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7.将一副直角三角尺如图放置,使含$30°$角的三角尺的一条直角边和含$45°$角的三角尺的一条直角边重合,则$α$的值为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
D
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时首先要明确一副直角三角尺各内角的度数，再观察图形找到与α相关的角的位置关系：第一步回忆两种三角尺的固定角度，等腰直角三角尺角度为90°、45°、45°，含30°角的三角尺角度为90°、60°、30°；第二步找到和α互为对顶角的角所在的三角形，确定该三角形另外两个内角的度数；第三步利用三角形内角和定理求出该角的度数，再结合对顶角相等的性质得到α的值。
【解析】
1. 明确三角尺角度：等腰直角三角尺的锐角为45°，含30°角的三角尺的较大锐角为60°。
2. 观察图形可得，两个三角尺的直角边重合后，形成一个新的三角形，该三角形的两个内角分别为45°和60°。
3. 根据三角形内角和为180°，计算该三角形的第三个内角：$180°-45°-60°=75°$。
4. 该角与α是对顶角，根据对顶角相等，可得$α=75°$。
【答案】
D
【知识点】
三角尺角度特征，三角形内角和，对顶角相等
【点评】
本题属于基础角度运算题，核心是熟悉三角尺的固定角度，能准确找到角与角之间的位置关系，结合基础几何性质计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一副直角三角尺各内角的度数，再观察图形找到与α相关的角的位置关系：第一步回忆两种三角尺的固定角度，等腰直角三角尺角度为90°、45°、45°，含30°角的三角尺角度为90°、60°、30°；第二步找到和α互为对顶角的角所在的三角形，确定该三角形另外两个内角的度数；第三步利用三角形内角和定理求出该角的度数，再结合对顶角相等的性质得到α的值。
【解析】
1. 明确三角尺角度：等腰直角三角尺的锐角为45°，含30°角的三角尺的较大锐角为60°。
2. 观察图形可得，两个三角尺的直角边重合后，形成一个新的三角形，该三角形的两个内角分别为45°和60°。
3. 根据三角形内角和为180°，计算该三角形的第三个内角：$180°-45°-60°=75°$。
4. 该角与α是对顶角，根据对顶角相等，可得$α=75°$。
【答案】
D
【知识点】
三角尺角度特征，三角形内角和，对顶角相等
【点评】
本题属于基础角度运算题，核心是熟悉三角尺的固定角度，能准确找到角与角之间的位置关系，结合基础几何性质计算即可。
【难度系数】
0.8
8. 将多项式$x^{n+3}-x^{n+1}$分解因式,结果是 （
A.$x^n(x^3 - x)$
B.$x^n(x^3 -1)$
C.$x^{n+1}(x^2 -1)$
D.$x^{n+1}(x+1)(x-1)$
D
）A.$x^n(x^3 - x)$
B.$x^n(x^3 -1)$
C.$x^{n+1}(x^2 -1)$
D.$x^{n+1}(x+1)(x-1)$
答案
8.D
解析
【分析】
解决因式分解类题目首先要遵循“一提二套三查”的思路：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的形式继续分解，最后检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。本题先观察两项的公因式，提取后再用平方差公式继续分解，最后匹配选项即可。
【解析】
对多项式$x^{n+3}-x^{n+1}$分步分解因式：
1. 提取公因式：多项式两项的公因式为$x^{n+1}$，提取后可得：
$x^{n+3}-x^{n+1}=x^{n+1}· x^2 - x^{n+1}·1 = x^{n+1}(x^2 - 1)$
2. 套用平方差公式继续分解：$x^2-1$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式（其中$a=x$，$b=1$），因此$x^2-1=(x+1)(x-1)$
3. 综上，最终分解结果为$x^{n+1}(x+1)(x-1)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题，易错点是容易忽略分解彻底的要求，误选分解不完全的C选项，解题时要养成最后检查每个因式是否还能分解的习惯。
