧AD的度数$=90°$，即弧BC的度数+弧AD的度数$=180°$。
∵$∠ AOD=120°$，
∴弧AD的度数为$120°$，则弧BC的度数$=180°-120°=60°$，对应的圆心角$∠ BOC=60°$。
3. 求BC的长度：
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC=1，又
∵$∠ BOC=60°$，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=OB=1。
【答案】
1
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，等边三角形判定
【点评】
本题是圆的性质综合应用题，核心是掌握圆心角、圆周角、弧的度数之间的转化关系，结合垂直条件推导所求弦对应的圆心角是解题的关键，对圆内角度和弧的转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
18 如图,正六边形ABCDEF中,G、H分别是边AF和DE上的点,GF = $\frac{1}{3}AB = 2$,∠GCH = 60°,则线段EH的长为
$\frac{24}{5}$
。答案
18.$\frac{24}{5}$
[提示:如图,作$GP // AB$,交$BC$于点$P$,$AN // BC$交$GP$于点$N$,可证$△ CPG ∽ △ HDC$,所以$\frac{PC}{DH}=\frac{PG}{CD}$,因为$PC=BC-BP=2$,$PG=10$,$CD=6$,所以$DH=\frac{6}{5}$,$EH=\frac{24}{5}$。]
解析
【分析】首先根据已知条件求出正六边形的边长，再结合正六边形内角为120°、对边平行的性质，通过作辅助线$GP // AB$交BC于点P，推导角度关系证明$△ CPG$与$△ HDC$相似，利用相似三角形的比例关系求出DH的长度，最后用DE的长度减去DH即可得到EH的长。
【解析】
1. 求正六边形边长：由$GF=\frac{1}{3}AB=2$，得$AB=6$，正六边形各边相等，故$BC=CD=DE=AF=6$。
2. 计算相关线段长度：$AG=AF-GF=6-2=4$，作$GP // AB$交BC于点P，可得$BP=AG=4$，因此$PC=BC-BP=6-4=2$，由几何关系得$PG=10$。
3. 证明三角形相似：正六边形内角均为$120°$，故$∠ CPG=∠ CDH=120°$。由$∠ GCH=60°$，得$∠ PCG+∠ DCH=120°-60°=60°$，又$△ CPG$中$∠ PCG+∠ CGP=180°-120°=60°$，因此$∠ CGP=∠ DCH$，故$△ CPG ∽ △ HDC$。
4. 求DH：由相似三角形对应边成比例，得$\frac{PC}{DH}=\frac{PG}{CD}$，代入$PC=2$，$PG=10$，$CD=6$，得$\frac{2}{DH}=\frac{10}{6}$，解得$DH=\frac{6}{5}$。
5. 求EH：$EH=DE-DH=6-\frac{6}{5}=\frac{24}{5}$。
【答案】$\frac{24}{5}$
【知识点】正六边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】本题结合正六边形的性质考查相似三角形的应用，解题的关键是合理作出辅助线，通过角度推导证明三角形相似，再利用相似的性质求解线段长度。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 求正六边形边长：由$GF=\frac{1}{3}AB=2$，得$AB=6$，正六边形各边相等，故$BC=CD=DE=AF=6$。
2. 计算相关线段长度：$AG=AF-GF=6-2=4$，作$GP // AB$交BC于点P，可得$BP=AG=4$，因此$PC=BC-BP=6-4=2$，由几何关系得$PG=10$。
3. 证明三角形相似：正六边形内角均为$120°$，故$∠ CPG=∠ CDH=120°$。由$∠ GCH=60°$，得$∠ PCG+∠ DCH=120°-60°=60°$，又$△ CPG$中$∠ PCG+∠ CGP=180°-120°=60°$，因此$∠ CGP=∠ DCH$，故$△ CPG ∽ △ HDC$。
4. 求DH：由相似三角形对应边成比例，得$\frac{PC}{DH}=\frac{PG}{CD}$，代入$PC=2$，$PG=10$，$CD=6$，得$\frac{2}{DH}=\frac{10}{6}$，解得$DH=\frac{6}{5}$。
5. 求EH：$EH=DE-DH=6-\frac{6}{5}=\frac{24}{5}$。
【答案】$\frac{24}{5}$
【知识点】正六边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】本题结合正六边形的性质考查相似三角形的应用，解题的关键是合理作出辅助线，通过角度推导证明三角形相似，再利用相似的性质求解线段长度。
【难度系数】0.6
19 如图，已知$AC=2\sqrt{2}$，以AC为弦的$\odot O$上有B、D两点，且$∠ BAC=∠ DAC$，则四边形ABCD的面积的最大值为
4
。答案
19.4
[提示:如图,延长$AD$、$BC$交于$T$点,当$AC ⊥ CT$时,$S_{△ ACT}$的面积最大,最大值$=\frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2\sqrt{2}=4$。]
解析
【分析】
要计算四边形ABCD的最大面积，首先将不规则四边形的面积转化为规则三角形的面积求解：已知∠BAC=∠DAC，结合圆周角定理可得弧BC等于弧CD，即弦BC=CD；再利用圆内接四边形的性质，可通过延长AD、BC交于点T，将四边形ABCD的面积等价转换为△ACT的面积。已知AC长度固定为$2\sqrt{2}$，要使△ACT面积最大，只需AC边上的高最大，当CT垂直于AC时高取得最大值，即可求出对应的最大面积。
【解析】
解：延长AD、BC交于点T，
根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，由∠BAC=∠DAC可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，故弦$BC=CD$；
结合圆内接四边形外角等于内对角的性质，可证得△ABC与△TDC全等，因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ ACT}$。
△ACT中AC为定长$2\sqrt{2}$，当$AC ⊥ CT$时，AC边上的高最大，此时△ACT的面积取得最大值：
$S_{△ ACT(max)}=\frac{1}{2} × AC × CT = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2\sqrt{2} = 4$
因此四边形ABCD的面积最大值为4。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形面积最值
【点评】
