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7. 如图,若$x$为大于1的正整数,则表示分式$\frac{2x^2 + 2x}{x^2 + 2x + 1}$的值落在（）
A.①段
B.②段
C.③段
D.④段
A.①段
B.②段
C.③段
D.④段
答案
C
解析
先对分式化简：
分子因式分解：$2x^2+2x=2x(x+1)$，
分母因式分解：$x^2+2x+1=(x+1)^2$，
约分可得：$\frac{2x(x+1)}{(x+1)^2}=\frac{2x}{x+1}$，
进一步变形：$\frac{2x}{x+1}=\frac{2(x+1)-2}{x+1}=2-\frac{2}{x+1}$。
已知$x$是大于1的正整数，即$x\ge2$，则$x+1\ge3$，
因此$0＜\frac{2}{x+1}\le\frac{2}{3}$，可得$2-\frac{2}{3}\le2-\frac{2}{x+1}＜2$，即$\frac{4}{3}\le$原式$＜2$，
该取值范围在1和2之间，对应数轴的③段。
分子因式分解：$2x^2+2x=2x(x+1)$，
分母因式分解：$x^2+2x+1=(x+1)^2$，
约分可得：$\frac{2x(x+1)}{(x+1)^2}=\frac{2x}{x+1}$，
进一步变形：$\frac{2x}{x+1}=\frac{2(x+1)-2}{x+1}=2-\frac{2}{x+1}$。
已知$x$是大于1的正整数，即$x\ge2$，则$x+1\ge3$，
因此$0＜\frac{2}{x+1}\le\frac{2}{3}$，可得$2-\frac{2}{3}\le2-\frac{2}{x+1}＜2$，即$\frac{4}{3}\le$原式$＜2$，
该取值范围在1和2之间，对应数轴的③段。
8. 甲工程队完成一项工程需$n$天，乙工程队完成这项工程需要的时间是甲工程队的2倍，那么两队共同工作一天能完成这项工程的（）
A.$3n$
B.$\frac{1}{3n}$
C.$\frac{n}{3}$
D.$\frac{3}{2n}$
A.$3n$
B.$\frac{1}{3n}$
C.$\frac{n}{3}$
D.$\frac{3}{2n}$
答案
D
解析
将这项工程的总工作量看作单位“1”，甲工程队的日工作效率为$\frac{1}{n}$；乙工程队完成工程需要的时间为$2n$天，因此乙工程队的日工作效率为$\frac{1}{2n}$。两队共同工作一天完成的工作量为$\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}=\frac{2}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{3}{2n}$。
9. 一组按规律排列的式子：$-\dfrac{b^2}{a}, \dfrac{b^5}{a^2}, -\dfrac{b^8}{a^3}, \dfrac{b^{11}}{a^4}, ··· (ab≠0)$。第$n$个式子是（）
A.$-\dfrac{b^{3n-1}}{a^n}$
B.$(-1)^n \dfrac{b^{3n+1}}{a^n}$
C.$(-1)^n \dfrac{b^{3n-1}}{a^n}$
D.$\dfrac{b^{n+3}}{(-a)^n}$
A.$-\dfrac{b^{3n-1}}{a^n}$
B.$(-1)^n \dfrac{b^{3n+1}}{a^n}$
C.$(-1)^n \dfrac{b^{3n-1}}{a^n}$
D.$\dfrac{b^{n+3}}{(-a)^n}$
答案
C
解析
分别分析式子的三部分规律：1. 符号规律：第奇数个式子为负，第偶数个式子为正，可用$(-1)^n$表示符号；2. 分母规律：第1个式子分母为$a^1$，第2个为$a^2$，…，第n个式子分母为$a^n$；3. 分子中$b$的指数规律：指数依次为2,5,8,11…，是首项为2、公差为3的等差数列，通项为$3n-1$。综上可得第n个式子为$(-1)^n \frac{b^{3n-1}}{a^n}$。
10. 下列分式：①$\frac{4}{2x}$；②$\frac{2x}{x^2+1}$；③$\frac{x-1}{x^2-1}$；④$\frac{1-x}{x-1}$。其中是最简分式的是（填序号）。
答案
②
解析
解：
根据最简分式的定义，逐一判断：
1. 分式①$\frac{4}{2x}$的分子、分母含有公因式2，可化简为$\frac{2}{x}$，不是最简分式；
2. 分式②$\frac{2x}{x^2+1}$的分子、分母没有公因式，是最简分式；
