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16. 解方程：
(1)$\frac{x}{x+1} -1 = \frac{1}{x-2}$；
(2)$\frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{7}{x^2 -1}$。
(1)$\frac{x}{x+1} -1 = \frac{1}{x-2}$；
(2)$\frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{7}{x^2 -1}$。
答案
解：
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-2)$，得
$x(x-2)-(x+1)(x-2)=x+1$
展开并化简：
$x^2-2x -x^2 +x +2 = x+1$
$-x + 2 = x + 1$
移项合并得：
$-2x=-1$
解得：
$x=\frac{1}{2}$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$(x+1)(x-2)≠0$，所以$x=\frac{1}{2}$是原方程的解。
(2) 原方程的最简公分母为$(x-1)(x+1)$，方程两边同乘$(x-1)(x+1)$，得
$2(x+1)+(x-1)=7$
展开并化简：
$2x+2+x-1=7$
$3x+1=7$
移项合并得：
$3x=6$
解得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x^2-1≠0$，所以$x=2$是原方程的解。
综上，方程(1)的解为$x=\frac{1}{2}$，方程(2)的解为$x=2$。
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-2)$，得
$x(x-2)-(x+1)(x-2)=x+1$
展开并化简：
$x^2-2x -x^2 +x +2 = x+1$
$-x + 2 = x + 1$
移项合并得：
$-2x=-1$
解得：
$x=\frac{1}{2}$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$(x+1)(x-2)≠0$，所以$x=\frac{1}{2}$是原方程的解。
(2) 原方程的最简公分母为$(x-1)(x+1)$，方程两边同乘$(x-1)(x+1)$，得
$2(x+1)+(x-1)=7$
展开并化简：
$2x+2+x-1=7$
$3x+1=7$
移项合并得：
$3x=6$
解得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x^2-1≠0$，所以$x=2$是原方程的解。
综上，方程(1)的解为$x=\frac{1}{2}$，方程(2)的解为$x=2$。
17.先化简$(a+1-\dfrac{3}{a-1})÷\dfrac{a^2+4a+4}{a-1}$，再从$-2,0,1,2$中选取合适的数代入求值。
答案
解：
原式$=[\dfrac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\dfrac{3}{a-1}]÷\dfrac{(a+2)^2}{a-1}$
$=\dfrac{a^2-1-3}{a-1}·\dfrac{a-1}{(a+2)^2}$
$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-1}·\dfrac{a-1}{(a+2)^2}$
$=\dfrac{a-2}{a+2}$
由分式有意义的条件可知：$a-1≠0$，$a+2≠0$，即$a≠1$且$a≠-2$，
因此从$-2,0,1,2$中选取的合适数值为$a=0$或$a=2$。
当$a=0$时，代入得：原式$=\dfrac{0-2}{0+2}=-1$。
（若选取$a=2$代入，原式$=\dfrac{2-2}{2+2}=0$，结果正确也可）
原式$=[\dfrac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\dfrac{3}{a-1}]÷\dfrac{(a+2)^2}{a-1}$
$=\dfrac{a^2-1-3}{a-1}·\dfrac{a-1}{(a+2)^2}$
$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-1}·\dfrac{a-1}{(a+2)^2}$
$=\dfrac{a-2}{a+2}$
由分式有意义的条件可知：$a-1≠0$，$a+2≠0$，即$a≠1$且$a≠-2$，
因此从$-2,0,1,2$中选取的合适数值为$a=0$或$a=2$。
当$a=0$时，代入得：原式$=\dfrac{0-2}{0+2}=-1$。
（若选取$a=2$代入，原式$=\dfrac{2-2}{2+2}=0$，结果正确也可）