【难度系数】
0.7
解决因式分解类题目首先要遵循“一提二套三查”的思路：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的形式继续分解，最后检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。本题先观察两项的公因式，提取后再用平方差公式继续分解，最后匹配选项即可。
【解析】
对多项式$x^{n+3}-x^{n+1}$分步分解因式：
1. 提取公因式：多项式两项的公因式为$x^{n+1}$，提取后可得：
$x^{n+3}-x^{n+1}=x^{n+1}· x^2 - x^{n+1}·1 = x^{n+1}(x^2 - 1)$
2. 套用平方差公式继续分解：$x^2-1$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式（其中$a=x$，$b=1$），因此$x^2-1=(x+1)(x-1)$
3. 综上，最终分解结果为$x^{n+1}(x+1)(x-1)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题，易错点是容易忽略分解彻底的要求，误选分解不完全的C选项，解题时要养成最后检查每个因式是否还能分解的习惯。
【难度系数】
0.7
9.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}4 - 2x ＜ 0, \\2x ≤ a\end{cases}$恰好有2个整数解，则$a$的取值范围是 （ ）
A.$8 ＜ a ＜ 10$
B.$8 ≤ a ＜ 10$
C.$8 ＜ a ≤ 10$
D.$8 ≤ a ≤ 10$
A.$8 ＜ a ＜ 10$
B.$8 ≤ a ＜ 10$
C.$8 ＜ a ≤ 10$
D.$8 ≤ a ≤ 10$
答案
9.B
解析
【分析】
解决这类含参数的一元一次不等式组整数解问题，可按三步思考：第一步先分别解出不等式组中两个不等式的解集，合并得到含参数a的公共解集；第二步根据“恰好有2个整数解”的限定，找出对应的两个整数解；第三步结合整数解的范围反推参数a的取值，注意单独验证边界值是否符合题意，避免漏判或多判。
【解析】
第一步：分别求解两个不等式
解不等式$4 - 2x ＜ 0$：
移项得：$-2x ＜ -4$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＞ 2$。
解不等式$2x ≤ a$：
两边同时除以$2$，得：$x ≤ \frac{a}{2}$。
第二步：确定不等式组的公共解集
合并两个解集，得不等式组的解集为：$2 ＜ x ≤ \frac{a}{2}$。
第三步：根据整数解个数求$a$的范围
∵不等式组恰好有2个整数解，大于2的最小两个整数为3、4，
∴整数解只能是3和4，
由此可得边界关系：$4 ≤ \frac{a}{2} ＜ 5$，
不等式三边同时乘2，得：$8 ≤ a ＜ 10$。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式组；不等式组的整数解；参数范围确定
【点评】
本题是不等式组的常考题型，核心是先求出公共解集，再结合整数解的个数锁定参数的边界范围，易错点是容易忽略边界值的验证，导致多取或者少取边界。
【难度系数】
0.7
解决这类含参数的一元一次不等式组整数解问题，可按三步思考：第一步先分别解出不等式组中两个不等式的解集，合并得到含参数a的公共解集；第二步根据“恰好有2个整数解”的限定，找出对应的两个整数解；第三步结合整数解的范围反推参数a的取值，注意单独验证边界值是否符合题意，避免漏判或多判。
【解析】
第一步：分别求解两个不等式
解不等式$4 - 2x ＜ 0$：
移项得：$-2x ＜ -4$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＞ 2$。
解不等式$2x ≤ a$：
两边同时除以$2$，得：$x ≤ \frac{a}{2}$。
第二步：确定不等式组的公共解集
合并两个解集，得不等式组的解集为：$2 ＜ x ≤ \frac{a}{2}$。
第三步：根据整数解个数求$a$的范围
∵不等式组恰好有2个整数解，大于2的最小两个整数为3、4，
∴整数解只能是3和4，
由此可得边界关系：$4 ≤ \frac{a}{2} ＜ 5$，