3. 分式③$\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}$，分子、分母含有公因式$x-1$，可化简为$\frac{1}{x+1}$，不是最简分式；
4. 分式④$\frac{1-x}{x-1}=\frac{-(x-1)}{x-1}$，分子、分母含有公因式$x-1$，可化简为$-1$，不是最简分式。
根据最简分式的定义，逐一判断：
1. 分式①$\frac{4}{2x}$的分子、分母含有公因式2，可化简为$\frac{2}{x}$，不是最简分式；
2. 分式②$\frac{2x}{x^2+1}$的分子、分母没有公因式，是最简分式；
3. 分式③$\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}$，分子、分母含有公因式$x-1$，可化简为$\frac{1}{x+1}$，不是最简分式；
4. 分式④$\frac{1-x}{x-1}=\frac{-(x-1)}{x-1}$，分子、分母含有公因式$x-1$，可化简为$-1$，不是最简分式。
11. 化简：$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} ÷ \frac{2a - 2b}{a + b} =$ 。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
解：
原式$=\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^2} · \frac{a+b}{2(a-b)}$
$=\frac{(a+b)(a-b)·(a+b)}{(a+b)^2·2(a-b)}$
$=\frac{1}{2}$
最终
原式$=\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^2} · \frac{a+b}{2(a-b)}$
$=\frac{(a+b)(a-b)·(a+b)}{(a+b)^2·2(a-b)}$
$=\frac{1}{2}$
最终
12. 定义一种新运算:对于任意的非零实数$a,b,x,y$,都有$x*y=\frac{x}{a}-\frac{y}{b}$。若$5*3=2$,则$\frac{9a -15b}{ab}=$。
答案
$\boldsymbol{-6}$
解析
解：
根据新运算的定义，由$5*3=2$可得：
$\frac{5}{a} - \frac{3}{b} = 2$
对所求分式化简变形：
$\frac{9a - 15b}{ab} = \frac{9a}{ab} - \frac{15b}{ab} = \frac{9}{b} - \frac{15}{a} = -3(\frac{5}{a} - \frac{3}{b})$
将$\frac{5}{a} - \frac{3}{b}=2$代入上式：
原式$=-3×2=-6$
最终
根据新运算的定义，由$5*3=2$可得：
$\frac{5}{a} - \frac{3}{b} = 2$
对所求分式化简变形：
$\frac{9a - 15b}{ab} = \frac{9a}{ab} - \frac{15b}{ab} = \frac{9}{b} - \frac{15}{a} = -3(\frac{5}{a} - \frac{3}{b})$
将$\frac{5}{a} - \frac{3}{b}=2$代入上式：
原式$=-3×2=-6$
最终
13. 关于$x$的分式方程$\frac{x+m}{x-2}+\frac{1}{2-x}=3$有增根，则$m=$。
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
解：
原方程可变形为$\frac{x+m}{x-2}-\frac{1}{x-2}=3$，
方程两边同乘$(x-2)$，去分母得：
$x + m - 1 = 3(x - 2)$。
∵分式方程有增根，
∴增根满足$x-2=0$，即$x=2$。
把$x=2$代入上述整式方程：
$2 + m - 1 = 3×(2-2)$，
化简得$m + 1 = 0$，
解得$m=-1$。
最终
原方程可变形为$\frac{x+m}{x-2}-\frac{1}{x-2}=3$，
方程两边同乘$(x-2)$，去分母得：
$x + m - 1 = 3(x - 2)$。
∵分式方程有增根，
∴增根满足$x-2=0$，即$x=2$。
把$x=2$代入上述整式方程：
$2 + m - 1 = 3×(2-2)$，
化简得$m + 1 = 0$，
解得$m=-1$。
最终
