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23.(本小题满分15分)对于数轴上不同的三个点M,N,P,若满足$PM=kPN$,则称点P是点M关于点N的“k倍分点”.例如,如图.在数轴上,点M,N表示的数分别是-2,1,可知原点O是点M关于点N的“2倍分点”,原点O也是点N关于点M的“$\frac{1}{2}$倍分点”.在数轴上,已知点A表示的数是-2,点B表示的数是4,点P为数轴上一动点,其对应的数为$x_P$.
(1)若点P为线段AB的中点,则点P对应的数$x_P=$
(2)若点P在移动的过程中,其到点A,点B的距离之和为8,求此时点P对应的数$x_P$的值;
(3)若点P在线段AB上,且点P是点A关于点B的“5倍分点”,则点P表示的数是
(4)若点P在数轴上,$AP=10$,且点P是点B关于点A的“k倍分点”,则k的值是
(5)若点P从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动.当点P运动t秒时,在A,B,P三个点中,恰有一个点是另一个点关于第三个点的“$\frac{1}{2}$倍分点”,求出t的值.
(1)若点P为线段AB的中点,则点P对应的数$x_P=$
1
;(2)若点P在移动的过程中,其到点A,点B的距离之和为8,求此时点P对应的数$x_P$的值;
(3)若点P在线段AB上,且点P是点A关于点B的“5倍分点”,则点P表示的数是
3
;(4)若点P在数轴上,$AP=10$,且点P是点B关于点A的“k倍分点”,则k的值是
1.6或0.4
;(5)若点P从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动.当点P运动t秒时,在A,B,P三个点中,恰有一个点是另一个点关于第三个点的“$\frac{1}{2}$倍分点”,求出t的值.
答案
23.(1)1
(2)解:由题意,可得点P不可能在线段AB上,只能在点A左侧,或点B右侧.
①点P在点A左侧,$PA=-2-x_P$,$PB=4-x_P$,所以$(-2-x_P)+(4-x_P)=8$,所以$x_P=-3$;
②点P在点B右侧,$PA=x_P-(-2)=x_P+2$,$PB=x_P-4$,所以$(x_P+2)+(x_P-4)=8$,$x_P=5$;
故点P对应的数$x_P$的值是$-3$或$5$.
(3)3
(4)1.6或0.4
(5)解:因为点P从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动,
所以$BP=3t$,$AP=3t+6$,$AB=6$,
①当$BP=\dfrac{1}{2}AB$时,即$3t=\dfrac{1}{2}×6$,解得$t=1$;
②当$BP=\dfrac{1}{2}AP$时,即$3t=\dfrac{1}{2}(3t+6)$,解得$t=2$;
③当$AB=\dfrac{1}{2}BP$时,即$6=\dfrac{1}{2}×3t$,解得$t=4$;
④当$AB=\dfrac{1}{2}AP$时,即$6=\dfrac{1}{2}(3t+6)$,解得$t=2$.
综上,$t$的值为1或2或4.
(2)解:由题意,可得点P不可能在线段AB上,只能在点A左侧,或点B右侧.
①点P在点A左侧,$PA=-2-x_P$,$PB=4-x_P$,所以$(-2-x_P)+(4-x_P)=8$,所以$x_P=-3$;
②点P在点B右侧,$PA=x_P-(-2)=x_P+2$,$PB=x_P-4$,所以$(x_P+2)+(x_P-4)=8$,$x_P=5$;
故点P对应的数$x_P$的值是$-3$或$5$.
(3)3
(4)1.6或0.4
(5)解:因为点P从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动,
所以$BP=3t$,$AP=3t+6$,$AB=6$,
①当$BP=\dfrac{1}{2}AB$时,即$3t=\dfrac{1}{2}×6$,解得$t=1$;
②当$BP=\dfrac{1}{2}AP$时,即$3t=\dfrac{1}{2}(3t+6)$,解得$t=2$;
③当$AB=\dfrac{1}{2}BP$时,即$6=\dfrac{1}{2}×3t$,解得$t=4$;
④当$AB=\dfrac{1}{2}AP$时,即$6=\dfrac{1}{2}(3t+6)$,解得$t=2$.
