7.如图，在$□ ABCD$中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，点F。若AE=10，则CF的长为。

$\boldsymbol{10}$

解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠OBE=∠ODF，
∵ O为BD的中点，
∴ OB=OD，
在△BOE和△DOF中，
$\{\begin{array}{l}∠OBE=∠ODF \\OB=OD \\∠BOE=∠DOF\end{array} $
∴ △BOE ≌ △DOF（ASA），
∴ BE=DF，
∴ AB - BE = CD - DF，即AE=CF，
∵ AE=10，
∴ CF=10。
最终

8. 如图，在$□ ABCD$中，$AB⊥ AC$，点$E$，$F$分别在边$BC$和$AD$上，$EF// AB$，交$AC$于点$P$。若$CD=6$，$AC=8$，$CE=7$，则$AF$的长为。

$\boldsymbol{3}$

解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD=6，AD//BC。
∵ AB⊥AC，
∴ ∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵ $EF// AB$，且$AF// BE$，
∴ 四边形ABEF是平行四边形，
∴ $AF=BE$。
∵ $BE=BC-CE=10-7=3$，
∴ $AF=3$。
最终

9.如图，在$□ ABCD$中，$BC=2$，点$E$在$DA$的延长线上，$BE=3$，若$BA$平分$∠ EBC$，则$DE=$。

$\boldsymbol{5}$

解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC=2，
∴ ∠EAB=∠ABC。
∵ BA平分∠EBC，
∴ ∠EBA=∠ABC，
∴ ∠EBA=∠EAB，
∴ EA=BE=3，
∴ DE=EA+AD=3+2=5。

10. 如图,在正六边形ABCDEF中,M,N是对角线BE上的两点。现有以下条件:①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE。添加一个,就能使四边形AMDN是平行四边形的是（填序号）。

①②④

解：连接AD，交BE于点O，
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ AB=DE，∠ABO=∠DEO=60°，AD⊥BE，AO=OD，BO=OE。
① 当BM=EN时，BO-BM=OE-EN，即MO=ON，
又∵ AO=OD，
∴ 四边形AMDN的对角线互相平分，四边形AMDN是平行四边形，①符合要求。
② 当∠FAN=∠CDM时，
∵ 正六边形中∠FAD=∠CDA，
∴ ∠FAD - ∠FAN = ∠CDA - ∠CDM，即∠DAN=∠ADM，
∴ AN//DM，
又∵ ∠AON=∠DOM，AO=OD，
∴ △AON ≌ △DOM（ASA），得ON=OM，
结合AO=OD，对角线互相平分，四边形AMDN是平行四边形，②符合要求。
③ 当AM=DN时，AO=OD，∠AOM=∠DON=90°，属于SSA条件，无法证明△AOM≌△DON，不能得到MO=ON，无法判定四边形AMDN是平行四边形，③不符合要求。
④ 当∠AMB=∠DNE时，
∵ ∠ABM=∠DEN=60°，AB=DE，
∴ △ABM ≌ △DEN（AAS），得BM=EN，
同①可得MO=ON，结合AO=OD，对角线互相平分，四边形AMDN是平行四边形，④符合要求。

11. 如图，在$△ ABF$中，$AB=BF$，$BE⊥ AF$于点$E$，过点$A$作$AD// BF$，连接$DE$并延长，交$BF$于点$C$，连接$AC$，$DF$。求证：四边形$ACFD$是平行四边形。

证明：
∵ $AB=BF$，$BE⊥AF$，
∴ $AE=EF$（等腰三角形三线合一）。
∵ $AD// BF$，
∴ $∠ DAE = ∠ CFE$。
在$△ ADE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ DAE = ∠ CFE \\AE = FE \\∠ AED = ∠ FEC\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ FCE$（ASA）。
∴ $AD = CF$。
又∵ $AD// CF$，
∴ 四边形$ACFD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。