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22 “田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒。该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马$A_1$、$B_1$、$C_1$，田忌也有上、中、下三匹马$A_2$、$B_2$、$C_2$，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：$A_1＞A_2＞B_1＞B_2＞C_1＞C_2$（注：$A＞B$表示$A$马与$B$马比赛，$A$马获胜）。一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利。面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（$C_2A_1$、$A_2B_1$、$B_2C_1$）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例。
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率。
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率。
答案
22（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜。此时，比赛的所有可能对阵为：$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$、$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$、$(C_2A_1，B_2B_1，A_2C_1)$、$(C_2A_1，A_2C_1，B_2B_1)$，共四种。其中田忌获胜的对阵有$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$、$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$，共两种，故此时田忌获胜的概率为$P_1=\frac{1}{2}$。
（2）不是。
齐王的出马顺序为$A_1$、$B_1$、$C_1$时，田忌获胜的对阵是$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$；
齐王的出马顺序为$A_1$、$C_1$、$B_1$时，田忌获胜的对阵是$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$；
齐王的出马顺序为$B_1$、$A_1$、$C_1$时，田忌获胜的对阵是$(A_2B_1，C_2A_1，B_2C_1)$；
齐王的出马顺序为$B_1$、$C_1$、$A_1$时，田忌获胜的对阵是$(A_2B_1，B_2C_1，C_2A_1)$；
齐王的出马顺序为$C_1$、$A_1$、$B_1$时，田忌获胜的对阵是$(B_2C_1，C_2A_1，A_2B_1)$；
齐王的出马顺序为$C_1$、$B_1$、$A_1$时，田忌获胜的对阵是$(B_2C_1，A_2B_1，C_2A_1)$。
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$、$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$、$(A_2B_1，C_2A_1，B_2C_1)$，
$(A_2B_1，B_2C_1，C_2A_1)$、$(B_2C_1，C_2A_1，A_2B_1)$、$(B_2C_1，A_2B_1，C_2A_1)$。
齐王的出马顺序为$A_1$、$B_1$、$C_1$时，比赛的所有可能对阵是
$(A_2A_1，B_2B_1，C_2C_1)$、$(A_2A_1，C_2B_1，B_2C_1)$、$(B_2A_1，A_2B_1，C_2C_1)$，
$(B_2A_1，C_2B_1，A_2C_1)$、$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$、$(C_2A_1，B_2B_1，A_2C_1)$。
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率$P_2=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
（2）不是。
齐王的出马顺序为$A_1$、$B_1$、$C_1$时，田忌获胜的对阵是$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$；
齐王的出马顺序为$A_1$、$C_1$、$B_1$时，田忌获胜的对阵是$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$；
齐王的出马顺序为$B_1$、$A_1$、$C_1$时，田忌获胜的对阵是$(A_2B_1，C_2A_1，B_2C_1)$；
齐王的出马顺序为$B_1$、$C_1$、$A_1$时，田忌获胜的对阵是$(A_2B_1，B_2C_1，C_2A_1)$；