18.在学习“分式”时，小明和小丽都遇到了“当x取何值时，$\frac{x+2}{x^2 -4}$有意义”这一问题。小明的解法:先化简，即$\frac{x+2}{x^2 -4}=\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}=\frac{1}{x-2}$，要使$\frac{1}{x-2}$有意义，必须$x-2≠0$，即$x≠2$。
小丽的解法:要使$\frac{x+2}{x^2 -4}$有意义，只需$x^2 -4≠0$，即$x^2≠4$，所以$x≠±2$。
你认为谁的解法是正确的，并说明理由。
小丽的解法:要使$\frac{x+2}{x^2 -4}$有意义，只需$x^2 -4≠0$，即$x^2≠4$，所以$x≠±2$。
你认为谁的解法是正确的，并说明理由。
答案
解：小丽的解法是正确的。
理由：分式有意义的条件是原分式的分母不为0，不能在未明确公因式不为0的前提下，先对分式约分化简再判断有意义的条件。
当$x=-2$时，原分式的分母$x^2-4=0$，此时原分式$\frac{x+2}{x^2-4}$无意义。小明在化简过程中约去了分子分母的公因式$x+2$，该步骤默认了$x+2≠0$，也就是默认$x≠-2$，遗漏了$x≠-2$的限制条件，得到的结果不完整。
因此要使原分式有意义，必须满足$x^2-4≠0$，即$x≠±2$，所以小丽的解法正确。
理由：分式有意义的条件是原分式的分母不为0，不能在未明确公因式不为0的前提下，先对分式约分化简再判断有意义的条件。
当$x=-2$时，原分式的分母$x^2-4=0$，此时原分式$\frac{x+2}{x^2-4}$无意义。小明在化简过程中约去了分子分母的公因式$x+2$，该步骤默认了$x+2≠0$，也就是默认$x≠-2$，遗漏了$x≠-2$的限制条件，得到的结果不完整。
因此要使原分式有意义，必须满足$x^2-4≠0$，即$x≠±2$，所以小丽的解法正确。
19.一段高速公路需要修复,现有甲、乙两个工程队参与施工,已知乙队平均每天修复的公路比甲队平均每天修复的公路多3 km,且甲队单独修复60 km公路所需要的时间与乙队单独修复90 km公路所需要的时间相等。
(1)求甲、乙两队平均每天分别修复公路多少千米;
(2)为了保证交通安全,两队不能同时施工,要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍,那么15天的工期,两队最多能修复公路多少千米?
(1)求甲、乙两队平均每天分别修复公路多少千米;
(2)为了保证交通安全,两队不能同时施工,要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍,那么15天的工期,两队最多能修复公路多少千米?
答案
解：(1) 设甲队平均每天修复公路$x$ km，则乙队平均每天修复公路$(x+3)$ km。
根据题意列方程：
$\frac{60}{x}=\frac{90}{x+3}$
方程两边同乘$x(x+3)$，得：
$60(x+3)=90x$
展开整理得：$30x=180$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x+3)≠0$，$x=6$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙队平均每天修复公路：$x+3=6+3=9$ km。
(2) 设乙队工作时间为$m$天，则甲队工作时间为$(15-m)$天，设两队总修复公路长度为$W$ km。
根据题意得：
$15-m≥ 2m$
解得：$m≤ 5$
总长度表达式为：
$W=6(15-m)+9m=90+3m$
因为$3＞0$，$W$随$m$的增大而增大，因此当$m$取最大值5时，$W$取得最大值：
$W_{\mathrm{max}}=90+3×5=105$
答：(1) 甲队平均每天修复公路6千米，乙队平均每天修复公路9千米；(2) 两队最多能修复公路105千米。
根据题意列方程：
$\frac{60}{x}=\frac{90}{x+3}$
方程两边同乘$x(x+3)$，得：
$60(x+3)=90x$
展开整理得：$30x=180$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x+3)≠0$，$x=6$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙队平均每天修复公路：$x+3=6+3=9$ km。
(2) 设乙队工作时间为$m$天，则甲队工作时间为$(15-m)$天，设两队总修复公路长度为$W$ km。
根据题意得：
$15-m≥ 2m$
解得：$m≤ 5$
总长度表达式为：
$W=6(15-m)+9m=90+3m$
因为$3＞0$，$W$随$m$的增大而增大，因此当$m$取最大值5时，$W$取得最大值：
$W_{\mathrm{max}}=90+3×5=105$
答：(1) 甲队平均每天修复公路6千米，乙队平均每天修复公路9千米；(2) 两队最多能修复公路105千米。