不等式三边同时乘2，得：$8 ≤ a ＜ 10$。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式组；不等式组的整数解；参数范围确定
【点评】
本题是不等式组的常考题型，核心是先求出公共解集，再结合整数解的个数锁定参数的边界范围，易错点是容易忽略边界值的验证，导致多取或者少取边界。
【难度系数】
0.7
10. 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边，且满足$a^2b - a^2c = b^3 - b^2c$，则$△ ABC$的形状为（
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.任意三角形
A
）A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.任意三角形
答案
10.A
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需通过已知的三边等式推导边的数量关系。解题时先将等式所有项移到等号左侧，再通过分组提取公因式对多项式因式分解，结合三角形边长为正数的隐含条件，排除不可能为0的因式，即可得到边的相等关系，进而判断三角形形状。注意不能直接将等式两边同时除以含字母的公因式，避免漏解。
【解析】
对已知等式移项，得：
$a^2b - a^2c - b^3 + b^2c = 0$
分组提取公因式：
$a^2(b - c) - b^2(b - c) = 0$
再次提取公因式$(b - c)$，得：
$(b - c)(a^2 - b^2) = 0$
利用平方差公式分解得：
$(b - c)(a - b)(a + b) = 0$
∵a、b、c是△ABC的三边，边长均为正数，
∴$a + b ＞ 0$
∴$b - c = 0$或$a - b = 0$，即$b = c$或$a = b$
∴△ABC存在两条边相等，为等腰三角形。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的应用；等腰三角形的判定；三角形三边关系
【点评】
本题考查代数式变形与三角形形状的结合，解题的核心是正确对等式因式分解，同时注意三角形边长恒为正的隐含条件，避免因直接约去含字母的公因式导致漏解。
【难度系数】
0.7
要判断三角形的形状，需通过已知的三边等式推导边的数量关系。解题时先将等式所有项移到等号左侧，再通过分组提取公因式对多项式因式分解，结合三角形边长为正数的隐含条件，排除不可能为0的因式，即可得到边的相等关系，进而判断三角形形状。注意不能直接将等式两边同时除以含字母的公因式，避免漏解。
【解析】
对已知等式移项，得：
$a^2b - a^2c - b^3 + b^2c = 0$
分组提取公因式：
$a^2(b - c) - b^2(b - c) = 0$
再次提取公因式$(b - c)$，得：
$(b - c)(a^2 - b^2) = 0$
利用平方差公式分解得：
$(b - c)(a - b)(a + b) = 0$
∵a、b、c是△ABC的三边，边长均为正数，
∴$a + b ＞ 0$
∴$b - c = 0$或$a - b = 0$，即$b = c$或$a = b$
∴△ABC存在两条边相等，为等腰三角形。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的应用；等腰三角形的判定；三角形三边关系
【点评】
本题考查代数式变形与三角形形状的结合，解题的核心是正确对等式因式分解，同时注意三角形边长恒为正的隐含条件，避免因直接约去含字母的公因式导致漏解。
【难度系数】
0.7
11. 若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 3k + 4, \\x + 4y = 2k -5\end{cases}$的解满足$x + y ≤ 3$，则$k$的取值范围是（ ）
A.$k ≤ 1$
B.$k ≤ 2$
C.$k ≤ -1$
D.$k ≤ -2$
A.$k ≤ 1$
B.$k ≤ 2$
C.$k ≤ -1$
D.$k ≤ -2$
答案
11.B
解析
【分析】
解题时首先观察给出的二元一次方程组的结构特征，我们可以不用分别求出x、y的具体表达式，而是将两个方程左右两边直接相加，通过整理就能得到x+y关于k的整体表达式，再结合题目给出的x+y≤3的条件，列出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得到k的取值范围，这种整体变形的方法比单独求解x、y更简便。
