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16.某小组开展平行线性质探究时将一副三角尺按图1方式放在两条平行线AB,CD之间，其中点E,F在直线AB上，点H,N在直线CD上，∠EGH=∠FMN=90°,∠GEH=45°,∠MFN=30°.记∠AEG=∠1,∠GHC=∠2,∠MND=∠3,∠BFM=∠4.
(1)比较大小:∠1+∠2
(2)如图2,∠EFN的平分线FP交直线CD于点P,记∠EHD=α(0°＜α＜90°),∠FPN=β.现保持三角尺EGH不动,将三角尺FMN从如图位置向左平移,若在运动过程中MN与EH始终平行,α与β满足的数量关系为
(1)比较大小:∠1+∠2
=
∠3+∠4.(填“＞”“＜”或“=” )(2)如图2,∠EFN的平分线FP交直线CD于点P,记∠EHD=α(0°＜α＜90°),∠FPN=β.现保持三角尺EGH不动,将三角尺FMN从如图位置向左平移,若在运动过程中MN与EH始终平行,α与β满足的数量关系为
$30°+\dfrac{1}{2}α=β$
.答案
16.(1)= (2)$30°+\dfrac{1}{2}α=β$
解析
【分析】
(1) 解题时先结合三角板的固定内角度数，再利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别拆分角度计算∠1+∠2与∠3+∠4的数值，最后比较大小即可。
(2) 先根据平行线“同位角相等”的性质，结合MN//EH得到∠MND和α的关系，再结合三角板固定角度求出∠EFN的表达式，之后利用角平分线的定义得到∠EFP的表达式，最后根据平行线“内错角相等”的性质建立α与β的数量关系。
【解析】
(1)
∵△EGH为等腰直角三角尺，∠EGH=90°，∠GEH=45°
∴∠GHE=45°
∵AB//CD，
∴∠AEH + ∠CHE=180°
又
∵∠AEH=∠1+∠GEH=∠1+45°，∠CHE=∠2+∠GHE=∠2+45°
代入得：∠1+45°+∠2+45°=180°，解得∠1+∠2=90°
同理，△FMN为含30°角的直角三角尺，∠FMN=90°，∠MFN=30°
∴∠FNM=60°
∵AB//CD，
∴∠BFN + ∠DNF=180°
又
∵∠BFN=∠4+∠MFN=∠4+30°，∠DNF=∠3+∠FNM=∠3+60°
代入得：∠4+30°+∠3+60°=180°，解得∠3+∠4=90°
∴∠1+∠2=∠3+∠4
(2)
∵EH//MN，CD为截线，
∴∠MND=∠EHD=α
∵△FMN中∠FNM=60°，
∴∠FND=∠FNM+∠MND=60°+α
∵AB//CD，
∴∠EFN=∠FND=60°+α
∵FP平分∠EFN，
∴∠EFP=$\frac{1}{2}$∠EFN=$\frac{1}{2}(60°+α)=30°+\frac{1}{2}α$
又
∵AB//CD，FP为截线，内错角∠EFP=∠FPN=β
∴$30°+\frac{1}{2}α=β$
【答案】
(1) = (2) $30°+\dfrac{1}{2}α=β$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，三角板角度计算
【点评】
本题是平行线性质的探究类典型题，结合三角板的固定角度考查角度推导，解题的核心是准确拆分角，灵活运用平行线的同位角、内错角、同旁内角的角度关系建立联系，能有效训练学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.65
(1) 解题时先结合三角板的固定内角度数，再利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别拆分角度计算∠1+∠2与∠3+∠4的数值，最后比较大小即可。
(2) 先根据平行线“同位角相等”的性质，结合MN//EH得到∠MND和α的关系，再结合三角板固定角度求出∠EFN的表达式，之后利用角平分线的定义得到∠EFP的表达式，最后根据平行线“内错角相等”的性质建立α与β的数量关系。
【解析】
(1)
∵△EGH为等腰直角三角尺，∠EGH=90°，∠GEH=45°
∴∠GHE=45°
∵AB//CD，
∴∠AEH + ∠CHE=180°
又
∵∠AEH=∠1+∠GEH=∠1+45°，∠CHE=∠2+∠GHE=∠2+45°
代入得：∠1+45°+∠2+45°=180°，解得∠1+∠2=90°
同理，△FMN为含30°角的直角三角尺，∠FMN=90°，∠MFN=30°
∴∠FNM=60°
∵AB//CD，
∴∠BFN + ∠DNF=180°
又
∵∠BFN=∠4+∠MFN=∠4+30°，∠DNF=∠3+∠FNM=∠3+60°
代入得：∠4+30°+∠3+60°=180°，解得∠3+∠4=90°
∴∠1+∠2=∠3+∠4
(2)
∵EH//MN，CD为截线，
∴∠MND=∠EHD=α
∵△FMN中∠FNM=60°，
∴∠FND=∠FNM+∠MND=60°+α
∵AB//CD，
∴∠EFN=∠FND=60°+α
∵FP平分∠EFN，
∴∠EFP=$\frac{1}{2}$∠EFN=$\frac{1}{2}(60°+α)=30°+\frac{1}{2}α$
又
∵AB//CD，FP为截线，内错角∠EFP=∠FPN=β
∴$30°+\frac{1}{2}α=β$
【答案】
(1) = (2) $30°+\dfrac{1}{2}α=β$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，三角板角度计算
【点评】
本题是平行线性质的探究类典型题，结合三角板的固定角度考查角度推导，解题的核心是准确拆分角，灵活运用平行线的同位角、内错角、同旁内角的角度关系建立联系，能有效训练学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.65
三、解答题(本大题共7个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分9分)分解因式:
(1)$x^3y - 2x^2y^2 + xy^3$；
(2)$(x+a)^2 - (x-b)^2$；
(3)$(3x-2)^2 - (2x+7)^2$.