齐王的出马顺序为$C_1$、$A_1$、$B_1$时，田忌获胜的对阵是$(B_2C_1，C_2A_1，A_2B_1)$；
齐王的出马顺序为$C_1$、$B_1$、$A_1$时，田忌获胜的对阵是$(B_2C_1，A_2B_1，C_2A_1)$。
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$、$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$、$(A_2B_1，C_2A_1，B_2C_1)$，
$(A_2B_1，B_2C_1，C_2A_1)$、$(B_2C_1，C_2A_1，A_2B_1)$、$(B_2C_1，A_2B_1，C_2A_1)$。
齐王的出马顺序为$A_1$、$B_1$、$C_1$时，比赛的所有可能对阵是
$(A_2A_1，B_2B_1，C_2C_1)$、$(A_2A_1，C_2B_1，B_2C_1)$、$(B_2A_1，A_2B_1，C_2C_1)$，
$(B_2A_1，C_2B_1，A_2C_1)$、$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$、$(C_2A_1，B_2B_1，A_2C_1)$。
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率$P_2=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
（1）要判断田忌首局出什么马可能获胜，先逐一分析首局出不同马的结果：若首局出上等马A₂或中等马B₂对阵齐王的上等马A₁，首局必输，剩余的马实力均弱于齐王剩余的两匹马，最多只能赢1局，总比分无法达到2胜，因此只有首局出下等马C₂故意输掉第一局，剩余的A₂、B₂才有机会赢下后两局。接下来列举后两局齐王剩余两匹马的所有出场顺序、田忌剩余两匹马的所有对阵方式，从中找出田忌总胜场≥2的情况，再用古典概型公式计算概率。
（2）首先判断田忌是否有获胜可能：根据马的实力关系，田忌要赢2局，只能用A₂胜B₁、B₂胜C₁、C₂输给A₁，拿到2胜1负，因此存在获胜可能。接下来分别列举齐王所有可能的出马顺序（共6种全排列），对应每种齐王的出马顺序，田忌只有1种对阵方式能满足上述胜局要求，再计算所有总对阵情况（齐王6种×田忌6种=36种），用获胜情况数除以总情况数得到概率。
【解析】
（1）分情况讨论田忌首局的出马选择：
①若首局出A₂对阵A₁，首局负，剩余马为B₂、C₂，齐王剩余马为B₁、C₁，因B₁＞B₂、C₁＞C₂，后两局全负，总比分0:3输，无法获胜；
②若首局出B₂对阵A₁，首局负，剩余马为A₂、C₂，齐王剩余马为B₁、C₁，仅A₂胜B₁，C₂负于C₁，总比分1:2输，无法获胜；
③若首局出C₂对阵A₁，首局负，剩余马为A₂、B₂，齐王剩余马为B₁、C₁，存在赢两局的可能。
此时后两局齐王的出马顺序有2种：B₁、C₁或C₁、B₁，田忌剩余两匹马的对阵顺序各有2种，总共有4种对阵情况：
$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$、$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$、$(C_2A_1，B_2B_1，A_2C_1)$、$(C_2A_1，A_2C_1，B_2B_1)$
其中田忌获胜的对阵有2种：$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$、$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$
因此获胜概率$P_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
（2）田忌不是必败无疑。
双方出马顺序均为三匹马的全排列，各有$3×2×1=6$种，总对阵情况共$6×6=36$种。
根据马的实力关系，田忌获胜需满足：C₂对阵A₁（负）、A₂对阵B₁（胜）、B₂对阵C₁（胜），共2胜1负。对应齐王的每一种出马顺序，田忌仅有1种对阵方式满足该要求，共6种获胜对阵：
当齐王出马顺序为$A_1、B_1、C_1$时，对阵为$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$；
当齐王出马顺序为$A_1、C_1、B_1$时，对阵为$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$；
当齐王出马顺序为$B_1、A_1、C_1$时，对阵为$(A_2B_1，C_2A_1，B_2C_1)$；
当齐王出马顺序为$B_1、C_1、A_1$时，对阵为$(A_2B_1，B_2C_1，C_2A_1)$；
当齐王出马顺序为$C_1、A_1、B_1$时，对阵为$(B_2C_1，C_2A_1，A_2B_1)$；
当齐王出马顺序为$C_1、B_1、A_1$时，对阵为$(B_2C_1，A_2B_1，C_2A_1)$。
因此田忌获胜的概率$P_2=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
【答案】
（1）田忌首局应出下马才可能获得整场比赛的胜利，获胜概率为$\frac{1}{2}$；