本题将圆的性质与面积最值问题结合，核心是通过辅助线构造全等图形，实现四边形面积到三角形面积的等价转换，考查了几何转化思维和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.5
要计算四边形ABCD的最大面积，首先将不规则四边形的面积转化为规则三角形的面积求解：已知∠BAC=∠DAC，结合圆周角定理可得弧BC等于弧CD，即弦BC=CD；再利用圆内接四边形的性质，可通过延长AD、BC交于点T，将四边形ABCD的面积等价转换为△ACT的面积。已知AC长度固定为$2\sqrt{2}$，要使△ACT面积最大，只需AC边上的高最大，当CT垂直于AC时高取得最大值，即可求出对应的最大面积。
【解析】
解：延长AD、BC交于点T，
根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，由∠BAC=∠DAC可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，故弦$BC=CD$；
结合圆内接四边形外角等于内对角的性质，可证得△ABC与△TDC全等，因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ ACT}$。
△ACT中AC为定长$2\sqrt{2}$，当$AC ⊥ CT$时，AC边上的高最大，此时△ACT的面积取得最大值：
$S_{△ ACT(max)}=\frac{1}{2} × AC × CT = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2\sqrt{2} = 4$
因此四边形ABCD的面积最大值为4。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形面积最值
【点评】
本题将圆的性质与面积最值问题结合，核心是通过辅助线构造全等图形，实现四边形面积到三角形面积的等价转换，考查了几何转化思维和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.5
20 已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长。
答案
20. 如图,作$AF ⊥ BC$,垂足为点$F$,延长$AF$交$DE$于$H$点。因为$△ ABC$为等边三角形,所以$AF$垂直平分$BC$。因为四边形$BDEC$为正方形,所以$AH$垂直平分正方形的边$DE$。又因为$DE$是圆的弦,所以$AH$必过圆心,记圆心为$O$点,并设$\odot O$的半径为$r$。在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,因为$∠ BAF=30°$,所以$AF=AB · \cos30°=2 × \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$,所以$OH=AF+FH-OA=\sqrt{3}+2-r$。在$\mathrm{Rt}△ ODH$中,$OH^2+DH^2=OD^2$,所以$(2+\sqrt{3}-r)^2+1^2=r^2$,解得$r=2$,所以该圆的半径长为2。
解析
【分析】
解决本题的核心是先利用图形的对称性确定圆心位置：多边形ABDEC关于过点A且垂直于BC的直线对称，过A、D、E三点的圆也关于这条直线对称，因此圆心必然在该对称轴上。接下来通过作辅助线得到这条对称轴，结合等边三角形、正方形的性质计算相关线段长度，最后设圆的半径为r，在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
解：作$AF ⊥ BC$，垂足为点$F$，延长$AF$交$DE$于$H$点。
∵ $△ ABC$为边长为2的等边三角形，
∴ $AF$垂直平分$BC$，在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$AF=AB · \cos30°=2 × \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
∵ 四边形$BDEC$为边长为2的正方形，
∴ $AH$垂直平分正方形的边$DE$，可得$DH=\frac{1}{2}DE=1$，$FH=BD=2$。
∵ $DE$是圆的弦，弦的垂直平分线过圆心，
∴ $AH$必过圆心，记圆心为$O$点，设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$。
∴ $OH=AF+FH-OA=\sqrt{3}+2-r$。
在$\mathrm{Rt}△ ODH$中，由勾股定理得$OH^2+DH^2=OD^2$，
代入得：$(2+\sqrt{3}-r)^2+1^2=r^2$，
展开化简解得$r=2$。
【答案】
该圆半径的长为2。
【知识点】
圆的对称性，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查等边三角形、正方形与圆的相关性质，解题关键是利用轴对称性快速确定圆心位置，再通过勾股定理建立方程求解，能很好地考查几何知识综合运用能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是先利用图形的对称性确定圆心位置：多边形ABDEC关于过点A且垂直于BC的直线对称，过A、D、E三点的圆也关于这条直线对称，因此圆心必然在该对称轴上。接下来通过作辅助线得到这条对称轴，结合等边三角形、正方形的性质计算相关线段长度，最后设圆的半径为r，在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
解：作$AF ⊥ BC$，垂足为点$F$，延长$AF$交$DE$于$H$点。
∵ $△ ABC$为边长为2的等边三角形，
∴ $AF$垂直平分$BC$，在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$AF=AB · \cos30°=2 × \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
∵ 四边形$BDEC$为边长为2的正方形，
∴ $AH$垂直平分正方形的边$DE$，可得$DH=\frac{1}{2}DE=1$，$FH=BD=2$。
∵ $DE$是圆的弦，弦的垂直平分线过圆心，
∴ $AH$必过圆心，记圆心为$O$点，设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$。
∴ $OH=AF+FH-OA=\sqrt{3}+2-r$。
在$\mathrm{Rt}△ ODH$中，由勾股定理得$OH^2+DH^2=OD^2$，
代入得：$(2+\sqrt{3}-r)^2+1^2=r^2$，
展开化简解得$r=2$。
【答案】
该圆半径的长为2。
【知识点】
圆的对称性，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查等边三角形、正方形与圆的相关性质，解题关键是利用轴对称性快速确定圆心位置，再通过勾股定理建立方程求解，能很好地考查几何知识综合运用能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