17.(本小题满分9分)分解因式:
(1)$x^3y - 2x^2y^2 + xy^3$；
(2)$(x+a)^2 - (x-b)^2$；
(3)$(3x-2)^2 - (2x+7)^2$.
答案
17.解：(1)原式 $= xy(x^2 - 2xy + y^2) = xy(x-y)^2$.
(2)原式$=[(x+a)+(x-b)][(x+a)-(x-b)]$
$=(x+a+x-b)(x+a-x+b)$
$=(2x+a-b)(a+b)$.
(3)原式$=[(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)]$
$=(3x-2+2x+7)(3x-2-2x-7)$
$=(5x+5)(x-9)$
$=5(x+1)(x-9)$.
(2)原式$=[(x+a)+(x-b)][(x+a)-(x-b)]$
$=(x+a+x-b)(x+a-x+b)$
$=(2x+a-b)(a+b)$.
(3)原式$=[(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)]$
$=(3x-2+2x+7)(3x-2-2x-7)$
$=(5x+5)(x-9)$
$=5(x+1)(x-9)$.
解析
【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的步骤：①先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；②再观察提取公因式后剩下的多项式，匹配对应的乘法公式（完全平方公式、平方差公式）进一步分解；③最后检查分解是否彻底，保证每个因式都不能再分解。
针对本题三个小题：
(1) 先提取公因式$xy$，剩余部分是三项式，符合完全平方公式的形式，继续用完全平方公式分解即可；
(2) 是两个平方的差，直接套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$(x+a)$看作$a$，$(x-b)$看作$b$，展开后合并同类项即可；
(3) 同样是两个平方的差，先套用平方差公式展开合并，再检查得到的因式是否还有公因式，若有则继续提取，直到分解彻底。
【解析】
(1) 先提取公因式$xy$，再利用完全平方公式分解：
原式 $= xy(x^2 - 2xy + y^2) = xy(x-y)^2$
(2) 利用平方差公式分解，再合并同类项：
原式$=[(x+a)+(x-b)][(x+a)-(x-b)]$
$=(x+a+x-b)(x+a-x+b)$
$=(2x+a-b)(a+b)$
(3) 先用平方差公式分解，合并同类项后再提取公因式：
原式$=[(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)]$
$=(3x-2+2x+7)(3x-2-2x-7)$
$=(5x+5)(x-9)$
$=5(x+1)(x-9)$
【答案】
(1) $xy(x-y)^2$；(2) $(2x+a-b)(a+b)$；(3) $5(x+1)(x-9)$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考察因式分解的标准步骤，解题时要注意去括号的符号问题，最后必须检查分解结果是否彻底，不能有公因式残留，熟练掌握常见乘法公式是解题的关键。
【难度系数】
0.75
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的步骤：①先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；②再观察提取公因式后剩下的多项式，匹配对应的乘法公式（完全平方公式、平方差公式）进一步分解；③最后检查分解是否彻底，保证每个因式都不能再分解。
针对本题三个小题：
(1) 先提取公因式$xy$，剩余部分是三项式，符合完全平方公式的形式，继续用完全平方公式分解即可；
(2) 是两个平方的差，直接套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$(x+a)$看作$a$，$(x-b)$看作$b$，展开后合并同类项即可；
(3) 同样是两个平方的差，先套用平方差公式展开合并，再检查得到的因式是否还有公因式，若有则继续提取，直到分解彻底。
【解析】
(1) 先提取公因式$xy$，再利用完全平方公式分解：
原式 $= xy(x^2 - 2xy + y^2) = xy(x-y)^2$
(2) 利用平方差公式分解，再合并同类项：
原式$=[(x+a)+(x-b)][(x+a)-(x-b)]$
$=(x+a+x-b)(x+a-x+b)$
$=(2x+a-b)(a+b)$
(3) 先用平方差公式分解，合并同类项后再提取公因式：
原式$=[(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)]$
$=(3x-2+2x+7)(3x-2-2x-7)$
$=(5x+5)(x-9)$
$=5(x+1)(x-9)$
【答案】
(1) $xy(x-y)^2$；(2) $(2x+a-b)(a+b)$；(3) $5(x+1)(x-9)$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考察因式分解的标准步骤，解题时要注意去括号的符号问题，最后必须检查分解结果是否彻底，不能有公因式残留，熟练掌握常见乘法公式是解题的关键。
【难度系数】
0.75
18.(本小题满分8分)先化简,再求值:$x(5x+3y)(2x-\dfrac{1}{3}y)-(4x^3y-8xy^3)+2xy$,其中$x=1,y=-3.$
答案
18.解：$x(5x+3y)(2x-\dfrac{1}{3}y)-(4x^3y-8xy^3)+2xy$
$=x(10x^2-\dfrac{5}{3}xy+6xy-y^2)-(4x^3y-8xy^3)+2xy$
$=10x^3-\dfrac{5}{3}x^2y+6x^2y-xy^2-4x^3y+8xy^3+2xy$
$=10x^3+\dfrac{13}{3}x^2y-xy^2-4x^3y+8xy^3+2xy$.