【解析】
将方程组中两个方程左右两边分别相加：
$\begin{cases}2x - y = 3k + 4&① \\x + 4y = 2k -5&②\end{cases}$
由①+②得：
$2x - y + x + 4y = 3k + 4 + 2k - 5$
整理得：$3x + 3y = 5k - 1$
两边同时除以3，得：$x + y = \frac{5k - 1}{3}$
已知$x + y ≤ 3$，代入得：
$\frac{5k - 1}{3} ≤ 3$
不等式两边同时乘3得：$5k - 1 ≤ 9$
移项、合并同类项得：$5k ≤ 10$
系数化为1得：$k ≤ 2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
加减消元法，解一元一次不等式，整体思想应用
【点评】
本题侧重考察学生的观察能力和基础运算能力，巧妙利用加减消元法得到x+y的整体表达式是解题的关键，能避免单独求解x、y的繁琐，熟练掌握整体思想可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察给出的二元一次方程组的结构特征，我们可以不用分别求出x、y的具体表达式，而是将两个方程左右两边直接相加，通过整理就能得到x+y关于k的整体表达式，再结合题目给出的x+y≤3的条件，列出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得到k的取值范围，这种整体变形的方法比单独求解x、y更简便。
【解析】
将方程组中两个方程左右两边分别相加：
$\begin{cases}2x - y = 3k + 4&① \\x + 4y = 2k -5&②\end{cases}$
由①+②得：
$2x - y + x + 4y = 3k + 4 + 2k - 5$
整理得：$3x + 3y = 5k - 1$
两边同时除以3，得：$x + y = \frac{5k - 1}{3}$
已知$x + y ≤ 3$，代入得：
$\frac{5k - 1}{3} ≤ 3$
不等式两边同时乘3得：$5k - 1 ≤ 9$
移项、合并同类项得：$5k ≤ 10$
系数化为1得：$k ≤ 2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
加减消元法，解一元一次不等式，整体思想应用
【点评】
本题侧重考察学生的观察能力和基础运算能力，巧妙利用加减消元法得到x+y的整体表达式是解题的关键，能避免单独求解x、y的繁琐，熟练掌握整体思想可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
12. 已知 $ p $ 为偶数，$ q $ 为奇数，方程组 $\begin{cases}x - 2012y = p, \\2013x + 3y = q\end{cases}$ 的解是整数，那么（ ）
A.$ x $ 为奇数，$ y $ 是偶数
B.$ x $ 为偶数，$ y $ 是奇数
C.$ x $ 为偶数，$ y $ 是偶数
D.$ x $ 为奇数，$ y $ 是奇数
A.$ x $ 为奇数，$ y $ 是偶数
B.$ x $ 为偶数，$ y $ 是奇数
C.$ x $ 为偶数，$ y $ 是偶数
D.$ x $ 为奇数，$ y $ 是奇数
答案
12.B
解析
【分析】
解题时我们可以利用整数奇偶性的运算规律，不需要求出方程组的具体解，就能推导x、y的奇偶性：第一步先观察第一个方程，2012是偶数，所以2012y恒为偶数，结合p是偶数，就能推出x的奇偶性，排除不符合的选项；第二步将得到的x的奇偶性代入第二个方程，结合q是奇数，推出3y的奇偶性，进而得到y的奇偶性，最终确定正确选项。
【解析】
根据整数奇偶性的运算规则：偶数乘任意整数都是偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，奇数×奇数=奇数。
1. 从第一个方程$x - 2012y = p$推导x的奇偶性：
因为2012是偶数，所以$2012y$是偶数，又已知p是偶数，变形得$x = p + 2012y$，偶数加偶数的和为偶数，因此x是偶数，排除A、D选项。
2. 从第二个方程$2013x + 3y = q$推导y的奇偶性：
已经得出x是偶数，2013是奇数，因此$2013x$是奇数×偶数=偶数；已知q是奇数，变形得$3y = q - 2013x$，奇数减偶数的差为奇数，因此$3y$是奇数。3是奇数，只有奇数乘奇数的积为奇数，因此y是奇数。
