登录
23 寒假期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下：
① 棋盘为正五边形ABCDE。一跳棋棋子从点A开始按照逆时针方向起跳。从点A跳到点B为1步，从点B跳到点C为1步，依此类推。每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定；
② 如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点A，就算完成了一次操作；
③ 如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点A，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点A，都算完成了一次操作。
（1）小明只掷一次骰子就使棋子跳回到A点的概率为
（2）求小明经一次操作，使得棋子跳回到A点的概率。（请用树状图或列表法写出分析过程）
① 棋盘为正五边形ABCDE。一跳棋棋子从点A开始按照逆时针方向起跳。从点A跳到点B为1步，从点B跳到点C为1步，依此类推。每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定；
② 如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点A，就算完成了一次操作；
③ 如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点A，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点A，都算完成了一次操作。
（1）小明只掷一次骰子就使棋子跳回到A点的概率为
$\frac{1}{6}$
。（2）求小明经一次操作，使得棋子跳回到A点的概率。（请用树状图或列表法写出分析过程）
答案
（1）$\frac{1}{6}$ [提示:因为掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6，其中，掷出5时可以回到点A，所以只掷一次骰子，就使棋子跳回到A点的概率为$\frac{1}{6}$。]
（2）若要经一次操作，使得棋子跳回到A点，则:①第一次就掷出5；②两次掷出的数字分别为1和4、2和3、3和2、4和1、4和6、6和4。画树状图如下：
共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到A点的情况有7种，所以经一次操作，使得棋子跳回到A点的概率为$\frac{7}{31}$。
解析
【分析】
（1）正五边形共5个顶点，从A点逆时针跳回A点需要的步数是5的正整数倍，掷一次骰子点数范围为1~6，只需找出符合要求的点数，结合概率公式即可计算对应概率。
（2）首先明确操作规则：第一次掷出点数为5时直接完成操作，无需掷第二次；第一次掷出点数不为5时，需再掷第二次，以两次点数之和为最终跳的步数。先统计所有等可能的操作结果总数，再找出最终步数为5的倍数的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到所求概率，可通过树状图梳理所有情况。
【解析】
（1）掷一次正方体骰子，所得点数共有1、2、3、4、5、6共6种等可能结果。从A点逆时针跳回A点的步数为5的正整数倍，1~6中仅点数5满足要求，因此只掷一次骰子回到A点的概率为$\frac{1}{6}$。
（2）根据操作规则：
① 第一次掷出点数为5时直接完成操作，共1种情况；
② 第一次掷出点数为1、2、3、4、6时，需再掷第二次骰子，每种第一次的结果对应6种第二次的结果，共$5×6=30$种情况。
因此一次操作共有$1+30=31$种等可能的结果。
若要跳回A点，需最终步数为5的正整数倍，符合条件的情况有：
a. 第一次掷出5，共1种；
b. 两次点数和为5：$(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)$，共4种；
c. 两次点数和为10：$(4,6)、(6,4)$，共2种；
合计符合条件的情况共7种。
画树状图如下：
因此经一次操作跳回A点的概率为$\frac{7}{31}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{6}$
（2）画树状图如下：
经一次操作，使得棋子跳回到A点的概率为$\frac{7}{31}$。
【知识点】
概率公式，树状图法，事件可能性分析
【点评】
本题结合跳棋游戏场景考查概率计算，解题的核心是准确理解操作规则，避免误将总情况数算为36种，能够有效考查学生的审题能力和概率知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）正五边形共5个顶点，从A点逆时针跳回A点需要的步数是5的正整数倍，掷一次骰子点数范围为1~6，只需找出符合要求的点数，结合概率公式即可计算对应概率。
（2）首先明确操作规则：第一次掷出点数为5时直接完成操作，无需掷第二次；第一次掷出点数不为5时，需再掷第二次，以两次点数之和为最终跳的步数。先统计所有等可能的操作结果总数，再找出最终步数为5的倍数的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到所求概率，可通过树状图梳理所有情况。
【解析】
（1）掷一次正方体骰子，所得点数共有1、2、3、4、5、6共6种等可能结果。从A点逆时针跳回A点的步数为5的正整数倍，1~6中仅点数5满足要求，因此只掷一次骰子回到A点的概率为$\frac{1}{6}$。
（2）根据操作规则：
① 第一次掷出点数为5时直接完成操作，共1种情况；
② 第一次掷出点数为1、2、3、4、6时，需再掷第二次骰子，每种第一次的结果对应6种第二次的结果，共$5×6=30$种情况。
因此一次操作共有$1+30=31$种等可能的结果。
若要跳回A点，需最终步数为5的正整数倍，符合条件的情况有：
a. 第一次掷出5，共1种；
b. 两次点数和为5：$(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)$，共4种；
c. 两次点数和为10：$(4,6)、(6,4)$，共2种；
合计符合条件的情况共7种。
画树状图如下：
因此经一次操作跳回A点的概率为$\frac{7}{31}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{6}$
（2）画树状图如下：
经一次操作，使得棋子跳回到A点的概率为$\frac{7}{31}$。
【知识点】
概率公式，树状图法，事件可能性分析
【点评】
本题结合跳棋游戏场景考查概率计算，解题的核心是准确理解操作规则，避免误将总情况数算为36种，能够有效考查学生的审题能力和概率知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
24 在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下。
（1）试问小球通过第二层A位置的概率是多少？
（2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少。
（1）试问小球通过第二层A位置的概率是多少？
（2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少。
答案