综上,$t$的值为1或2或4.
解析
【分析】
本题是结合数轴的新定义类问题，解题核心是先准确理解“k倍分点”的定义：若点P是点M关于点N的“k倍分点”，则两点距离满足$PM=kPN$，再结合数轴上两点距离公式分类讨论求解即可。
(1) 求线段中点对应的数，直接利用中点坐标公式：两点对应数之和的一半计算；
(2) 先求出AB的距离为6，若P在线段AB上，距离和恒为6，因此P只能在A左侧或B右侧，分两种情况列关于$x_P$的方程求解；
(3) P在线段AB上，由“5倍分点”得$PA=5PB$，结合AB总长为6，求出PB长度即可得到P对应的数；
(4) 先由$AP=10$求出P的两个可能位置，再根据“k倍分点”定义得$PB=k· AP$，代入计算k的两个值；
(5) 先表示出运动t秒后BP、AP、AB的长度，再分四种情况讨论“$\frac{1}{2}$倍分点”对应的等量关系，列方程求解，合并重复的解即可得到t的所有值。
【解析】
(1) 点A表示-2，点B表示4，线段AB中点对应的数$x_P=\frac{-2+4}{2}=1$；
(2) 解：AB两点的距离为$4-(-2)=6＜8$，因此点P不可能在线段AB上，只能在点A左侧或点B右侧：
① 当点P在点A左侧时，$PA=-2-x_P$，$PB=4-x_P$，由题意得：
$(-2-x_P)+(4-x_P)=8$
化简得：$2-2x_P=8$，解得$x_P=-3$；
② 当点P在点B右侧时，$PA=x_P-(-2)=x_P+2$，$PB=x_P-4$，由题意得：
$(x_P+2)+(x_P-4)=8$
化简得：$2x_P-2=8$，解得$x_P=5$；
综上，点P对应的数$x_P$的值是-3或5；
(3) 点P在线段AB上，点P是点A关于点B的“5倍分点”，因此$PA=5PB$，又$PA+PB=AB=6$，代入得$5PB+PB=6$，解得$PB=1$，因此P对应的数为$4-1=3$；
(4) 已知$AP=10$，点A表示-2，因此P对应的数为$-2-10=-12$或$-2+10=8$：
① 当P为-12时，$PB=4-(-12)=16$，由点P是点B关于点A的“k倍分点”得$PB=k· AP$，即$16=10k$，解得$k=1.6$；
② 当P为8时，$PB=8-4=4$，同理得$4=10k$，解得$k=0.4$；
因此k的值为1.6或0.4；
(5) 解：点P从B出发，每秒运动3个单位长度沿正方向运动，t秒后$BP=3t$，$AP=AB+BP=6+3t$，$AB=6$，分情况讨论：
① 当$BP=\frac{1}{2}AB$时，$3t=\frac{1}{2}×6$，解得$t=1$；
② 当$BP=\frac{1}{2}AP$时，$3t=\frac{1}{2}(3t+6)$，化简得$3t=1.5t+3$，解得$t=2$；
③ 当$AB=\frac{1}{2}BP$时，$6=\frac{1}{2}×3t$，解得$t=4$；
④ 当$AB=\frac{1}{2}AP$时，$6=\frac{1}{2}(3t+6)$，化简得$12=3t+6$，解得$t=2$；
综上，t的值为1或2或4。
【答案】
(1)$\boxed{1}$；(2)$\boxed{-3}$或$\boxed{5}$；(3)$\boxed{3}$；(4)$\boxed{1.6}$或$\boxed{0.4}$；(5)$\boxed{1}$或$\boxed{2}$或$\boxed{4}$
【知识点】
数轴两点距离，一元一次方程应用，新定义理解
【点评】
本题以数轴为载体，结合新定义考查分类讨论思想的应用，解题关键是准确理解“k倍分点”的含义，将其转化为两点距离的等量关系，同时需要全面考虑点的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是结合数轴的新定义类问题，解题核心是先准确理解“k倍分点”的定义：若点P是点M关于点N的“k倍分点”，则两点距离满足$PM=kPN$，再结合数轴上两点距离公式分类讨论求解即可。