当$x=1,y=-3$时，原式$=10+\dfrac{13}{3}×(-3)-9-4×(-3)+8×(-27)+2×(-3)=-222$.
$=x(10x^2-\dfrac{5}{3}xy+6xy-y^2)-(4x^3y-8xy^3)+2xy$
$=10x^3-\dfrac{5}{3}x^2y+6x^2y-xy^2-4x^3y+8xy^3+2xy$
$=10x^3+\dfrac{13}{3}x^2y-xy^2-4x^3y+8xy^3+2xy$.
当$x=1,y=-3$时，原式$=10+\dfrac{13}{3}×(-3)-9-4×(-3)+8×(-27)+2×(-3)=-222$.
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，遵循“先化简、再求值”的原则解题即可。首先明确运算顺序：先计算多项式乘法，再计算单项式乘多项式，随后去括号、合并同类项得到最简整式，最后将x、y的取值代入最简式计算结果。思考时要注意：①多项式乘多项式要逐项相乘，不要漏乘；②去括号时若括号前是负号，括号内各项要变号；③代值计算时注意负数的乘方运算符号，避免计算错误。
【解析】
解：先化简整式：
$x(5x+3y)(2x-\dfrac{1}{3}y)-(4x^3y-8xy^3)+2xy$
第一步，计算多项式乘多项式：
$=x(10x^2-\dfrac{5}{3}xy+6xy-y^2)-(4x^3y-8xy^3)+2xy$
第二步，计算单项式乘多项式，同时去括号：
$=10x^3-\dfrac{5}{3}x^2y+6x^2y-xy^2-4x^3y+8xy^3+2xy$
第三步，合并同类项：
$=10x^3+\dfrac{13}{3}x^2y-xy^2-4x^3y+8xy^3+2xy$
再代入$x=1,y=-3$求值：
原式$=10+\dfrac{13}{3}×(-3)-9-4×(-3)+8×(-27)+2×(-3)$
$=10-13-9+12-216-6$
$=-222$
【答案】
$-222$
【知识点】
整式的乘法运算、去括号法则、代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，重点考查整式混合运算的法则，要求熟练掌握多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算方法，去括号时注意符号变化，代值计算时要细心处理负数的乘方、乘法运算，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.6
本题是整式化简求值类题目，遵循“先化简、再求值”的原则解题即可。首先明确运算顺序：先计算多项式乘法，再计算单项式乘多项式，随后去括号、合并同类项得到最简整式，最后将x、y的取值代入最简式计算结果。思考时要注意：①多项式乘多项式要逐项相乘，不要漏乘；②去括号时若括号前是负号，括号内各项要变号；③代值计算时注意负数的乘方运算符号，避免计算错误。
【解析】
解：先化简整式：
$x(5x+3y)(2x-\dfrac{1}{3}y)-(4x^3y-8xy^3)+2xy$
第一步，计算多项式乘多项式：
$=x(10x^2-\dfrac{5}{3}xy+6xy-y^2)-(4x^3y-8xy^3)+2xy$
第二步，计算单项式乘多项式，同时去括号：
$=10x^3-\dfrac{5}{3}x^2y+6x^2y-xy^2-4x^3y+8xy^3+2xy$
第三步，合并同类项：
$=10x^3+\dfrac{13}{3}x^2y-xy^2-4x^3y+8xy^3+2xy$
再代入$x=1,y=-3$求值：
原式$=10+\dfrac{13}{3}×(-3)-9-4×(-3)+8×(-27)+2×(-3)$
$=10-13-9+12-216-6$
$=-222$
【答案】
$-222$
【知识点】
整式的乘法运算、去括号法则、代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，重点考查整式混合运算的法则，要求熟练掌握多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算方法，去括号时注意符号变化，代值计算时要细心处理负数的乘方、乘法运算，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.6
