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19.(本小题满分10分)(1)解方程组：$\begin{cases}2x+3y=10, \\4x+y=5;\end{cases}$
(2)解不等式组：$\begin{cases}5-\dfrac{1}{2}x≥ \dfrac{3x-6}{2}, \\3+x＞4,\end{cases}$ 并把解集在数轴上表示出来。
(2)解不等式组：$\begin{cases}5-\dfrac{1}{2}x≥ \dfrac{3x-6}{2}, \\3+x＞4,\end{cases}$ 并把解集在数轴上表示出来。
答案
19.解：(1)解方程组$\begin{cases}2x+3y=10,① \\4x+y=5,②\end{cases}$
①$×2-$②,得$5y=15$,解得$y=3$,
将$y=3$代入①,得$2x+9=10$,解得$x=\dfrac{1}{2}$,
所以方程组的解为$\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}, \\y=3.\end{cases}$
(2)解不等式组$\begin{cases}5-\dfrac{1}{2}x≥ \dfrac{3x-6}{2},① \\3+x＞4,②\end{cases}$
由①,得$x≤4$,由②,得$x＞1$,
则不等式组的解集为$1＜x≤4$,
将解集表示在数轴上如下：
解析
【分析】
(1) 求解二元一次方程组核心是消元，观察两个方程中x的系数为2倍关系，优先选择加减消元法：将第一个方程乘2后与第二个方程相减，即可消去x，先求出y的值，再代入原方程求出x的值即可。
(2) 求解一元一次不等式组需先分别解出每个不等式的解集：解第一个不等式先去分母，再移项合并同类项，注意不等号两边除以负数时要改变方向；解第二个不等式直接移项即可。取两个解集的公共部分即为不等式组的解集，在数轴上表示解集时，大于号对应空心圆点、方向向右，小于等于号对应实心圆点、方向向左。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2x+3y=10,① \\4x+y=5,②\end{cases}$
将①×2得$4x+6y=20$ ③，用③-②消去x，可得$5y=15$，解得$y=3$。
把$y=3$代入①，得$2x+9=10$，解得$x=\frac{1}{2}$。
(2) 记不等式组为$\begin{cases}5-\dfrac{1}{2}x≥ \dfrac{3x-6}{2},① \\3+x＞4,②\end{cases}$
解不等式①：两边同乘2去分母得$10-x≥3x-6$，移项合并同类项得$-4x≥-16$，系数化为1得$x≤4$。
解不等式②：移项得$x＞1$。
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$1＜x≤4$，按照数轴表示解集的规则绘制即可。
【答案】
(1) 方程组的解为$\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}, \\y=3.\end{cases}$
(2) 不等式组的解集为$1＜x≤4$，将解集表示在数轴上如下：
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式组的解法；数轴表示不等式解集
【点评】
本题是基础运算题，核心考察消元法解二元一次方程组、不等式组的求解规则，以及数轴表示解集的注意事项，掌握基本运算方法和规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
(1) 求解二元一次方程组核心是消元，观察两个方程中x的系数为2倍关系，优先选择加减消元法：将第一个方程乘2后与第二个方程相减，即可消去x，先求出y的值，再代入原方程求出x的值即可。
(2) 求解一元一次不等式组需先分别解出每个不等式的解集：解第一个不等式先去分母，再移项合并同类项，注意不等号两边除以负数时要改变方向；解第二个不等式直接移项即可。取两个解集的公共部分即为不等式组的解集，在数轴上表示解集时，大于号对应空心圆点、方向向右，小于等于号对应实心圆点、方向向左。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2x+3y=10,① \\4x+y=5,②\end{cases}$
将①×2得$4x+6y=20$ ③，用③-②消去x，可得$5y=15$，解得$y=3$。
把$y=3$代入①，得$2x+9=10$，解得$x=\frac{1}{2}$。
(2) 记不等式组为$\begin{cases}5-\dfrac{1}{2}x≥ \dfrac{3x-6}{2},① \\3+x＞4,②\end{cases}$
解不等式①：两边同乘2去分母得$10-x≥3x-6$，移项合并同类项得$-4x≥-16$，系数化为1得$x≤4$。
解不等式②：移项得$x＞1$。
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$1＜x≤4$，按照数轴表示解集的规则绘制即可。
【答案】
(1) 方程组的解为$\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}, \\y=3.\end{cases}$
(2) 不等式组的解集为$1＜x≤4$，将解集表示在数轴上如下：
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式组的解法；数轴表示不等式解集
【点评】
本题是基础运算题，核心考察消元法解二元一次方程组、不等式组的求解规则，以及数轴表示解集的注意事项，掌握基本运算方法和规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
20.(本小题满分10分)(1)在$△ ABC$中，$AB=20$，$BC=7$，$AC=2m-3$.求$m$的取值范围；
(2)若三角形中有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，则这个三角形叫“三倍角三角形”.已知$△ ABC$是三倍角三角形，且$∠ A=63°$，求$△ ABC$中最小内角的度数.
