21.(本小题满分10分)如图,已知点E,F在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD.
(1)试说明:CE//GF;
(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系,并说明理由;
(3)若∠EHF=78°,∠D=35°,求∠AEM的度数.

21.解：(1)因为$∠CED=∠GHD$,
所以$CE// GF$.
(2)$∠AED+∠D=180°$.理由如下：
因为$CE// GF$,所以$∠C=∠FGD$.
因为$∠C=∠EFG$,
所以$∠FGD=∠EFG$,所以$AB// CD$,
所以$∠AED+∠D=180°$.
(3)因为$∠EHF=78°$,
所以$∠GHD=∠EHF=78°$.
因为$∠D=35°$,
所以$∠FGD=180°-∠D-∠GHD=180°-35°-78°=67°$.
因为$CE// GF$,所以$∠C=∠FGD=67°$.
因为$AB// CD$,所以$∠AEC=∠C=67°$,
所以$∠AEM=180°-∠AEC=180°-67°=113°$.

【分析】
(1) 要证明CE//GF，回忆平行线的判定定理，观察已知条件中∠CED和∠GHD是直线CE、GF被直线ED所截的同位角，同位角相等即可判定两直线平行。
(2) 判断∠AED与∠D的数量关系，先结合(1)的平行结论，由平行线性质得∠C=∠FGD，结合已知∠C=∠EFG等量代换得∠FGD=∠EFG，这两个角是直线AB、CD被FG所截的内错角，内错角相等可得AB//CD，再由平行线性质可得同旁内角∠AED与∠D互补。
(3) 求∠AEM的度数，先利用对顶角相等得∠GHD=∠EHF，再在△GHD中用三角形内角和求出∠FGD，结合CE//GF的性质得∠C的度数，再由AB//CD的性质得∠AEC=∠C，最后根据邻补角和为180°即可求出∠AEM。
【解析】
(1) 证明：
∵∠CED=∠GHD（已知），
∴CE//GF（同位角相等，两直线平行）。
(2) ∠AED+∠D=180°，理由如下：
∵CE//GF（已证），
∴∠C=∠FGD（两直线平行，同位角相等）。
又
∵∠C=∠EFG（已知），
∴∠FGD=∠EFG（等量代换），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠AED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
(3) 解：
∵∠EHF与∠GHD是对顶角，
∴∠GHD=∠EHF=78°（对顶角相等）。
在△GHD中，由三角形内角和为180°得：
∠FGD=180°-∠D-∠GHD=180°-35°-78°=67°。
∵CE//GF，
∴∠C=∠FGD=67°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵AB//CD，
∴∠AEC=∠C=67°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠AEM与∠AEC互为邻补角，
∴∠AEM=180°-∠AEC=180°-67°=113°。
【答案】
(1) CE//GF成立；
(2) ∠AED + ∠D = 180°；
(3) ∠AEM = 113°
【知识点】
平行线的判定与性质，对顶角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线章节的典型综合题，设问层层递进，侧重考查几何逻辑推理能力，解题时需理清角与直线的位置关系，逐步推导即可得出结论。
【难度系数】
0.7

22.(本小题满分10分)张老师在某文体店购买商品A,B若干次(每次A,B两种商品都购买,且A,B都只能购买整数个),其中第一、二两次购买时,均按标价购买,两次购买商品A,B的数量和费用如表所示:

(1)求商品A,B的标价;
(2)若张老师第三次购物时,商品A,B同时打6折出售,这次购买总费用为960元,则张老师有哪几种购买方案?

22.解：(1)设商品A的标价为$x$元/个,商品B的标价为$y$元/个.
根据题意,得$\begin{cases}6x+5y=980, \\3x+7y=940,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=80, \\y=100.\end{cases}$
答:商品A的标价为80元/个,商品B的标价为100元/个.
(2)设张老师购买$m$个商品A,$n$个商品B.
根据题意,得$80×0.6m+100×0.6n=960$,所以$m=20-\dfrac{5}{4}n$.
当$n=4$时,$m=15$;当$n=8$时,$m=10$;当$n=12$时,$m=5$.
答:张老师共有三种购买方案,
方案一:购买15个商品A,4个商品B;
方案二:购买10个商品A,8个商品B;
方案三:购买5个商品A,12个商品B.

【分析】
(1) 求商品A、B的标价，我们可以设两个未知数，根据两次购物的总费用找到两个等量关系：第一次购买6个A的费用+5个B的费用=980元，第二次购买3个A的费用+7个B的费用=940元，据此列二元一次方程组求解即可。
(2) 第三次购物A、B同时打6折，总费用960元，设购买A的数量为m个、B的数量为n个（m、n均为正整数，因为要求每次两种商品都购买），根据“打折后A的总费用+打折后B的总费用=960元”列方程，化简后结合正整数的限制筛选出所有符合条件的m、n，即可得到全部购买方案。
【解析】
(1) 设商品A的标价为$x$元/个，商品B的标价为$y$元/个，
根据题意列方程组：
$\begin{cases}6x+5y=980 \\3x+7y=940\end{cases}$
将第二个方程两边同时乘2，得$6x+14y=1880$，减去第一个方程：
$(6x+14y)-(6x+5y)=1880-980$
$9y=900$，解得$y=100$
把$y=100$代入$6x+5y=980$，得$6x+500=980$，解得$x=80$
即方程组的解为$\begin{cases}x=80 \\y=100\end{cases}$
(2) 设张老师购买$m$个商品A，$n$个商品B（$m、n$均为正整数），
根据题意列方程：
$80×0.6m + 100×0.6n = 960$
化简得：$48m+60n=960$，两边同时除以12得$4m+5n=80$，变形得$m=20-\dfrac{5}{4}n$
因为$m、n$都是正整数，所以$n$必须是4的正整数倍，且$m＞0$，即$20-\dfrac{5}{4}n＞0$，解得$n＜16$：
当$n=4$时，$m=20-\dfrac{5}{4}×4=15$；
当$n=8$时，$m=20-\dfrac{5}{4}×8=10$；
当$n=12$时，$m=20-\dfrac{5}{4}×12=5$。
【答案】
(1) 商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个；
(2) 共有3种购买方案：
方案一：购买15个商品A，4个商品B；
方案二：购买10个商品A，8个商品B；
方案三：购买5个商品A，12个商品B。
【知识点】
二元一次方程组的应用，打折销售问题，不定方程的整数解
【点评】
本题属于生活实际类应用题，第一问难度较低，找准等量关系列方程组即可解答；第二问需要结合未知数的实际意义筛选符合要求的解，考查学生的分析能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.7