综上，x为偶数，y是奇数，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
整数奇偶性运算，二元一次方程组整数解
【点评】
本题不需要求解方程组的具体数值，核心是灵活运用奇偶性运算规律推导解的性质，解题时可先通过明显的关系先排除部分错误选项，再推导剩余未知量的性质，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以利用整数奇偶性的运算规律，不需要求出方程组的具体解，就能推导x、y的奇偶性：第一步先观察第一个方程，2012是偶数，所以2012y恒为偶数，结合p是偶数，就能推出x的奇偶性，排除不符合的选项；第二步将得到的x的奇偶性代入第二个方程，结合q是奇数，推出3y的奇偶性，进而得到y的奇偶性，最终确定正确选项。
【解析】
根据整数奇偶性的运算规则：偶数乘任意整数都是偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，奇数×奇数=奇数。
1. 从第一个方程$x - 2012y = p$推导x的奇偶性：
因为2012是偶数，所以$2012y$是偶数，又已知p是偶数，变形得$x = p + 2012y$，偶数加偶数的和为偶数，因此x是偶数，排除A、D选项。
2. 从第二个方程$2013x + 3y = q$推导y的奇偶性：
已经得出x是偶数，2013是奇数，因此$2013x$是奇数×偶数=偶数；已知q是奇数，变形得$3y = q - 2013x$，奇数减偶数的差为奇数，因此$3y$是奇数。3是奇数，只有奇数乘奇数的积为奇数，因此y是奇数。
综上，x为偶数，y是奇数，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
整数奇偶性运算，二元一次方程组整数解
【点评】
本题不需要求解方程组的具体数值，核心是灵活运用奇偶性运算规律推导解的性质，解题时可先通过明显的关系先排除部分错误选项，再推导剩余未知量的性质，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
二、填空题（本大题共4个大题，每小题3分，共12分）
13. 证明“若a的绝对值等于它本身，则a是正数”是假命题的反例可以是
13. 证明“若a的绝对值等于它本身，则a是正数”是假命题的反例可以是
$a=0$
.答案
13.$a=0$
解析
【分析】
要证明一个命题是假命题，只需举出符合命题条件、但不符合命题结论的反例即可。首先拆分原命题：条件是“a的绝对值等于它本身”，结论是“a是正数”。接下来回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0（也等于它本身），因此满足“绝对值等于本身”的数包含正数和0，其中0满足条件但不是正数，刚好符合反例的要求。
【解析】
反例需要同时满足两个要求：①符合原命题的条件：|a|=a；②不符合原命题的结论：a不是正数。
根据绝对值的性质，当a≥0时，|a|=a，即a可以是正数或0。
当a=0时，|0|=0，满足|a|=a的条件，但0不属于正数，不满足原命题的结论，因此a=0可作为该假命题的反例。
【答案】
$a=0$
【知识点】
绝对值的性质；假命题的判定；反例的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，解题核心是明确反例需满足“符合题设、违背结论”的特征，做题时要注意0的特殊性，避免因忽略0的绝对值等于本身的性质而出错。
【难度系数】
0.8
要证明一个命题是假命题，只需举出符合命题条件、但不符合命题结论的反例即可。首先拆分原命题：条件是“a的绝对值等于它本身”，结论是“a是正数”。接下来回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0（也等于它本身），因此满足“绝对值等于本身”的数包含正数和0，其中0满足条件但不是正数，刚好符合反例的要求。
【解析】
反例需要同时满足两个要求：①符合原命题的条件：|a|=a；②不符合原命题的结论：a不是正数。
根据绝对值的性质，当a≥0时，|a|=a，即a可以是正数或0。
当a=0时，|0|=0，满足|a|=a的条件，但0不属于正数，不满足原命题的结论，因此a=0可作为该假命题的反例。
【答案】
$a=0$
【知识点】