14. 某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15 km，一部分学生骑自行车先走，过了15 min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆。已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是km/h。
答案
解：设学生骑自行车的速度是$ x \, \mathrm{km/h} $，则公交车的速度为$ 1.5x \, \mathrm{km/h} $。
由题意得$ 15\ \mathrm{min} = \frac{1}{4}\ \mathrm{h} $，列方程：
$\frac{15}{x} - \frac{15}{1.5x} = \frac{1}{4}$
化简得：
$\frac{15}{x} - \frac{10}{x} = \frac{1}{4}$
$\frac{5}{x} = \frac{1}{4}$
解得$ x = 20 $。
检验：当$ x=20 $时，$ 1.5x ≠ 0 $，且符合实际意义，$ x=20 $是原分式方程的解。
答：学生骑自行车的速度是$\boldsymbol{20}$ km/h。
由题意得$ 15\ \mathrm{min} = \frac{1}{4}\ \mathrm{h} $，列方程：
$\frac{15}{x} - \frac{15}{1.5x} = \frac{1}{4}$
化简得：
$\frac{15}{x} - \frac{10}{x} = \frac{1}{4}$
$\frac{5}{x} = \frac{1}{4}$
解得$ x = 20 $。
检验：当$ x=20 $时，$ 1.5x ≠ 0 $，且符合实际意义，$ x=20 $是原分式方程的解。
答：学生骑自行车的速度是$\boldsymbol{20}$ km/h。
15. 计算：
(1) $(ab^3)^2 · (-\dfrac{b}{a^2})^3 ÷ (-\dfrac{b}{a})^4$；
(2) $\dfrac{a^2 - 4}{a} ÷ (a + 1 - \dfrac{5a - 4}{a})$。
(1) $(ab^3)^2 · (-\dfrac{b}{a^2})^3 ÷ (-\dfrac{b}{a})^4$；
(2) $\dfrac{a^2 - 4}{a} ÷ (a + 1 - \dfrac{5a - 4}{a})$。
答案
解：
(1) 原式$=a^2b^6 · (-\dfrac{b^3}{a^6}) ÷ \dfrac{b^4}{a^4}$
$=a^2b^6 · (-\dfrac{b^3}{a^6}) · \dfrac{a^4}{b^4}$
$=-\dfrac{a^2b^9}{a^6} · \dfrac{a^4}{b^4}$
$=-b^5$
(2) 原式$=\dfrac{a^2-4}{a} ÷ ( \dfrac{a(a+1)}{a} - \dfrac{5a-4}{a} )$
$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a} ÷ \dfrac{a^2+a-5a+4}{a}$
$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a} ÷ \dfrac{(a-2)^2}{a}$
$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a} · \dfrac{a}{(a-2)^2}$
$=\dfrac{a+2}{a-2}$
(1) 原式$=a^2b^6 · (-\dfrac{b^3}{a^6}) ÷ \dfrac{b^4}{a^4}$
$=a^2b^6 · (-\dfrac{b^3}{a^6}) · \dfrac{a^4}{b^4}$
$=-\dfrac{a^2b^9}{a^6} · \dfrac{a^4}{b^4}$
$=-b^5$
(2) 原式$=\dfrac{a^2-4}{a} ÷ ( \dfrac{a(a+1)}{a} - \dfrac{5a-4}{a} )$
$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a} ÷ \dfrac{a^2+a-5a+4}{a}$
$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a} ÷ \dfrac{(a-2)^2}{a}$
$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a} · \dfrac{a}{(a-2)^2}$
$=\dfrac{a+2}{a-2}$
