24 活动一:如图①,展示了一种用尺规作$\odot O$的内接正六边形的方法。
① 在$\odot O$上任取一点$A$,以$A$为圆心、$AO$为半径作弧,在$\odot O$上截得一点$B$;
② 以$B$为圆心,$AO$为半径作弧,在$\odot O$上截得一点$C$;再如此从点$C$逐次截得点$D$、$E$、$F$;
③ 顺次连接$AB$、$BC$、$CD$、$DE$、$EF$、$FA$。
(1) 根据正多边形的定义,我们只需要证明,(请用符号语言表示,不需要说明理由),就可证明六边形$ABCDEF$是正六边形。
活动二:如图②,展示了一种用尺规作$\odot O$的内接正五边形的方法。
① 作$\odot O$的两条互相垂直的直径$PQ$和$AF$;
② 取半径$OP$的中点$M$;再以$M$为圆心、$MA$为半径作弧,和半径$OQ$相交于点$N$;
③ 以点$A$为圆心,以$AN$的长为半径作弧,与$\odot O$相截,得交点$B$,如此再连续截取3次,依次得分点$C$、$D$、$E$,顺次连接$AB$、$BC$、$CD$、$DE$、$EA$。
(2) 已知$\odot O$的半径为2,求边$AB$的长,并证明五边形$ABCDE$是正五边形。
(参考数据: $\sin22.5°=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2},\cos22.5°=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2},\sin36°=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4},\cos36°=\frac{\sqrt{5}+1}{4},\sin72°=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$。)

24.(2) 如图,连接$BF$、$OB$、$OC$、$OD$、$OE$。根据题意,可得$AF ⊥ PQ$,$OP=OA=2$。因为点$M$为半径$OP$的中点,所以$OM=\frac{1}{2}OP=1$,所以$AM=\sqrt{OM^2+OA^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。因为以$M$为圆心、$MA$为半径作弧,和半径$OQ$相交于点$N$,所以$MN=AM=\sqrt{5}$,所以$ON=MN-OM=\sqrt{5}-1$,所以$AN=\sqrt{ON^2+OA^2}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2+2^2}=\sqrt{10-2\sqrt{5}}$。因为以点$A$为圆心,以$AN$的长为半径作弧,与$\odot O$相截得交点$B$,所以$AB=AN=\sqrt{10-2\sqrt{5}}$。因为$AF$为$\odot O$的直径,所以$∠ ABF=90°$,$AF=2 × 2=4$,所以$\sin ∠ AFB=\frac{AB}{AF}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$,所以$∠ AFB=36°$,所以$∠ AOB=2∠ AFB=72°$。因为$OA=OB$,所以$∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180°-∠ AOB)=54°$,由作图易知$△ OAB ≌ △ OBC$,所以$∠ AOB=∠ BOC=72°$,所以$∠ OBC=∠ OCB=54°$,同理可得$△ OCD ≌ △ ODE ≌ △ OAB$,所以$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=72°$,所以$∠ EOA=360°-∠ AOB-∠ BOC-∠ COD-∠ DOE=72°=∠ AOB$。因为$OE=OA$,$OA=OB$,所以$△ EOA ≌ △ AOB(\mathrm{SAS})$,所以$EA=AB$,$∠ OEA=∠ OAE=54°$,所以$AB=BC=CD=DE=EA$,$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDE=∠ DEA=∠ EAB=54° × 2=108°$,所以五边形$ABCDE$是正五边形。

【分析】
(1) 正多边形的定义为各边相等且各内角相等的多边形，要证明六边形ABCDEF是正六边形，只需对应证明它的六条边相等、六个内角相等，写出符号表达式即可。
(2) 求AB的长时，先根据作图给出的线段关系，依次计算OM、AM、ON的长度，再在直角三角形AON中用勾股定理求出AN，即为AB的长度；证明五边形是正五边形时，先通过圆周角定理求出中心角∠AOB的度数，再利用全等三角形证明所有中心角都相等，进而推导得出五边形的各边相等、各内角相等即可。
【解析】
(1) 根据正多边形的定义，需证明：$\boldsymbol{AB=BC=CD=DE=EF=FA}$，$\boldsymbol{∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=∠ E=∠ F}$。
(2) 如图，连接$BF$、$OB$、$OC$、$OD$、$OE$。
根据题意，可得$AF ⊥ PQ$，$\odot O$半径为2，因此$OP=OA=2$。
∵点$M$为半径$OP$的中点，
∴$OM=\frac{1}{2}OP=1$，
在$Rt△ AOM$中，由勾股定理得：$AM=\sqrt{OM^2+OA^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
∵以$M$为圆心、$MA$为半径作弧交$OQ$于$N$，
∴$MN=AM=\sqrt{5}$，
∴$ON=MN-OM=\sqrt{5}-1$。
在$Rt△ AON$中，由勾股定理得：$AN=\sqrt{ON^2+OA^2}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2+2^2}=\sqrt{10-2\sqrt{5}}$。
∵以$A$为圆心、$AN$长为半径作弧交$\odot O$于$B$，
∴$AB=AN=\sqrt{10-2\sqrt{5}}$。
∵$AF$为$\odot O$的直径，
∴$∠ ABF=90°$，$AF=2×2=4$，
∴$\sin∠ AFB=\frac{AB}{AF}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$，结合参考数据得$∠ AFB=36°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOB=2∠ AFB=72°$。
∵$OA=OB$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180°-∠ AOB)=54°$。
由作图可知$AB=BC$，又$OB=OB$，$OA=OC$，
∴$△ OAB ≌ △ OBC$（SSS），
∴$∠ AOB=∠ BOC=72°$，$∠ OBC=∠ OCB=54°$。
同理可得$△ OCD ≌ △ ODE ≌ △ OAB$，
∴$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=72°$，
∴$∠ EOA=360°-∠ AOB-∠ BOC-∠ COD-∠ DOE=72°=∠ AOB$。
又$OE=OA$，$OA=OB$，
∴$△ EOA ≌ △ AOB$（SAS），
∴$EA=AB$，$∠ OEA=∠ OAE=54°$。
因此$AB=BC=CD=DE=EA$，且每个内角$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDE=∠ DEA=∠ EAB=54°×2=108°$，
故五边形$ABCDE$是正五边形。
【答案】
(1) $AB=BC=CD=DE=EF=FA$，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=∠ E=∠ F$
(2) $AB$的长为$\sqrt{10-2\sqrt{5}}$，五边形$ABCDE$是正五边形。

【知识点】
正多边形的判定，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题结合尺规作图的情境，考查正多边形的判定及相关计算，既需要掌握正多边形的基础定义，又要能灵活运用勾股定理、圆周角定理、全等三角形的性质进行推导，兼顾了对作图原理的理解和逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.6