绝对值的性质；假命题的判定；反例的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，解题核心是明确反例需满足“符合题设、违背结论”的特征，做题时要注意0的特殊性，避免因忽略0的绝对值等于本身的性质而出错。
【难度系数】
0.8
14.如果多项式$9x^2+1$加上一个单项式$M$后能成为一个完全平方公式的展开式，试写出这个单项式$M$(所有可能)
$\pm 6x,\dfrac{81}{4}x^4$
.答案
14.$\pm 6x,\dfrac{81}{4}x^4$
解析
【分析】
本题需要结合完全平方公式的结构特征分类讨论求解。首先回忆完全平方公式的形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，已知多项式为$9x^2+1$，我们分两种情况讨论：第一种是把$9x^2$和$1$当作完全平方中的两个平方项，求对应的中间交叉项；第二种是把$9x^2$当作完全平方中的交叉项，$1$当作其中一个平方项，求对应的另一个平方项，即可得到所有可能的单项式$M$。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分情况讨论：
1. 当$9x^2$和$1$为完全平方的两个平方项时：
此时$a^2=9x^2$，$b^2=1$，即$a=3x$，$b=1$，
则交叉项$\pm2ab=\pm2×3x×1=\pm6x$，
因此$M=\pm6x$。
2. 当$9x^2$为完全平方的交叉项，$1$为其中一个平方项时：
此时$2ab=9x^2$，$b^2=1$，即$b=1$，
解得$a=\frac{9x^2}{2×1}=\frac{9}{2}x^2$，
则另一个平方项$a^2=(\frac{9}{2}x^2)^2=\frac{81}{4}x^4$，
因此$M=\frac{81}{4}x^4$。
【答案】
$\pm 6x,\dfrac{81}{4}x^4$
【知识点】
完全平方公式，整式运算
【点评】
本题解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，解题时要运用分类讨论思想，尤其注意不要遗漏高次项的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5
本题需要结合完全平方公式的结构特征分类讨论求解。首先回忆完全平方公式的形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，已知多项式为$9x^2+1$，我们分两种情况讨论：第一种是把$9x^2$和$1$当作完全平方中的两个平方项，求对应的中间交叉项；第二种是把$9x^2$当作完全平方中的交叉项，$1$当作其中一个平方项，求对应的另一个平方项，即可得到所有可能的单项式$M$。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分情况讨论：
1. 当$9x^2$和$1$为完全平方的两个平方项时：
此时$a^2=9x^2$，$b^2=1$，即$a=3x$，$b=1$，
则交叉项$\pm2ab=\pm2×3x×1=\pm6x$，
因此$M=\pm6x$。
2. 当$9x^2$为完全平方的交叉项，$1$为其中一个平方项时：
此时$2ab=9x^2$，$b^2=1$，即$b=1$，
解得$a=\frac{9x^2}{2×1}=\frac{9}{2}x^2$，
则另一个平方项$a^2=(\frac{9}{2}x^2)^2=\frac{81}{4}x^4$，
因此$M=\frac{81}{4}x^4$。
【答案】
$\pm 6x,\dfrac{81}{4}x^4$
【知识点】
完全平方公式，整式运算
【点评】
本题解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，解题时要运用分类讨论思想，尤其注意不要遗漏高次项的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5
15. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线与$∠ ACD$的平分线交于点$A_1$,得$∠ A_1$,$∠ A_1BC$的平分线与$∠ A_1CD$的平分线交于点$A_2$,得$∠ A_2$,$···$,$∠ A_{2023}BC$的平分线与$∠ A_{2023}CD$的平分线交于点$A_{2024}$,得$∠ A_{2024}$.
