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1. 如图，$□ ABCD$的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是 （）
A.$AB=BC$
B.$AD=BC$
C.$OA=OB$
D.$AC⊥ BD$
A.$AB=BC$
B.$AD=BC$
C.$OA=OB$
D.$AC⊥ BD$
答案
B
解析
根据平行四边形的性质逐一判断：
1. 平行四边形对边相等，邻边不一定相等，故$AB=BC$不成立，A错误；
2. $AD$和$BC$是平行四边形$ABCD$的对边，由平行四边形对边相等的性质可得$AD=BC$，B正确；
3. 平行四边形对角线互相平分但不一定相等，即$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，普通平行四边形$AC$与$BD$不一定相等，故$OA=OB$不成立，C错误；
4. 普通平行四边形的对角线不一定互相垂直，故$AC⊥ BD$不成立，D错误。
1. 平行四边形对边相等，邻边不一定相等，故$AB=BC$不成立，A错误；
2. $AD$和$BC$是平行四边形$ABCD$的对边，由平行四边形对边相等的性质可得$AD=BC$，B正确；
3. 平行四边形对角线互相平分但不一定相等，即$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，普通平行四边形$AC$与$BD$不一定相等，故$OA=OB$不成立，C错误；
4. 普通平行四边形的对角线不一定互相垂直，故$AC⊥ BD$不成立，D错误。
2. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC=3 cm，∠A=60°，BD平分∠ABC，则梯形的周长为（）
A.12 cm
B.15 cm
C.18 cm
D.21 cm
A.12 cm
B.15 cm
C.18 cm
D.21 cm
答案
B
解析
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，∠A=60°，∴∠ABC=∠A=60°。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，
在△ABD中，∠ADB=180°-∠A-∠ABD=90°，即△ABD为直角三角形，
∴AB=2AD=2×3=6 cm。
∵AB//CD，∴∠CDB=∠ABD=30°，可得∠CDB=∠DBC，
∴CD=BC=3 cm。
梯形周长=AD+BC+CD+AB=3+3+3+6=15 cm。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，
在△ABD中，∠ADB=180°-∠A-∠ABD=90°，即△ABD为直角三角形，
∴AB=2AD=2×3=6 cm。
∵AB//CD，∴∠CDB=∠ABD=30°，可得∠CDB=∠DBC，
∴CD=BC=3 cm。
梯形周长=AD+BC+CD+AB=3+3+3+6=15 cm。
3. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AC$，$BC$的中点，若$∠ A=45°$，$∠ CED=70°$，则$∠ C$的度数为（）
A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$
A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$
答案
D
解析
∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线性质可得DE//AB，∴∠CDE=∠A=45°。在△CDE中，由三角形内角和为180°，得∠C=180°-∠CDE-∠CED=180°-45°-70°=65°。
4.如图，直线$a// b$，直线$c$与$a$，$b$分别交于$A$，$B$两点，若$AB=4$，$∠ 1=30°$，则直线$a$，$b$之间的距离为（）
A.4
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.1
A.4
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.1
答案
B
解析
过点A作AH⊥直线b，垂足为H，∵a//b，∴AH的长度就是直线a、b之间的距离。在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠1=30°，AB=4，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AH=½AB=½×4=2，即直线a,b之间的距离为2。
5. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=8$，$∠ ABC=60°$，$BE$平分$∠ ABC$，交边$AD$于点$E$，连接$CE$，若$AE=2ED$，则$CE$的长为（）
A.$6$
B.$4$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$
A.$6$
B.$4$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$
答案
C
解析
1. 在$□ ABCD$中，$AD// BC$，$AB=CD=8$，$∠ D=∠ ABC=60°$。
2. 因为$BE$平分$∠ ABC$，$∠ ABC=60°$，所以$∠ ABE=∠ EBC=30°$；由$AD// BC$得$∠ AEB=∠ EBC$，因此$∠ ABE=∠ AEB$，可得$AE=AB=8$。
3. 由$AE=2ED$，得$ED=4$，$AD=AE+ED=12$。
4. 过点$C$作$CF⊥ AD$于点$F$，在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$CD=8$，$∠ D=60°$，计算得$DF=CD·\cos60°=4$，$CF=CD·\sin60°=4\sqrt{3}$。
5. 因为$ED=4$，可知点$E$与点$F$重合，因此$CE=CF=4\sqrt{3}$。
2. 因为$BE$平分$∠ ABC$，$∠ ABC=60°$，所以$∠ ABE=∠ EBC=30°$；由$AD// BC$得$∠ AEB=∠ EBC$，因此$∠ ABE=∠ AEB$，可得$AE=AB=8$。
3. 由$AE=2ED$，得$ED=4$，$AD=AE+ED=12$。
4. 过点$C$作$CF⊥ AD$于点$F$，在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$CD=8$，$∠ D=60°$，计算得$DF=CD·\cos60°=4$，$CF=CD·\sin60°=4\sqrt{3}$。
5. 因为$ED=4$，可知点$E$与点$F$重合，因此$CE=CF=4\sqrt{3}$。
6.如图，$l_1 // l_2$，直线$l_1$与直线$l_2$之间的距离为4，点A是直线$l_1$与$l_2$外一点，点A到直线$l_1$的距离为2，B，D分别是直线$l_1$与直线$l_2$上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为（）
A.6
B.8
C.10
D.12
A.6
B.8
C.10
D.12
答案
B
解析
由作图可知：$BC=AD$，$DC=AB$，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形$ABDC$是平行四边形。
根据平行四边形对角线互相平分的性质，设$AC$与$BD$的交点为$O$，则$O$是$AC$和$BD$的公共中点，即$AC=2AO$。
已知$l_1// l_2$，两直线间距为4，点$B$在$l_1$上，点$D$在$l_2$上，因此$BD$的中点$O$的轨迹是平行于$l_1$的直线，该直线到$l_1$的距离为2，到$l_2$的距离为2。
又已知点$A$到直线$l_1$的距离为2，因此点$A$到$O$所在轨迹直线的垂直距离为$2+2=4$，即线段$AO$的最小值为4。
因此$AC$的最小值为$2×4=8$。
根据平行四边形对角线互相平分的性质，设$AC$与$BD$的交点为$O$，则$O$是$AC$和$BD$的公共中点，即$AC=2AO$。
已知$l_1// l_2$，两直线间距为4，点$B$在$l_1$上，点$D$在$l_2$上，因此$BD$的中点$O$的轨迹是平行于$l_1$的直线，该直线到$l_1$的距离为2，到$l_2$的距离为2。
又已知点$A$到直线$l_1$的距离为2，因此点$A$到$O$所在轨迹直线的垂直距离为$2+2=4$，即线段$AO$的最小值为4。
因此$AC$的最小值为$2×4=8$。