(2)若三角形中有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，则这个三角形叫“三倍角三角形”.已知$△ ABC$是三倍角三角形，且$∠ A=63°$，求$△ ABC$中最小内角的度数.
答案
20.解：(1)因为$20-7＜2m-3＜20+7$,即$13＜2m-3＜27$,所以$8＜m＜15$.
(2)由三角形内角和,可知$∠B+∠C=117°$,
设最小角为$x$,
①$63°=3x$,$x=21°$,
②$x+3x=117°$,$x=29.25°$,
即$△ABC$中最小内角的度数为$21°$或$29.25°$.
(2)由三角形内角和,可知$∠B+∠C=117°$,
设最小角为$x$,
①$63°=3x$,$x=21°$,
②$x+3x=117°$,$x=29.25°$,
即$△ABC$中最小内角的度数为$21°$或$29.25°$.
解析
【分析】
(1) 要确定m的取值范围，需先利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边AC的取值范围，再代入AC=2m-3解关于m的不等式即可。
(2) 首先根据三角形内角和为180°，算出∠B与∠C的度数和，再结合“三倍角三角形”的定义分两种情况讨论：①已知角∠A是最小内角的3倍，直接计算可得最小角；②∠B和∠C两个角中存在3倍关系，设最小角为x，根据两角和列方程求解，两种情况均验证符合三角形内角要求即可。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系可得：
$AB-BC ＜ AC ＜ AB+BC$
代入$AB=20$，$BC=7$，$AC=2m-3$，得：
$20-7 ＜ 2m-3 ＜ 20+7$
即$13 ＜ 2m-3 ＜ 27$
不等式各部分同时加3，得$16 ＜ 2m ＜ 30$
不等式各部分同时除以2，得$8 ＜ m ＜ 15$
(2) 根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ A=63°$，可得：
$∠ B+∠ C=180°-63°=117°$
设最小内角的度数为$x$，分两种情况讨论：
① 当$∠ A$是最小角的3倍时，$3x=63°$，解得$x=21°$，此时其余两角为$21°$、$96°$，符合三角形内角要求；
② 当$∠ B$和$∠ C$中存在3倍关系时，$x+3x=117°$，解得$4x=117°$，$x=29.25°$，此时其余两角为$29.25°$、$87.75°$，符合三角形内角要求。
【答案】
(1) $8＜m＜15$；(2) $21°$或$29.25°$
【知识点】
三角形三边关系；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题基础考察三角形核心性质，第一问直接运用三边关系解不等式即可得分；第二问结合新定义考察分类讨论能力，解题时需考虑所有符合“三倍角”的情况，避免漏解，整体难度适中，注重对基础知识和思维严谨性的考察。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定m的取值范围，需先利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边AC的取值范围，再代入AC=2m-3解关于m的不等式即可。
(2) 首先根据三角形内角和为180°，算出∠B与∠C的度数和，再结合“三倍角三角形”的定义分两种情况讨论：①已知角∠A是最小内角的3倍，直接计算可得最小角；②∠B和∠C两个角中存在3倍关系，设最小角为x，根据两角和列方程求解，两种情况均验证符合三角形内角要求即可。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系可得：
$AB-BC ＜ AC ＜ AB+BC$
代入$AB=20$，$BC=7$，$AC=2m-3$，得：
$20-7 ＜ 2m-3 ＜ 20+7$
即$13 ＜ 2m-3 ＜ 27$
不等式各部分同时加3，得$16 ＜ 2m ＜ 30$
不等式各部分同时除以2，得$8 ＜ m ＜ 15$
(2) 根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ A=63°$，可得：
$∠ B+∠ C=180°-63°=117°$
设最小内角的度数为$x$，分两种情况讨论：
① 当$∠ A$是最小角的3倍时，$3x=63°$，解得$x=21°$，此时其余两角为$21°$、$96°$，符合三角形内角要求；
② 当$∠ B$和$∠ C$中存在3倍关系时，$x+3x=117°$，解得$4x=117°$，$x=29.25°$，此时其余两角为$29.25°$、$87.75°$，符合三角形内角要求。
【答案】
(1) $8＜m＜15$；(2) $21°$或$29.25°$
【知识点】
三角形三边关系；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题基础考察三角形核心性质，第一问直接运用三边关系解不等式即可得分；第二问结合新定义考察分类讨论能力，解题时需考虑所有符合“三倍角”的情况，避免漏解，整体难度适中，注重对基础知识和思维严谨性的考察。
【难度系数】
0.7