方法一:(1) 因为实心小球在碰到菱形挡块时向左或向右下落是等可能的，所以经过一个菱形挡块后向左或向右下落的概率各是原概率的一半。画树状图可知，落到A点位置的概率为$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。
（2）同理可画树状图得，落到B点位置的概率为$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$。
同理可画树状图得，落到C点位置的概率为$\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac{1}{4}$。
方法二:(1) 因为实心小球碰到每个菱形挡块时向左或向右是等可能的，因此小球下落到A的可能性会有以下的途径{左右，右左}2种情况，而下落到第二层，共{左左，左右，右左，右右}4种情况。由概率定义得$P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
（2）同理，到达第三层B位置会有以下途径{左右右，右左右，右右左}3种情况，而下落到第三层共有:{左左左，左左右，左右左，左右右，右左左，右左右，右右左，右右右}，8种情况。由概率定义得$P(B)=\frac{3}{8}$。
同理，到达第四层C位置会有:{左左右左，左右左左，右左左左}，4种情况。而下落到第四层共有:{左左左左，左左左右，左左右左，左右左左，右左左左，左右右右，右右右右}，共16种情况。由概率定义得$P(C)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
解题可从两种符合学段要求的思路入手：①分步概率思路：小球每次碰到挡块向左、向右下落的概率均为$\frac{1}{2}$，每条完整路径的概率为各步概率的乘积，落到某位置的总概率等于所有到达该位置的路径概率之和；②古典概型思路：下落$n$层时共有$2^n$种等可能的路径，先统计到达目标位置的路径数，再用“符合条件的路径数÷总路径数”计算概率。
（1）求解第二层A的概率：下落2层总路径数为$2^2=4$，统计到A的路径数或计算对应路径概率和即可。
（2）求解第三层B、第四层C的概率：同理，下落3层总路径数为$2^3=8$，下落4层总路径数为$2^4=16$，分别统计对应路径数或计算路径概率和即可得到结果。
【解析】
方法一：
(1) 实心小球碰到菱形挡块时向左或向右下落是等可能的，经过一个挡块后向左、向右下落的概率各为原概率的一半。画树状图分析可知，到达A位置的路径有2条，每条路径的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，因此落到A点位置的概率为$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 同理画树状图分析，到达B位置的路径概率相加得总概率为$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$；到达C位置的路径概率相加得总概率为$\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac{1}{4}$。
各层路径概率分布参考：
方法二：
(1) 小球下落到第二层共有{左左，左右，右左，右右}4种等可能的情况，其中到达A位置的情况有{左右，右左}2种，由概率定义得$P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 小球下落到第三层共有{左左左，左左右，左右左，左右右，右左左，右左右，右右左，右右右}8种等可能的情况，其中到达B位置的情况有{左右右，右左右，右右左}3种，由概率定义得$P(B)=\frac{3}{8}$。
小球下落到第四层共有16种等可能的情况，其中到达C位置的情况有4种，由概率定义得$P(C)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 小球通过第二层A位置的概率是$\frac{1}{2}$；
(2) 小球下落到第三层B位置的概率是$\frac{3}{8}$，下落到第四层C位置的概率是$\frac{1}{4}$。
【知识点】
1. 古典概型计算
2. 树状图法求概率
3. 列举法求概率
【点评】
本题以帕斯卡三角为背景，将概率计算与规律探究结合，解题方法灵活，既可以通过枚举所有路径求解，也可以通过分步计算概率求和求解，能有效考查逻辑推理能力和概率知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题可从两种符合学段要求的思路入手：①分步概率思路：小球每次碰到挡块向左、向右下落的概率均为$\frac{1}{2}$，每条完整路径的概率为各步概率的乘积，落到某位置的总概率等于所有到达该位置的路径概率之和；②古典概型思路：下落$n$层时共有$2^n$种等可能的路径，先统计到达目标位置的路径数，再用“符合条件的路径数÷总路径数”计算概率。
（1）求解第二层A的概率：下落2层总路径数为$2^2=4$，统计到A的路径数或计算对应路径概率和即可。
（2）求解第三层B、第四层C的概率：同理，下落3层总路径数为$2^3=8$，下落4层总路径数为$2^4=16$，分别统计对应路径数或计算路径概率和即可得到结果。
【解析】
方法一：
(1) 实心小球碰到菱形挡块时向左或向右下落是等可能的，经过一个挡块后向左、向右下落的概率各为原概率的一半。画树状图分析可知，到达A位置的路径有2条，每条路径的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，因此落到A点位置的概率为$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 同理画树状图分析，到达B位置的路径概率相加得总概率为$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$；到达C位置的路径概率相加得总概率为$\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac{1}{4}$。
各层路径概率分布参考：
方法二：
(1) 小球下落到第二层共有{左左，左右，右左，右右}4种等可能的情况，其中到达A位置的情况有{左右，右左}2种，由概率定义得$P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 小球下落到第三层共有{左左左，左左右，左右左，左右右，右左左，右左右，右右左，右右右}8种等可能的情况，其中到达B位置的情况有{左右右，右左右，右右左}3种，由概率定义得$P(B)=\frac{3}{8}$。
小球下落到第四层共有16种等可能的情况，其中到达C位置的情况有4种，由概率定义得$P(C)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 小球通过第二层A位置的概率是$\frac{1}{2}$；
(2) 小球下落到第三层B位置的概率是$\frac{3}{8}$，下落到第四层C位置的概率是$\frac{1}{4}$。
【知识点】
1. 古典概型计算
2. 树状图法求概率
3. 列举法求概率
【点评】
本题以帕斯卡三角为背景，将概率计算与规律探究结合，解题方法灵活，既可以通过枚举所有路径求解，也可以通过分步计算概率求和求解，能有效考查逻辑推理能力和概率知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