(1)若$∠ A=80°$,则$∠ A_1=$
(2)若$∠ A=α°$,则$∠ A_{2024}=$
(1)若$∠ A=80°$,则$∠ A_1=$
40
度;(2)若$∠ A=α°$,则$∠ A_{2024}=$
$\dfrac{α}{2^{2024}}$
度(用含$α$的代数式表示).答案
15.(1)40 (2)$\dfrac{α}{2^{2024}}$
解析
【分析】
解题时先结合三角形外角性质与角平分线定义推导∠A₁与∠A的数量关系，再根据该递推关系归纳出∠Aₙ与∠A的通用规律，最后代入数值或表达式求解即可。第一步：回忆三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC；第二步：结合角平分线定义，将∠A₁BC、∠A₁CD用∠ABC、∠ACD表示，代入外角关系式即可推导∠A₁=½∠A；第三步：同理推导∠A₂=½∠A₁=½²∠A，归纳得到通用规律∠Aₙ=∠A/2ⁿ，对应求解即可。
【解析】
(1)
∵ BA₁平分∠ABC，CA₁平分∠ACD
∴ $∠ A_1BC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD = \frac{1}{2}∠ ACD$
根据三角形外角性质：$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$，$∠ A_1CD = ∠ A_1 + ∠ A_1BC$
将角平分线关系代入第二个外角式得：
$\frac{1}{2}∠ ACD = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
变形得：$∠ A_1 = \frac{1}{2}(∠ ACD - ∠ ABC) = \frac{1}{2}∠ A$
当$∠ A=80°$时，$∠ A_1=\frac{1}{2}×80°=40°$
(2) 由上述推导可知：
$∠ A_2 = \frac{1}{2}∠ A_1 = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}∠ A = \frac{∠ A}{2^2}$
$∠ A_3 = \frac{1}{2}∠ A_2 = \frac{∠ A}{2^3}$
以此类推，可得通用规律：$∠ A_n = \frac{∠ A}{2^n}$
当n=2024，$∠ A=α°$时，$∠ A_{2024} = \frac{α}{2^{2024}}$度
【答案】
(1)40 (2)$\dfrac{α}{2^{2024}}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律探究
【点评】
本题属于几何规律探究题，解题核心是通过三角形外角性质和角平分线的定义，推导出后一个角是前一个角的$\frac{1}{2}$的递推关系，再归纳出一般结论即可求解，需要具备一定的逻辑推导和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
解题时先结合三角形外角性质与角平分线定义推导∠A₁与∠A的数量关系，再根据该递推关系归纳出∠Aₙ与∠A的通用规律，最后代入数值或表达式求解即可。第一步：回忆三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC；第二步：结合角平分线定义，将∠A₁BC、∠A₁CD用∠ABC、∠ACD表示，代入外角关系式即可推导∠A₁=½∠A；第三步：同理推导∠A₂=½∠A₁=½²∠A，归纳得到通用规律∠Aₙ=∠A/2ⁿ，对应求解即可。
【解析】
(1)
∵ BA₁平分∠ABC，CA₁平分∠ACD
∴ $∠ A_1BC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD = \frac{1}{2}∠ ACD$
根据三角形外角性质：$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$，$∠ A_1CD = ∠ A_1 + ∠ A_1BC$
将角平分线关系代入第二个外角式得：
$\frac{1}{2}∠ ACD = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
变形得：$∠ A_1 = \frac{1}{2}(∠ ACD - ∠ ABC) = \frac{1}{2}∠ A$
当$∠ A=80°$时，$∠ A_1=\frac{1}{2}×80°=40°$
(2) 由上述推导可知：
$∠ A_2 = \frac{1}{2}∠ A_1 = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}∠ A = \frac{∠ A}{2^2}$
$∠ A_3 = \frac{1}{2}∠ A_2 = \frac{∠ A}{2^3}$
以此类推，可得通用规律：$∠ A_n = \frac{∠ A}{2^n}$
当n=2024，$∠ A=α°$时，$∠ A_{2024} = \frac{α}{2^{2024}}$度
【答案】
(1)40 (2)$\dfrac{α}{2^{2024}}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律探究
【点评】
本题属于几何规律探究题，解题核心是通过三角形外角性质和角平分线的定义，推导出后一个角是前一个角的$\frac{1}{2}$的递推关系，再归纳出一般结论即可求解，需要具备一定的逻辑推导和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