(1) 求线段中点对应的数，直接利用中点坐标公式：两点对应数之和的一半计算；
(2) 先求出AB的距离为6，若P在线段AB上，距离和恒为6，因此P只能在A左侧或B右侧，分两种情况列关于$x_P$的方程求解；
(3) P在线段AB上，由“5倍分点”得$PA=5PB$，结合AB总长为6，求出PB长度即可得到P对应的数；
(4) 先由$AP=10$求出P的两个可能位置，再根据“k倍分点”定义得$PB=k· AP$，代入计算k的两个值；
(5) 先表示出运动t秒后BP、AP、AB的长度，再分四种情况讨论“$\frac{1}{2}$倍分点”对应的等量关系，列方程求解，合并重复的解即可得到t的所有值。
【解析】
(1) 点A表示-2，点B表示4，线段AB中点对应的数$x_P=\frac{-2+4}{2}=1$；
(2) 解：AB两点的距离为$4-(-2)=6＜8$，因此点P不可能在线段AB上，只能在点A左侧或点B右侧：
① 当点P在点A左侧时，$PA=-2-x_P$，$PB=4-x_P$，由题意得：
$(-2-x_P)+(4-x_P)=8$
化简得：$2-2x_P=8$，解得$x_P=-3$；
② 当点P在点B右侧时，$PA=x_P-(-2)=x_P+2$，$PB=x_P-4$，由题意得：
$(x_P+2)+(x_P-4)=8$
化简得：$2x_P-2=8$，解得$x_P=5$；
综上，点P对应的数$x_P$的值是-3或5；
(3) 点P在线段AB上，点P是点A关于点B的“5倍分点”，因此$PA=5PB$，又$PA+PB=AB=6$，代入得$5PB+PB=6$，解得$PB=1$，因此P对应的数为$4-1=3$；
(4) 已知$AP=10$，点A表示-2，因此P对应的数为$-2-10=-12$或$-2+10=8$：
① 当P为-12时，$PB=4-(-12)=16$，由点P是点B关于点A的“k倍分点”得$PB=k· AP$，即$16=10k$，解得$k=1.6$；
② 当P为8时，$PB=8-4=4$，同理得$4=10k$，解得$k=0.4$；
因此k的值为1.6或0.4；
(5) 解：点P从B出发，每秒运动3个单位长度沿正方向运动，t秒后$BP=3t$，$AP=AB+BP=6+3t$，$AB=6$，分情况讨论：
① 当$BP=\frac{1}{2}AB$时，$3t=\frac{1}{2}×6$，解得$t=1$；
② 当$BP=\frac{1}{2}AP$时，$3t=\frac{1}{2}(3t+6)$，化简得$3t=1.5t+3$，解得$t=2$；
③ 当$AB=\frac{1}{2}BP$时，$6=\frac{1}{2}×3t$，解得$t=4$；
④ 当$AB=\frac{1}{2}AP$时，$6=\frac{1}{2}(3t+6)$，化简得$12=3t+6$，解得$t=2$；
综上，t的值为1或2或4。
【答案】
(1)$\boxed{1}$；(2)$\boxed{-3}$或$\boxed{5}$；(3)$\boxed{3}$；(4)$\boxed{1.6}$或$\boxed{0.4}$；(5)$\boxed{1}$或$\boxed{2}$或$\boxed{4}$
【知识点】
数轴两点距离，一元一次方程应用，新定义理解
【点评】
本题以数轴为载体，结合新定义考查分类讨论思想的应用，解题关键是准确理解“k倍分点”的含义，将其转化为两点距离的等量关系，同时需要全面考虑点的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