（2）不是必败无疑，田忌获胜的所有对阵为$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$、$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$、$(A_2B_1，C_2A_1，B_2C_1)$、$(A_2B_1，B_2C_1，C_2A_1)$、$(B_2C_1，C_2A_1，A_2B_1)$、$(B_2C_1，A_2B_1，C_2A_1)$，获胜概率为$\frac{1}{6}$。
【知识点】
古典概型概率计算，枚举法，逻辑推理
【点评】
本题结合“田忌赛马”的经典历史故事，将概率知识与实际策略场景结合，需要学生通过逻辑分析排除不可能的对阵情况，再用枚举法有序列举所有可能的情况，既考查了概率的基本计算方法，又体现了古代先贤的策略智慧，兼具趣味性和综合性。
【难度系数】
0.6
（1）要判断田忌首局出什么马可能获胜，先逐一分析首局出不同马的结果：若首局出上等马A₂或中等马B₂对阵齐王的上等马A₁，首局必输，剩余的马实力均弱于齐王剩余的两匹马，最多只能赢1局，总比分无法达到2胜，因此只有首局出下等马C₂故意输掉第一局，剩余的A₂、B₂才有机会赢下后两局。接下来列举后两局齐王剩余两匹马的所有出场顺序、田忌剩余两匹马的所有对阵方式，从中找出田忌总胜场≥2的情况，再用古典概型公式计算概率。
（2）首先判断田忌是否有获胜可能：根据马的实力关系，田忌要赢2局，只能用A₂胜B₁、B₂胜C₁、C₂输给A₁，拿到2胜1负，因此存在获胜可能。接下来分别列举齐王所有可能的出马顺序（共6种全排列），对应每种齐王的出马顺序，田忌只有1种对阵方式能满足上述胜局要求，再计算所有总对阵情况（齐王6种×田忌6种=36种），用获胜情况数除以总情况数得到概率。
【解析】
（1）分情况讨论田忌首局的出马选择：
①若首局出A₂对阵A₁，首局负，剩余马为B₂、C₂，齐王剩余马为B₁、C₁，因B₁＞B₂、C₁＞C₂，后两局全负，总比分0:3输，无法获胜；
②若首局出B₂对阵A₁，首局负，剩余马为A₂、C₂，齐王剩余马为B₁、C₁，仅A₂胜B₁，C₂负于C₁，总比分1:2输，无法获胜；
③若首局出C₂对阵A₁，首局负，剩余马为A₂、B₂，齐王剩余马为B₁、C₁，存在赢两局的可能。
此时后两局齐王的出马顺序有2种：B₁、C₁或C₁、B₁，田忌剩余两匹马的对阵顺序各有2种，总共有4种对阵情况：
$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$、$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$、$(C_2A_1，B_2B_1，A_2C_1)$、$(C_2A_1，A_2C_1，B_2B_1)$
其中田忌获胜的对阵有2种：$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$、$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$
因此获胜概率$P_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
（2）田忌不是必败无疑。
双方出马顺序均为三匹马的全排列，各有$3×2×1=6$种，总对阵情况共$6×6=36$种。
根据马的实力关系，田忌获胜需满足：C₂对阵A₁（负）、A₂对阵B₁（胜）、B₂对阵C₁（胜），共2胜1负。对应齐王的每一种出马顺序，田忌仅有1种对阵方式满足该要求，共6种获胜对阵：
当齐王出马顺序为$A_1、B_1、C_1$时，对阵为$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$；
当齐王出马顺序为$A_1、C_1、B_1$时，对阵为$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$；
当齐王出马顺序为$B_1、A_1、C_1$时，对阵为$(A_2B_1，C_2A_1，B_2C_1)$；
当齐王出马顺序为$B_1、C_1、A_1$时，对阵为$(A_2B_1，B_2C_1，C_2A_1)$；
当齐王出马顺序为$C_1、A_1、B_1$时，对阵为$(B_2C_1，C_2A_1，A_2B_1)$；
当齐王出马顺序为$C_1、B_1、A_1$时，对阵为$(B_2C_1，A_2B_1，C_2A_1)$。
因此田忌获胜的概率$P_2=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
【答案】
（1）田忌首局应出下马才可能获得整场比赛的胜利，获胜概率为$\frac{1}{2}$；
（2）不是必败无疑，田忌获胜的所有对阵为$(C_2A_1，A_2B_1，B_2C_1)$、$(C_2A_1，B_2C_1，A_2B_1)$、$(A_2B_1，C_2A_1，B_2C_1)$、$(A_2B_1，B_2C_1，C_2A_1)$、$(B_2C_1，C_2A_1，A_2B_1)$、$(B_2C_1，A_2B_1，C_2A_1)$，获胜概率为$\frac{1}{6}$。
【知识点】
古典概型概率计算，枚举法，逻辑推理
【点评】
本题结合“田忌赛马”的经典历史故事，将概率知识与实际策略场景结合，需要学生通过逻辑分析排除不可能的对阵情况，再用枚举法有序列举所有可能的情况，既考查了概率的基本计算方法，又体现了古代先贤的策略智慧，兼具趣味性和综合性。
【难度系数】
0.6
